1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 70
Текст из файла (страница 70)
— О (ебп,)е~-~п в Рассмотреть образ элемента — 1 Е В" при данном представлении, доказать, что его собственные подпространства инвариантны, и воспользоваться а). в) Всякое представление эквивалентно представлению вида О еи Доказать, что представление аддитивной группы С, получаемое как композиция гомоморфизма С вЂ” + С (1 — Э е ) и представления группы С, имеет вид Рл (см. задачу 73.1) и ез 'л = Е.
Затем доказатяч что матрица .4 подобна целочисленной диагональной матрице. г) Всякое представление эквивалентно представлению вида и, О ля2 я — > йм...,Л„Е У,. Рассмотреть представление аддитивной группы поля Ж, получаемое как композиция гомоморфизма Рч -+ 11 (1 — ь е"), и представления группы Ю, затем воспользоваться задачей 73.1. 73.6. Да; доказать, что всякую невырожденную комплексную квадратную матрицу можно представит в виде е, и воспользоваться задачей 73.1. 73.7. Линейные оболочки наборов собственных векторов для А. 73.9.
Рассмотреть ограничение представления Ф„ на подгруппу диагональных матриц. 73.10. д) Доказать, что равенство имеет место на подмножестве диагоналиэируемых матриц. 73.11. Заметить,что Отеееаы и указания Доказать, что если А е 811з(С) имеет собственные значения ех'е, то оператор Р(А) есть поворот пространства Но на угол 2р вокруг оси, проходящей 1 через А — — (Ьг А)Е б Но. 2 б) Доказать, что группа В(Б11з1С) х БГУз(С)) транзитивно действует на единичной сфере в Н, и воспользоваться а). в) Комплексифнкацня пространства Нз есть надпространство матриц Га Ь\ вида ~ ! в Мз(С). Искомый изоморфнзм осуществляется отображе1с — а/ нием, сопоставляющим такой матрице многочлен 1(х, у) = — Ьхз+2аху+суз.
73.12, 73.13. Смя Супруненко Д.А. Группы матриц. - - Мз Наука, 1972. Гл. Ъ'. Приложение ТЕОРЕТИклЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ й 1. Аффинная и евклидова геометрия Аа»финны н про»трав»твоа иад полем й называет~я пара (А, 1»), состоящая из векторного пространства Р над полем К и множества А, элементы которого называются точками. Предполагается, что пара (А, 1») снабжена операцией сложения точек и векторов 1а, в) э а + в Е 1», удовлетворяющей следующим условиям: 1) (а-Ь ел) -Ьли = а-~-1в1 + на) для любого а Е А, вл,вз Е 1'; 2) а -Ь 0 = а, для любого а Е А; 3) для любых двух точек а, Ь Е А существует единственный вектор в Е 1» такой,что а + в = Ь (этот вектор обозначается через аЬ). Термин "аффинное пространство" часто используется применительно только к первому члену пары (А, 1»); в этом случае 1» называется векторным пространством, ассвцаврованнмлл с данным аффинным пространством.
Размерностью аффинного пространства (А, 1») называется размерность векторного пространства 1». Всякое векторное пространство 1' можно рассллатривать как аффинное пространство, осли положить 4 = 1' и определить сложение точек и векторов как сложение в пространстве 1» Аффинньлм пвдпрвс»пранством, или п.лвснвстью, в аффинном пространстве (А, 1») называется пара (Р, и), где Ь» надпространство в 1', а Р— такое непустое подмножество множества А, что: 1) р+ и Е Р для любых р 6 Р, и Е П; 2) ра Е П для любых р, а Е Г. Пара (Р, Ь») в этом случае сама являетсв аффинным пространством.
Термин "аффинное подпространство", илн "плоскость", часто применяется по отношению только к первому члену нары (Р, П). В этом случае Теореп»ические све»»ен я надпространство (»'» однозначно определяемое множеством Р, называется направллюи~им подпрос»вронством данного аффинного надпространства. Одномерное аффинное надпространство называется прямой. Аффинное надпространство, размерность которого на единицу меньше размерности пространства, называется еи»»ерплоскостью. Если Я непустое подмножество аффинного пространства А, то наименьшая плоскость в А, содержащая 5, называется аффинной оболочкой множества Я и обозначается через (В).
