1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Но по теореме Сплава существует подгруппа порядка 4,и тогда она в силу сказанного единственна. в) Если р > в, то число т подгрупп порядка рз сравнимо с 1 по модулю р только при го = 1, Если р ( и, то число д-подгрупп сравнимо с 1 по модулю 4 и дешт р или рз. Так как р оно делить не может, оно равно р~. Значит, элементов порядка о будет р (д — 1).
Однако подгруппа рз существует, поэтому она единственна (р в7 = р'(д — 1) + р ). г) Силовская 7-подгруппа нормальна. д) Сиповская 5-подгруппа нормальна. е) Комбинируются соображения задач 62.16, 62.18, в), а также то, что если некоторая сиповская подгруппа имеет индекс нормвлизатора Й, то группа представляется подстановками на множестве сиповских подгрупп, т.е.на lс символах. 27 АЗЕ Кострвквв 418 Отееты и указания 62.20. Использовать задачу 62.19. 62.21. Использовать задачу 62.1, в). 62.23. Воспользоваться теоремой и следствием 14.3.1 из книги: Холл М. Теория групп.
Мл ИЛ, 1962. 62.26. Смз Химфрн Длс. Линейные алгебраические группы. Мз Мир, 1980. С. 184 — 186. 62.27. а) Так как порядок 9 — 1 мультипликативной группы Ее делится на р, то таких чисел г существует р — 1 (см. задачу 60.46). эх' х1 б) Группа, состоящая из матриц ( ), где г --. число из а), рассъэатриваеээое по подмодулю д, х б ье (О < э < р), некоммутативна достаточно рассмотреть матрицы ( ( и ( (. Эта группа имеет порядок ру. Пусть С неабелева группа порядка рд, А = (а) ее силовская подгруппа порядка 9, В = (Ь) -- сиповская подгруппа порядка р. Тогда по теореме Силова (см,также задачу 62.17) А нормальна в С.
Поэтому -1 -г Ьаб = и', в частности, Ь"аЬ 'г = и = а'; поэтому е" = 1 (шос1 9), так как С неабелева. Меняя, если нужно, элемент Ь на его Ь-ю степень (1 < Ь < р), мы можем е заменить на любое число, обладающее аналогичными свойствами. Поэтому если Сэ н Сз две неабелевы группы порядка ру, в них можно выбрать элементы о„Ь, (э' = 1, 2), аналогичные а и Ь, обладающие свойстваьэи: а~ = е, Ье = е, Ь„а,Ь„' = и,", где г" = 1 (пэоб д). Изоморфизм междУ такими гРУппами УстанавливаетсЯ соответствием 1з(а(Ьэ) = избе, где 0 < е < 9, 0 < 1 < р. 62.28. 6) Произведение этих перестановок в указанном порядке есть цикл длины 7.
Согласно а) факторгруппа этой группы по коммутанту тривиальна, поэтому группа совпадает со своим коммутантом. в) Данная группа гомоморфно отображается на группу из б) и согласно задаче 61.2о и поэтому нерззрепшма. 62.29. Неразрешима, если система свободных порождающих состоит более, чем из одного элемента, так как в этом случае нет нетривиа.чьных абелевых нормальных подгрупп. См. также задачу 62.11, 6). 63.1. а), б), г), е), ж), з), к), л), м), н), о) прн ТЭ = 1 (пэос1 4).
63.2. в), г), д), е), ж) при В = 1 (пэос1 4). з), и) Использовать, что 4'2 не является корнем квадратного трехчлена над Я. 63.3. Все, кроме з). 63А. Нет. 63.6. См. задачу 1.2. 63.7. 63.2, в); 63.4, г) при и > 2; 63.2, д) при В = с (с Е ь); 63.2, е) при ТЭ = сэ (с Е й); 63.3, а); 63.3, б); 63.3, д) при (В '1 ТЭ~ > 1; 63.3, и); 63.5. Отеетм и указания 419 63.10. Заметить, что (ху) = у х 63.11. а) Е,*, состоит из всех таких классов [й], что числа й и и взаимно просты, делителями нуля явллются все такие классы [й], что й и п имеют нетривиальный обший делитель:, нилылотентными элементами являются все такие классы [й], что й делится на все простые делители п.
б) Ер состоит из всех таких классов [й], что й не делится на р: делителями нуля являются все классы вида [рггг]; каждый делитель нуля нильпотентен. в) Аналогично а), где вместо и берется многочлеи З'. г) Множества матриц (ао), у которых соответственно а„ф 0 (г = 1,... ..., п); а„= 0 хотя бы при одном г; все а„= О. д) Множества матриц А соотвотственн о с бес А ~ О, бег г1 = 1г А = О. е) Множество функций, не принимаюших значение 0; множество функций, принимающих значение 0; нулевая функция. ж) Обратимыми элементами являются ряды с ненулевым свободным членом; делителей нуля и нетривиальных нильпотентных элементов нет. 63.13.
а) Отображение х — л ах (а Е Л, а ф- О) . биекция, поэтому ах = а при некотором х 6 Л; любой Ь б Л представим в виде Ь = уа, и тогда Ьх = Ь, т.е. х - — левая единица. б) Элемент, обратимый справа, не является правым делителем нуля, и поэтому х л ха — биекция. в) Если аЬ = 0 и а не является правым делителем О, то элементы хла,... ..., х„а попарно различны и один из них равен 1.
