1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 68
Текст из файла (страница 68)
67.45. Пусть Л --. расщепляющее поле для многочлена 7'1я). Показать, что Вь — П,", А„где А, Аш п = с1еб ~. 67.46. Для доказательства импликации в) з а) представить А как факторалгебру алгебры К1вм..., я,]/ (р„, (х~),..., д,. (яз)) и воспользо- ваться задачей 67А5. 67.47.
а) Использовать задачи 67.46, 67,45, 67.42, 67.11. 67.48. Рш:смотреть р (х) для всякого элемента а, 6 Л. 67.50. Воспользоваться задачами 67.48 и 67.49. 67.51. 6) Используя задачу 67.26, доказать, что для всякого расщепля- ющего поля Е расширения Ь/К число различных К-вложений Л -э Л равно (К,,: К). 67.52. а) Подсчитать число различных Л-вложений поля Р в какое- либо расщепляющее поле расширения Р/К. 67.53. Рассмотреть башню полей Л С Л; С Ь и приъюнить задачи 67.31, 67.38. 67.54.
а) Применить задачи 67.30 и 67.35. б) Применить задачу 67.27. 67.55. а) Группа С(С/ж) состоит из тождественного автоморфизма и комплексного сопряжения. б), в) Ез г) Ез сЗ Ез. 67.56. а) 1е). 6) Яю в) Бз г) Яз. д) Г1ж е) Ер.ь ж) Е„'. з) Полунрлэаое произведение группы Ея и ее группы автоморфизмов. Стае етаы и указания 431 и) Прямое произведение т зкземнляров группы ьз (ель ответ к задаче 67.13). 67.57. Всякий элемент а 6 Ь является корнем сепарабельного много- члена над К степени < ~С~, а именно 1(х) = П Дх — а(а)).
Используя существование примитивного элемента у всякого (конечного) сепарабельного расширения, доказать,что (л,:К) = ~С~. 67.58. Рассмотреть действие Я на поле рациональных функций К(ам..., а ) и применить задачу 67.57. 67.59. Вложить группу С в симметрическую группу и применить задачу 67.57. 67.60. Применить задачу 67.57.
67.61. Сначала доказать, что всякое отличное от Н! расширение Галуа ЦРСимеет степень, равную степени числа 2. Затем, используя разрешимость конечной 2-группы и несуществование расширений 1'(И степени ) 2, показать, что 7 = С. 67.63. Рассмотреть действие элементов группы С на лГР. 67.64. Испол зуя линейную независимость ввтоморфизмов (задача 67.2Ц, доказать, что Ь является циклическим модулем над К~у]. 67.66. Группа Я„, действующая посредством перестановок на компонентах алгебры А = П К,(К, К).
Использовать, что К, являютсл единственными минимальными идеалами в А. 67.67. Принять во вниллание, что т(х) = 2 та(тх)е = х а(х)т(е ) для х 6 П 67.68. Использовать задачу 67.20 или интерпретировать (у,(ул)) как матрицу перехода к новому базису, вложив А в Аь. 67.69.
Если поле К конечно, см. задачу 67.64. Пусть К бесконечно, некоторый базис Ь над К и ы = алыл ~-...-> а ы„ произвольный элемент из 5 (если а, 6 К) или из Ьь (если а, б Ц. Условие из задачи 67.68, обеспечивающее, что элементы 1а(ы),а б С) образуют базис в Ь (соответственно в Ьь), означает, что для некоторого многочлена 71хм..., х„) 6 Цхи..., х„) ого значение 71а и..., а„) ~ О. Далее использовать существование нормального базиса в 7 ь (задача 67.67). 67.70.
Если характеристика поля К ~ 2, то К(хи..., х„)Я" = К(ал,..., а„, Ь), где ал,.... а„- элементарные симметрические многочлены от хл,..., х„, Л = П,(х — х,). В случае произвольной характеристики имеет место з» равенство К1хм...,х„)я" = К(аи..., а„у), где у = ~„еея т (П",, х, *~). 67.71. С(хл',х", зхз, ,хлх и хи). Использовать задачу 67.60. 432 Отееты и указания 67.72.
С(у~,у," зуз,...,у~у„му„), где у, = 2 ", е *~хм е перво- образный корень степени п из единицы. В пространстве линейных форм от хм..., х„выбрать базис, состоящий из собственных векторов оператора а; затем использовать задачу 67.71. 67.73. Группа Е,. Поле разложения Ь многочлена х" — а над К имеет вид Л = Л (0), где  — некоторый корень многочлена х" — а в Е. Группа С(ЦК) порождается автоморфизмом а, при которога а(0) = еВ, где е некоторый порождающий элемент (циклической) группы корнеи степени и, из 1. Использовать задачу б7.11. 67.74.
Пусть е порождающий элемент группы корней степени п из 1 в Л; у б Л вЂ” такой элемент из Ь,что 2 ',", е 'а'у ф 0 (почему такой элемент существует?); тогда а = (2 ',", е 'а'у) . Рассмотреть собственные векторы оператора и на Ь. 67.75. Если Е = К(ОП..., 0,), то для всякого а б С(ЦК) а(В,,) = = е,1'а)Оо где г,(а)" = 1. Обратно, если группа С(ЦЛ) абелева периода н, то использовать следующий факт: если во множестве попарно коммутирующих линейных операторов, каждый из которых диагонализируем, то существует базис из векторов, собственных для всех этих операторов. (Этот факт следует из задачи 40.7.) 67.76.
