1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть Х нормальная в С подгруппа, построенная в решении задачи 58.35. 'Гогда р! делится на (С/Л'~ и ~С/Х) ) р, ибо Х С Н. Но по ущтовию р минимальный простой дечитеэп, числа (С(, а значит, и у числа ~С/Х~ не может быть простых делителей, меньших, чем р, так как ~С~ делится на ~С/Х~. С другой стороны, в разложении чисза р! все простыв делители, кролле одного, меньше р. Поэтому ~С/Х( = р, т.е. индексы, а следовательно, и порядки подгрупп Х и Н совпадают. Из включения Х С Н следует тогда равенство Х = Н (и нормальность подгруппы Н). 58.3Т. Любой линейный оператор действует на одномерных подпространствах, переставляя их. Проверить, что в двумерном пространстве над Ез имеется четыре одномерных надпространства, которые можно произвольныъэ образом переставить с помощью подходящего линейного оператора.
Проверить, наконец,что ядром действия является центр группы С1 з(Ез). 58.38. В собственную подгруппу порядка и попадают все смежные классы вида Й/и + Е, где )с --любое целое число. 58.39. Рассмотреть отображение, сопоставляющее каждому д б С автоморфизм х э дхд 58.40. Если С/Е = (аЕ), то любые элементы х,д б С имеют вид х = и =а и у=а хи а тогда хд= ух. 58.41. Использовать задачи 58.21 и 58.40. 58.42. Использовать задачи 58.39 и 58.40. 58.43.
рз+р — 1, причем р классов состоят из одного элемента, а остальные из р элементов. Вывести из задач о8.21 и 58.40, что центр Е имеет порядок р. Централизатор любого элемента а ф Е имеет порядок р', так как он содержит Е О (а) и не совпадает со всей группой. Число сопряженных с а элементов равно р: р = р 58.44. а) Проверить, что произведения аоЬ|... а„~б„~а„элементов максимальных подгрупп А и В составляют подгруппу С, строго содержащую А и В (а значит, сощщдзющую с С).
Элементы из А О В перестановочны с элементами из С, так как А и В коммутативны. б) Пусть Н некоторая максимальная подгруппа в С: Н ф. 1е), так как С не является циклической группой. Обозначим (Н! = иэ и )С) = и = )т. Из максимальности подгруппы Н и простоты группы С следует, что нормализатор Х подгруппы Н в группе С совпадает с Н. т.е. существует 1 различных сопряженных с Н максимальных подгрупп. Если допустить, что 406 Отеегиы и указания их попарныс пересечения содержат только е, то в их объединение входит 1+1Гт — Ц элементов из С. Поскольку 1т — 1+1 ( и, то найдется элемент, не лежащий ни в одной из них, а значит, наидется содержащая этот элемент максимальная подгруппа К, не сопряженная с Н. Пусть опять ~К~ = гпг и н = 1~ты Гогда, допустив, как и вьппе, что 1+1г максимальных подгрупп попарно пересекаются по 1е), получим 1-~-1(пг — Ц -~-11(тз — Ц > 1 4- — 4- — > и.
2 2 элементов в С. в) Одна из максимальных подгрупп некоммутативна, иначе, как видно из пп. а)., б), в группе С был бы нотривизльный центр вопреки еб простоте. 58.45. Смл Согепеге1н Н. Гшйе бгопре. Натрет апб Нож, 1968. Гл. 2, 3 8. 58.46. Пусть С конечная подгруппа в БЬэЯ). Ввести в пространстве Иэ новое скалярное произведение (х,у)н = 2 (дх,ду), есн где 1х, у) = х1уг -~ х э уз для строк х = 1х и хэ) и у = (ум уэ). Показать, что относительно этого скалярного произведения казкдый оператор д становится ортогональным.