Утверждение в) неверно в а.лгебре над Хг с базисом (х, у) и таблицей умножения ху = у = О, ух = у, г х =х б) Неверно в бесконечномерной алгебре над ь с базисом (у~х' ] й,! 6 И) (элементы х и у не коммутируют) и умножениелл / у х "~' при 1>г, у х у'х'= у х' при у +' х' при 1(г. 63.14. Если аЬ = 1, то (Ьа, — 1)Ь = О. 63.15. 6) См. ответ к задаче 63.14.
в) См. ответ к задаче 63.13. 63.16. а) Л коммутативно (имеет единицу) тогда и только тогда, когда каждое прямое слагаемое Л, коммутативно (имеет единицу); в Л нет делителей нуля тогда и только тогда. когда й = 1. б) Элемент а 6 Л, а = (ам..., аа ), а, 6 Л„обратим (нильпотентен) тогда и только тогда, когда каждое а, обратимо (нильпотентно) в Л„г = 1,..., й.
63.17. а) Отображение [х]я — л ([х]ь, [х]Д изоморфизм. 420 Опзеепзьз и указания в) Пара ((х), (у)) обратима в Ия х 2е тогда и только тогда, когда (х) обратим в Ея, (у) обратим в Еб зе(п) число порождающих элементов Х„. 63.19. б), в) Рассмотреть линейное отображение х,: А э А, задаваемое формулой х,(х) = ах.
63.20. Использовать существование аннулирующего многочлена у каждого элемента алгебры. 63.21. а) ССУС, С(х)((хэ). б) Кроме алгебр в а), еще три алгебры: Се Се Се, где ез = 0; Се Ю Су', где е = е г" = уе = О, уз = е; Се З Су, где сэ = О, У~ = У'. 63.22. а) Е01 И, С, Щх)Дхз). б) Кроме алгебр в а), Ее Я Ее, где е~ = 0; Ее Ю Жу, где е = О, 1" и векторное пространство Ее О му, где еэ = еу = уе = О, 1~ = е. 63.23. а) Нет. г) Все кватернионы хзз -> хэй -1- хз1 с условием х, -~ хэ -> хз — — 1. 2 2 2 63.24. Использовать базис У(Г), построенный с помощью базиса К. 63.25. 6) Использовать базис АЯ(1г), построенный по базису И.
в) Если х -- нильпотентный элемент кольца, то а+х обратим при и ~ О. 63.28. Применить операторы р,'... р'„"узз... ум к одночленам х, ' ., 1 63.31. б) Нули непрерывной функции образуют замкнутое подмножество. Если уд = О, то нули 1" и д в объединении дают (О, 1). 64.1. Использовать деление с остатколз. а) ззУ,.
б) ((х)Л (х). 64.2. а) Рассмотреть идеал (2, х). б) Рассмотреть идеал (х, у). 64.3. Если ненулевая матрица Х принадлежит идеалу 1, то матрица АХВ вида Ем +... + Е„, 6 1, откуда АХВЕз1 = Езз б 1; поэтому Е = Ем "- . 4- Еу;„6 Е /з ~з1 64.5. Каждый идеал состоит из всех патрии вида ~ ~, где элеоз /' менты ая составляют в У, идеал 1е (1 = 1, 2, 3), причем 1з С 1э и 1з С 1з- 64.7. 0; вся алгебра; все матрицы с нулевым первым (вторым) столбцом; все матрицы с одинаковыми столбцами. 64.8. а) О, Ь и подалгебра (е). б) О, Е, (1+ е) и (1 — е).
Всякий идеал, отличный от 0 и Ь, является одномерным подпространством в Ь. 64.12. а) (р), где р простоечисло. б) (р(х)), где р(х) многочлен первой степени. в) (р(х)), гдс р(х) — многочлен первой степени или многечлен второй степени, не имеющий действительных корней. 64.13.
Неверно. Отлеты и указания 421 64.14. б) Если нет точки, где все функции обращаются в О, то для каждой точки а б (0,1)найДетсЯ такаЯ фУнкциЯ ую что 1'(а) ф О. В силУ непрерывности функпия 1,'(х) строго положительна в некоторой окрестности (а — е,а -~- ен) точки а (и неотрицательна в остальных точкюс). Поскольку из каждого покрытия отрезка интервалами можно выбрать конечное покрытие, найдется конечное число функций гм..., 1е из идеала таких, что 1, (х) -~-...
+ уь (х) > 0 длЯ любого х. 64.15. Рассмотреть идеал, порожденный элементом а Р' О. Кольцо с нулевым умножением, аддитивная группа которого циклическая простого порядка, не имеет нетривиальных идеалов, но полом не является. 64.16. Доказать. что полные правые делитыи нуля (т.е. элементы а б Н, для которых 22а = 0) образуют левый идеал и поэтому не могут быть отличными от нуля. Если же Ьа ф О, то 21а = В. Вывести отсюда, что в Я вообщо нет делителей нуля и что отличные от нуля элементы кольца образуют группу по умножению. 64.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
