1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 72
Текст из файла (страница 72)
~ лу. Элементы теории представлений Для изложения основных определений и первоначальных результатов в теории представлений групп традиционно используется несколько разных способов. При дальнейшем развитии теории вьшсняются связи между различными вариантами определений и вырабатываются способы "перевода с одного языка на другой". Мы не имеем в виду определенного способа первоначального изложения, считая цслесообразнылл ознакомить изучающих с основными способами, принятыми в литературе, и дать возможность преподавателю найти задачи, использующие удобные ему варианты изложения. Напомним в основных чертах зти основные подходы к построению теории представлений или варианты терминологии.
А. Терминология линейных представлений. Линейным представлением группы С на пространстве 1г называется гомоморфизм Ф: С -в — в СЬ)р) группы С в группу невырожденных линейных операторов на р. у К Элементы теории представлений Размерность пространства И называется размерностью или степенью представления. Гамаморфпзмвм представления Ф группы С на пространстве И в представление Ф гру-ппы С на пространстве И' называется линейное отображение о: И вЂ” ь И', длл которого о(Ф(д)и) = Ф(о(иИ при всех у Е С, и Е И. Ес.ти гомоморфизм о является изоморфизмом пространств, то представления Ф и Ф называют изоморфными.
Подпространство С в пространстве И представления Ф группы С называют ипвариантным, если Ф(д)С = С при всех д б С. Представление ненулевой степени, не имеющее инвариантных надпространств, отличных от нуля и всего пространства, называют нвприввдимым. Б. Терминология матричных представлений. Матричным представлением группы С степени п над полем Г называется гомоморфизм Р: С ь СРт(Г) гРУппы С в гРУппУ обРатимых матРиц поРЯдка и над почем Г.
Два матричных представления р и о группы С одного и того же порядка п над Г называют эквивалеитиьвми (изоморфными), если существует такая невырожденная матрица С Е М„(Г), что р(д) = С ц(д)С для всех д Е С. ьуатричное представление называется приводимым, если оно эквивалентно представлению, в котором все матрицы имеют один и тот же "угол /А С'~ нулЕй', т.е. имеют вид ~, где А и В матрицы пОрядкОв г и в, одинаковых для всех д Е С. В.
Терминология линейных сд-пространств. Пусть С группа, И .. линейное пространство. Говорят,что на И задана структура линейного С-пространства, если на С х И определена операция со значениями в И, причем отображение и -ь у * и является линейным отображением пространства И в себя и д1 ь (дз ь и) = (двдз) * и ири всех ды уз Е С, и Е И. Два С-пространства Р и Иг называют изоморфными, если существует такой изоморфизмом пространств о: И -ь И', что о(у* и) = д о(в) для всех д е С, е Е И.
Подпространство У в С-пространстве Р называют иивариантпым, если д ь и Е П при всех д Е С, и Е С. Ненулевое С-пространство Р называют пвприввдимым, если оно не имеет нетривиальных ннвариантных надпространств. Г. Терминология модулей над групповой алгеброй. Пространство Р называют модулем над групповой алгеброй Г]С] нли Г]С]-модулем, если на Г]С] х ь' определена операция (а, и) — ь а о со значениями в И, для которой а1(ови) = (аваз) в. Два Г[С]-модуля И и И' изоморфны, если существует линейное отображение си И -ь И', для которого о(а и) = а о(и) при всех а Е Г(С], и Е И.
Подпространство С в Г(С]-модуле И называют подмодулвм, если а и Е Е С при всех а Е Г(С]. и Е С, и ненулевой модуль И называют простым или пвприводимым, если он не имеет нетривиальных подмодулей. 452 Теоретические сведен я Отметим, что, имея структуру Г)С]-модуля на и и рассматривая группу С кыс подмножество в Г]С] (суммы с одним ненулевым коэффициентом, равным 1), при ограничении операции на С х 1' мы получаем на Ъ' структуру С-пространства (д, и) — ь д о. Наоборот, имея на 1г структуру С-пространства, мы можем положить ] (~ о д],и) — ~ ~1д*и), и это превращает 1: в Г]С]-модуль. Если Ф линейное представление группы С на ь', то операция (д, ь) -г Ф(д)и задает на 1г структуру С-пространства.
Если 1' - С-пространство и Ф(д): и — ь д * в, то Ф(д) --. линейный оператор на ь',и легко показать,что д -ь Ф(д) линейное представление группы С на пространстве 1'. Если имеется линейное представление группы С на и-мерном пространство 1г, то, выбирая в )г базис и сопоставляя каждому элементу д б С матрипу оператора Ф(д) в этом базисе, мы получаем отображение С в СЬь (Г), которое оказывается матричным представлением группы С. Другой выбор базиса приводит к эквивалентному матричному представлению.