Поэтому С состоит из поворотов и отражений. Вывести, что С С Р„для некоторого п. Так как Ггд Е О, то, используя зада гу 4.13, показать, что п равно 3, 4 или б. 58.47, 58.51. См.. Супруненке Д.А. Группы матриц.. Мс Наука, 1972. -. 1'л. П1. 58.52. Сми Изоморфиэмы классических групп над целостными кольцами. - - Ми Мир, 1980. — С. 252-258.
59.1. а) гд" — Цгд" — д)... гд" — д" '). При подсчете числа невырожденных матриц заьгетить, что если уже выбраны 1 первых строк, то для выбора П+ Ц-й строки имеется д" — д' возможностей: действительно, всего существует д различных строк длины и над полем из д элементов, но в качество (1-~- Ц-й подходят лишь те из них, которые не являются линейными комбинациями г строк, выбранных раньше. г1исло таких линейных комбинаций это число упорядоченных наборов, составленных из г коэффициентов, т.е. д'. 1 б) — 19 — 1Кд" — д)... 19" — д" '); подгруппа БЬ„(ге ) есть ядро гомо- Ч морфизма А э г1еа А группы СЬ„(Ге ) на мультипликативную группу поля Хе (состоящую из д — 1 элементов).
Отсюда по теореме о гомоморфизме ~СЬ„ГРи )/БЬ(ге)~ = д — 1: остается применить а) и теорему Лагранжа. 59.2. а) Нет; найти число элементов второго порядка в этих группах. Ответы и указания 407 б) Нет: заметить,что матрица 2Е лежит в центре группы ЯЕз(Ез) и воспользоваться задачей 58.13, а). 59.3. а) 2-подгруппы ((12)), ((13)), ((23)); 3-подгруппа ((123)). б) 2-подгруппа Ъ'с: 3-подгруппы ((123)), ((124)), ((134)), ((234)). 59.4.
а) Первая и вторая (см. ответ к задаче 59.3, а)) иэ силовских 2-подгрупп сопряжены с помощью перестановки (23)., первая и третья с помощью (13). б) Первая и вторая из силовских 3-подгрупп сопряжены с помощью перестановки (12)(34), ссервзя и третья с помощью (13)(24), первая и четвертая — с помосцью (23)(14). 59.5. Занумеровав вершины квадрата, получить изоморфное представление группы Вв перестановками: 1ув Р С Бс. Поскольку ~1Э4~ = 8 и ~84~ = 24 = 8 3, Р силовская 2-подгруппа в Яв. Другио сиповские 2-подгруппы группы Яв изоморфны Р в силу сопряженности.
59.6. а) В подгруппе (е, (1324), (1423), (12)(34), (13)(24), (14Н23), (12). (34)). б) В подгруппе (е,(1234),(1432),(13)(24),(12)(34),(14)(23),(13),(24)). в) В каждой из трех силовских 2-подгрупп. 59.7. Эти группы неизоморфны по задаче в9.2. Если в некоторой неабелевой группе С порядка 8 есть подгруппа второго порядка,не лежащая в центре, то С ьл 134; это следует из задач 57.20 и 59.5. В противном случае обозначаем е и — е -- элементы центра группы С (по задачам 58.21 и 58.22 центр группы С состоит из двух элементов). Пусть с,, с 6 С и сЗ ~ уй Обозначим к = су, с = — с, 1 = — 1, /с = — й.
Проверить, что естественное отображение группы С на группу кватернионов являетсл изоморфизмом. 59.8. Решая в группе БЬз(Ез) уравнение Х = Е, получаем лишь два решения: Х = жЕ. Аналогично находим шесть элементов порядка 4, решая уравнение Хз = — Е. Из них уже не извлекаютсл квадратные корни, т.е.
в ЯЬз (Ев) нет элементов порядка 8. Поскольку- получилось восемь элементов, порядки которых — степени двойки, в ЯЬз(Ез) есть лишь одна сиповская 2-подгруппа, так как ~БЬз(Ез)~ = 24 = 8 3 по задаче о9.2. Следовательно, это подгруппа нормальна. Она неабелева, так как, например, элементы (- ~ ~: ) 0 1'У /1 ) и ( ) имеют порядок 4 и не коммутируют. Далее использовать задачу 59.7.