Рассмотреть билинейное отображение С(ЦК) х А -+ 11, для а б С(Л/К), а б А (а б (К*",ам, а,)), (а,а) — > (аО) . О ', где О б Л и В" =а. 67.77. Л вЂ” ~ (Ь" О К*),1К "; если А = В/К*", В = (К ", ам, .., а,,) подгруппа в К", то А з Ь = Л(В,...,В,), где О, = а, Воспользоваться задачей 67.76. 67.78. Если СЯК) = (а), то для отыскания В использовать корневой вектор высоты 2 линейного оператора а. Для доказательства обратного утверждения воспользоваться задачей 67.12.
67.79. Если Л = К(Вм...,О,), то для всякого а б С(ЦК) а19,) = = В, -Р ~„у, 6 Рн (см. задачу 67.12). Обратно: если С = С(ЦК) есть прямое произведение л циклических групп порядка р, то выберем в С подгруппы Н, П = 1,..., л) индекса р, для которьгх П,',Н, = 1е); тогда Л = К(В,) (скь задачу б7.78) и Л = К(Вм..., В,). 67.80. Рассмотреть билинейное отображение С(ЦК) х А — ь Р, где для а б С(ЦК), 6 6 А (а, б (р(к),ам...,а,)), (а, а) — ь а(0) — О, где В б Ь и р(9) = а.
67.81. Ь вЂ” > (р(ь) П К))рсК); если А = В)р(К), В = (р(К),ам... ..., а,), то А -ь Л (0 и..., В, ), где р(0 ) = а,. Воспользоваться задачами 67 70 и 67.80. 68.1. Воспользоваться задачей 56.35. 68.2. а) Если ~Ц = а, то Л является полем разложения многочлена хи — х. Отееты и указания 433 б) Использовать указание к а) и задачу 67.27, б). 68.3. См.
указание к задаче 28.2; в пункте а) использовать также, что многочлен хя — х не имоет кратных корней, 68.4. Использовать задачу 56.35. 68.6. б) Разложить а в произведение независимых циклов. 68.7. Если Ь = П, р ', где рл различные простые числа, то раз- ложить кольцо ее в прямое произведение колеи вычетов по модулю р '. Если Ь = р, р простое, то представить множество классов вычетов в ви- де объединения подмножеств, каждое из которых содержит все элементы, имеющие одинаковый порядок в аддитивной группе кольца вычетов.
Да- лее использовать строение группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю р". 68.8. Подсчитать число инверсий перестановки гб упорядочив эле- менты нз С слеДУлощнлс обРазом: О, хм..., х„, — х„,..., — хл, гДе 1хы ...,х„) = Я. 68.9. а) Использовать задачу 68.8, взяв произвольным образом мно- жества Я~ и Яз в Сл и Сз и положив Я = Ял С р Соз), где р: С л Сз канонический гомоморфизм. 68.10. Использовать задачу 68.8. 68.11. Использовать задачу 68.10. 68.12.
Множество Л пар чисел (х,у),где 1 < х ( (о, — 1)/2, 1 ( у < ( (Ь вЂ” 1)/2, разбивается в объединение четырех подмножеств; Л1 = Цх, у) О Л ( ау — Ьх < — Ь/2), Лз = ((хЬ у) О Л ( — Ь/2 < ау — Ьх < О), Лз = 11х, .у) О Л ( 0 < ау — Ьх < а/2), Ля = Цх, у) б Л ( аЕ'2 < ау — Ьх). Используя биекцию /а+1 Ь4-1 (х,у)- ~ — ", — у), 2 ' 2 показать, что ~Лл ~ = )Ля(.
Используя задачу 68.10, показать, что 68.13. Представить матрицу оператора А в виде произведения элементарных. 68.14 — 68.16. Сме Лида 3., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1— Ме Мнр, 1988, Гл. 2, 8 3. 69.4. а) Да, б) Нет. в) Да. г) Да. д) Нет.
е) Да. 28 Л.И. Кострнкнн 434 Ответы н указания 69.5. Все указанные подпространства, за исключением г), д) и з). )'1 -1 гз ') 69.7. О 1 — 21 1в базисе 1,х,х ). О О 1 сов 1 ып1 69.8. '. ) 1в базисе в1пхдсозх). — з1п1 соь1 ) 69.10. Представить пространство М 1К) в виде суммы подпространств, состоящих из матриц, все столбцы которых, кроме одного, нулевые.
69.11. Доказать предварительно,что подпространства в М 1К) инвариантное относительно всех операторов АО1А), где матрица А диагональна, является линейной оболочкой некоторого множества матричных единиц Еп 11 ~ 1) и некоторого подпространства диагоныьных матриц. 69.12. Доказать предварительно, что всякое подпространство в М„)К),инвариантное относительно всех операторов вида Ф1А),где матрица .4 диагональна, является линейнои оболочкои некоторого множества матРип вида аЕ„ + ЬЕм 11 ~ 1) и некотоРого подпРостРанства диагональных матриц. 69.13. Найти общий вид глатриц Х таких,что Х (1 О) (О О) Х' ' (' ) = ( -" -' )Х и показать,что всегда с1есХ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