Если задано и-мерное матричное представление у группы С, то, сопоставляя каждому элементу д б С оператор умножения на матрицу р(д) в пространстве Г, мы получаем линейное представление группы С на пространстве Г". Нетрудно проверить, что указанные способы перехода от Г]С]-модулей к С-пространствам, линейным и матричным представлениям и обратно переводят неприводимые объекты в неприводимые и изоморфные — в изоморфные. Операция умножения в Г]С] задает на пространстве 1' = Г]С] структуру Г]С]-модуля; соответствукзщее линейное представление группы С на 1' называют регулярным представлением.
Мы можем также задавать регулярное представление, расслсатривая пространство ь' с базисом (ев), д Е С и определяя отображение В: С вЂ” ь СЬ(1') правилом Н(6)ед — — еья при всех д, Ь б С. Базис (ев) называется каноническим базисом пространства регулярного представления. Приведем основные теоремы о представлениях групп.
Теорема 1. Пусть С' - коммутант группы С и ы: С ь С/С' канонический еомоморфизм. Тогда формула и — ь фочь усгаанавливает взаимно однозначное соощвепьснтвие между множествами одномерныг представлений групп С и С/С~. б УЕ. Список определений Теорема 2 (Ыадцке). Пусть группа С конечна и сйех Г не делит ~С~. Тогда ослкое консчномсрное предсдпавление группы С над полем Г иэоморфно прямой сумме неприводимых представ, лений.
Теорема 3. ПдЕсть группа С конечна поле Р алгебраически замкнуто и сущи не делит ~С~. Тогда число различных неправодимых представлений группы С над полем Г равно числу классов сопряженных элементов группы С> а сумма квадратое размерностей этих предспдавлений равна порядку группы С. у Ъ'1.
Список определений Приведем список основных понятий, использованных в задачнике. Алгебра банахова - полная нормированная алгебра. Алгебра Гроссмана векторного пространства внешняя алгебра пространства. Алгебра групповал (группы С нлд полем Р) — множество конечных формальных линейных комбинаций вида ~„оду (у Е С, ад Е Г) с естественным сложвнисм и умнОжЕнием на элементы поля г" и операцией умнОжения оду ' со 6 = одолуб распространяющейся на линейные комбинации по закону дистрибутив- ности. Алгебра дифференииальньдх операторов --- алгебра Вейля. Алгебра нетерова (коьсьдутативная) коммутативная алгебра, в которой всякая строго возрастающая последовательность идеалов конечна. Алгебра нормированная (над нормированном полем Еь) алгебра с функциеи ух~~, х е А, принимающей неотрицательные вещественные значения, причем: а) ()ху > О и ((хй = О тогда и только тогда, когда х = О; б) ))х -'с у(( < ))ха -'г ууу: в) ()Лху = (Л( .
'Ох)), где Л е Ет, х й А:, г) ()ху() ( 'ух() 'улА. Алгебра полупрошаая .-- алгебра, не имеющая ненулевых двусторонних идеалов, состоящих из нилыютентных элоъюнтов; в коммутатнвном случае алгебра без нильпотентных элементов, отличных от О. Алгебра простая алгебра, не имеющая двусторонних ндеалон, отличных от О и всей алгебры. Алгебра формальных степенных рядов (от переменного х над полем Рб) множество фоРмальных выРажений виДа Е', еаьх (ад Е К) Теоретические сведен я 454 с естественным сложением и умножением на элементы поля К и операцией умножения авхь ~ ~Ьгх~ = ) сить, и=о ь=о и=о где си = Х а,Ь,.
ез =ь >е, 1>о (е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) и всякая изоморфная ей группа. Груиг~а периодическая -- группа, все злеыенты которой имеют конечный порядок. Движение отображение евклидова пространства в себя, сохраняющее расстояния между точками. Дейшпеие еруппы иа миожеслпве группа С действует на множестве ЛХ, если каждому элементу д Е С поставлена в соответствие биекпия ЛХ з ЬХ и д1да(т)) = (дауда)(т) для любых ды де Е С, т Е М. Аяеебра центральная алгебра, центр которой совпадает с 1 - К> где 1 -- единица алгебры, К вЂ” ее основное поле. Векторное пространство нормированное (над нормированном полем К) векторное пространство с функцией Охй,принимающей неотрицательные вещественные значения, причем: а) 2хй ) О и Охй = О тогда и только тогда, когда х = О; б) Зх 4 уи < 'Зхй -Ь йуО; в) 2ЛхО = (Л( 'Ох!), где Л 6 К, х Е 1'.
Вращение — движение, сохраняющее ориентапию пространства и имеющее неподвижную точку. К-вложение инъективный К-гомоморфизьь Гомоморфиэм унитарный — гомоморфнэм колец (алгебр), при котором единица переходит в одинипу. К-гомоморфиэм гомоморфизм алгебр над полем К; термин употребляется в случае, когда алгебры рассматриваются одновременно нвд некоторым расширением поля К. Группа делимая — — абелева группа, в которой для любого элемента а и любого целого числа п, уравнение пх = а имеет решение. Х'руина диэдра ХЭ„группа днижений плоскости, отображающих правильный п-угольник на себя. Группа кеатерииаиое Сйе множество элементов х1, +й хд, хя с умножением элементов, как в теле кватернионов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