59.9. а) 5. б) 10. в) б. 5910. р',гдето= ~ — ]+~ —,]+~ —,]+... 59.11. (р — 2)!. Число р! делится нар, но не делится наре. Значит, каждая сиповская р-подгрупна состоит из степеней одного цикла (Псе .., ссс). Число таких циклов равно (р — 1)!, а число различных порождающих в циклической подгруппе порядка р равно р — 1. 408 Отееты и указания 59.12. Воспользоваться теоремой о сопряженности силовских подгрупп. 59.13. а) ~ВЬл (Х„) ~ = р(р — 1Ир-Е1) 1сьь задачу 59,Ц. Значит, снловскал р-подгруппа имеет порядок р.
/х у ') б) Нормализатор состоит нз всех матриц вида ~ ',), где л ф О. в) Поскольку порядок нормализатора равен р1р — 1), его индекс, а значит,и число различных сиповских р-подгрупп, равно р -с 1. г) Использовать задачу 59.1. /х д) Множество всох матриц вида, где т, з ф О. ' '10 е) ри-1. 59.14. Доказать, что порядок подгруппы и максимальная степень числа р, делящая ~СЬ,ДЬр) ~, равны р Ц' О' л 1см. задачу 59.1). 59.15. а) Коли р нечетно, то сиповская р-подгруппа единственна и состоит нз поворотов правильного и-угольника на углы 2хй/р, О ( й ( р, где р - — наибольшая степень числа 4, делящая и. Пусть и = 2 т, где т нечетно. Тогда в 1З„содержится т различных сиповских 2-подгрупп. Каждую такую подгруппу можно получить, если выбрать правильный 2 -угольник, вершины которого содержатся среди вершин данного и-угольника 1а центр тот же), и рассмотреть все движенил, совмещающие его с собой.
б) При р = 2 в качестве сопрягаюшнх з.лементов можно взять повороты на углы 2хй(т, О ( й ( щ — 1. 59.16. Пусть )С) = р~ т, где гп не делится на р, и )Кегф = р' где 1 не делится на р. Тогда Н С/ Кег уд и по теореме Лагранжа порядок сиповской р-подгруппы Р н Н равен р~ '. С другой стороны, ~РОКег у~ ( р', ибо ) Кегел~ делится на ~Р О Кету~. Значит, (фР)~ = ~Р(Р О Кегел( ) р' что и требовалось. 59.17. Очевидно,что Р С уя(Р) х Лев(Р), где улл и рв .- гомоморфизмы проецирования на А и Н соответственно.
Это включение на самом деле является равенством,как видно из сравнения порядков ~Р~, ~еля(Р)~и ~рв(Р)~. 59.18. а) Пусть /С/ = р' ° т и /Н/ = р' Ь где т, 1 не делятся на р. Тогда порядок р-подгруппы РН(Н в С/Н не больше р' '. Значит, порядок ядра Р О Н естественного гомоморфнзма Р— л РН1Н не меньше р, что н требуется доказать. б) В качестве Р и Н взять, например, различные силовские 2-подгруппы в Яз асье задачу 59.3). 59.19. См. задачу 5825. 59.20. Использовать теорему о том, что число различных силовских р-подгрупп делит порядок группы и сравнимо с 1 по модулю р, а также Отеетьз и указания 409 о9.12 и 58.6.
59.21. Пять сиповских 2-подгрупп и одна сиповская 5-подгруппа (см. указание к задаче 59.20). 59.22. а) К сиповской 3-подгруппе В применить задачу 58.35. б) Если сиповская 5-подгруппа не является нормальной, то, как следует из теоремы из числе сиповских подгрупп, в группе должно быть 16 раз.яичных 5-подгрупп. Поскольку их попарные пересечения тривиальны, в группе не больше, чем 80 — 16-4 = 16 элементов, порядки которых суть степени двойки, они могут образовывать лишь одну сиповскую 2-подгруппу, которая, следовательно, нормальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