Х!ножество из !я+ 1 точек ае, а», ..., аь в аффинном пространстве А называется аб»финно независимым, »йп(ао, а»,..., а») = я; в этом случае говоря г также, чго точки ав, а»,..., а» находятся в об»ивм положении. Две плоскости (Р», Д»), (Рм В ) в аффинном пространстве, не имеющие общих точек, называются параллельными, если Ь» С Вя нли В» С В», и скрв»иивающимивя, если б» О В = (О). В общем случае число с!!ш(Л» О Ья) называетсл степенью яараялвльиосгли данных плоскостей. Системой аффинным координат в аффинном пространстве (А, !») называется набор (ае, е»,..., ея), состоящий из точки ав (начала координат) и базиса (е»,..., е„) векторного пространства !'.
Координатами точки а б А относительно такой системы служат координаты вектора аеа» в базисе (е»,... »е„). Ай»й»инни»м отображением аффинного пространства (А, И) в аффинное пространство (В, И') называется пара (у, ь»1), состоящая из отображения множеств 1» А — » В и линейного отображения Р»у» И вЂ” » И», удовлетворяющего условию ((а + о) = ((а) + 11»'(и) для любых а й А, и б !'.
Бнективное аффинное отображение аффинного пространства в себя называется афй»инни»м преобразованием. Часто термин "вффннное отображение" (или "преобразование") применяется по отношению к одному только первому члену пары (1, ь»1) отображению 1; линейное отображение Р) в этом случае называет»я линейной час»вью вли дифб»еренц»»алом аффннного отображения 1. Все аффинные преобразования аффинного пространства образуют группу, называемую а»(»й»инной зррппой н обозначаемую через А((А. Аффинное преобразование, дифференциал которого тождественное отображение.
называется параллельным переносом. Параллельные переносы образуют подгруппу в А!уА, которая отождествляется с аддитнвной группой векторного пространства И, каждому вектору о б !» соответствует параллельный перенос 1в: и — » а + о. Конфигурацией в аффннном прострзпстве А называется упорядоченный набор аффинных надпространств (Р»,..., Р,). Две конфигурации (Р»,, Ря) и Я»,..., св») в А называютсл аф»(»инно конеррэнтг»ными, если существует аффинное преобразование 1» для которого 1(Р,) = Я, при »=1,...а. у Х. Аффиниал и евклидова есомстрил 445 Далее будем считать,что (А,1') аффинное пространство над полеы вещественных чисел.
Для любых точек а, Ь Е А, а ф Ь, совокупность точек вида Ла+ (1 — Л)Ь, где О ( Л ( 1, называется отрезком, соединяющим точки а и Ь. Непустое множество Л Х С А называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Хзазмсрностью выпуклого множества называется разллерность его аффинной оболочки. Выпуклое множество, аффинная оболочка которого совпадает со всем пространством, называется телесным.
Точка выпуклого множества ЛХ называется внутренней, если она принадлежит открытому ядру множества ЛХ в его аффинной оболочке, и ераничной в противном случае. Точка выпуклого множества ЛХ называется крайней, если она не является внутренней точкой никакого отрезка, целиком лежащего в ЛХ. Открытое ядро выпуклого множества ЛХ в пространство А обозначается через ЛХ'. (Вели ЛХ не телесно,то ЛХ' = О.) Наименьшее выпуклое множество, содержащее данное непустое множество о С А,называется выпуклой оболочкой множества о и обозначается через сопел. Выпуклая оболочка и -Р 1 точек, находящихся в общем положении, называется и-мерным симплексом. Для любой непостоянной аффинной линейной функции Х на пространстве А множество, задаваемое неравенством Х(х) ) О, выпукло и называется полупространством, ограничиваемым гиперплоскогтью (х ~ Х(х) = О).
Каждая гиперплоскость ограничивает два полупространства. Гонорят, что множество Н лсвкит по одну сторону от еипсрплоскости Н, если оно содержится в одном из ограничиваемых ею полупространств; если при этом 5 О Н = Я, то говорят, что 5 лежит строго по одну сторону от Н. Гиперплоскость Н, имеющая общую точку с замкнутым выпуклым множеством ЛХ, называется опорной еипсрплоскощпью этого множества, если ЛХ лежит по одну сторону от Н. Непустое пересечение конечного числа полупроСтранетв называстся выпуклы и мнвеоеранником.
Иначе говоря, выпуклый многогранник это множество точек, координаты которых удовлотворяют некоторой совместной системе нестрогих линейных неравенств. Подмножество п-мерного аффинного пространства, задаваемого в подходящей системе аффинных координат неравенстваыи О ( х, ( 1 (1 = 1,..., и), называется и;мерным параллслспипсдолс Подмножество выпуклого многогранника ЛХ, являющееся его пересечением с опорной гиперплоскостью, нжзывается гранью многогранника ЛХ. Нульмерные грани называются всртпнамш одномерные рсбрамп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
