1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 61
Текст из файла (страница 61)
б) Множество всех стспоней данной перестановки. 57.24. а) Подгруппа диагональных матриц, б) Вся группа. зза -б Ь 2а в) Множества матриц вида ( ), где а, Ь б В и Ь + ЬаЬ— ( Зи 4ае-Ь)' — 2а ~0. за Ь1 г) Множество матриц вида ( ), где а, Ь б В, а ~ О. а)' 57.25. а) Подгруппа всех диагональных матриц. УА ОЛ б) Подгруппа всех матриц вида, где А и В невырожденные матрицы порядка Й и п — Й соответственно.
57.26. Аз и .4з сопряжены, так как имеют одинаковую жордановуформу, а Аз и Аз не сопряжены, так как имоют разные жордановы нормальные формы. 57.27. а) Со как группа порождается матрицами Е+ ЛЕг и где 2 ф р ~ Ф 9 Ф з. б) ЛЕ, Л' = 1. в) Е+ 'аЬ, где а, Ь вЂ” строки, причем б'а = О. Последнее утверждение вытекает из в). 57.28. а) ЯОз(В). б) жЕ, симметрии относительно ОХ н ОУ. 57.30.
а) Яз = (е) С ((12), (13), (23)) С ((123), (132)). б) Аз = (е) С ((12)(34), (13)(24), (14Н23)) С С ((123),(134),(142),(243)) С ((132)(143), (124),(234)). в) Симметрия относительно средних линий квадрата, повороты квадрата на углы жя/2, центральная симметрия квадрата, тождественное отображение. 57.31. а) Единичная группа. б) Группа порядка 2; поскольку все неединичные элементы группы сопряжены, порядок группы п должон делится на п — 1. в) Группа изоморфна группе подстановок Яз или имеет порядок 3. В любой группе есть класс, состоящий только из единицы.
Пусть п порядок группы О, а Й, 1 числа сопряженных элементов в каждом из классов, Й (1. Тогда и делится на Й н 1 и 1-б Й -~-1 = и. Возможные решения: Ц и = 3, Й = 1 = 1; 2) п = 4, Й = 1, 1 = 2, это решение нужно отбросить, поскольку группы порядка 4 абелевы (т.е. имеют 4 класса); 3) и. = б, Й = 2, 1 = 3; 26 А.И. Когтрнкнн 402 Опсеесссьс и указания чтобы установить изоморфизм 0 = Яз, использовать действие группы С сопряжениями (см. задачу 57.22 на классе, состоящем из трех элементов).
57.32. а) ((12)(34), (13)(24), (14)(23)). б) ((123) (132):(124) (142) (134) (143) (234) (243)). 57.34. Пусть а, = (сс...Ьо)(свес... сс)... разложение перестановки а на независимые циклы. Для вычисления перестановки с = ЬаЬ записать Ь в виде ( сс ... го 1о.„с ... сс уо Элес ус ) Тогда с = Ос...1о)(зозс... зс)...
57.35. а) 5. б) 7. в) 11. ос+ б тс+ 3 г), осли п, четно, и, если и нечетно:, для нахождения числа 2 ' ' 2 элементов, сопряженных с данным, достаточно найти порядок его пентрализатора; обратить внимание на то, что поворот вокруг центра на угол я совмещает и-угольник с собой, если п четно. 57.36. Необходимость следует из равенства следов сопряженных матриц. Длл доказательства достаточности равенства оос -~ соз = 2яй в качестве сопрягающей матрицы для канонических форм рассмотреть матрицу ойа8( — 1, — 1, 1).
57.37. а) Сопряженные подгруппы имеют одинаковый порядок. б) Н = дНд ', где д = с!1аб(2, 1). 57.38. а) М(Н) (Н (о ос)). б) А'(Н) состоит из всех невырожденных матриц второго порядка, в которых ам = О. в) М(Н) состоит из 8 перестановок, выписанных в ответе к задаче 57,21, б). 57.39. а) Асж С циклическая группа порядка 4, состоящая из автоморфизмов возведения в степень )с = 1, 2, 3, 4. б) АпсС вЂ”.- группа второго порядка, в которую кроме тождественного автоморфизма входит автоморфизм возведения в пятую степень.
57.40. а) Каждый автоморфизм группы Бз определлется своим действием на трех элементах второго порядка. б) Любая перестановка неединичных элементов группы ссс определяет ее автоморфизм. 57.41. а) Да, Аси Ео циклическая грусспа порядка б, порождаемая автоморфизмом возведения в квадрат. б) Нет, ~ АиоЕо~ = 4, но квадрат каждого автоморфизма -. тождественное отображение. 57.42. ~ Апс Асс1 Ассе Ео~ = 1.
Использовать задачи 57.41 и 57.39. Ответы и указания 403 57.43, 57.44. Корвалолов М.И., Мерзляков 7О.И. Основы теории групп. — ГИл Наука, 1982. Гл. 2, 3 5.3. 57.45. Пусть 1Э» = (а,6 ) а» = Ьз = (аЬ)' = 1). Тогда АпсТЭ» = (|р, ф), где ср(о) = а, р(Ь) = Ьа, ф(а) = а ', р(Ь) = Ь. При этом р = вез = (узф = 1, т.е. Ап»1Э» - ТЭ»,!пс)Э» = (у»',у»). 57.46. Пусть 1Э = (а,Ь ) а" = Ь = (аЬ)з = Ц. Тогда АпСП„= (р,фь, (Ь, и) = 1), где р(а) = а, р(6) = Ьа, у»(а) = ас, »р(6) = 6, где (Ь, п) = 1, 1 < )с < и — 1. 58.1. б) Использовать теорему об определителе произведения матриц. в) Испольэовать теорему о четности произведения перестановок.
58.4. а) Аз. б) Ъ"». в) Ъ'» и А». Воспользоваться теьс, что порядок подгруппы делит порядок группы, что нормальная подгруппа вместе с любым элементом содержит все сопряженные, а также задачами 57.27 и 57.30. 58.5. Например, К = ((12)(34)), Н = Лс». 58.6. а1»о, 'Ь ' = а(Ьа 'Ь ') = (аба ')Ь ' 6 АСЭ В. 58.7. Пусть с б С и С = НУ Нв разложение группы С на два смежных класса.
Тогда любой элемент из С может быть записан в виде Ьсй ' или в виде 1ысх 'Ь ', где 5 6 Н. 58.9. Пять классов сопряженности, состоящих из 1, 15, 20, 12 и 12 элементов. Воспользоваться задачами 57.34 и 58.7. Группа Ав состоит из четырех классов элементов, сопряженных в Бв, представителями которых являются е, (12) (34), (124) и (12345). Первый и второй состоят из нечетного числа элементов (1 и 15), поэтому являются классами сопряженности и в А» Третий также не распадается в Ав на двв класса, ибо в качестве х (см. указание к задаче 58.7) можно выбрать перестановку (45), но тогда (45)(123)(45) ' = (123).
Наконец, четвертый распадается в Ав на два класса,ибо число его элементов 24 не делит порядок группы Ав. 58.10. В соответствии с задачей 58.9 порядок нормальной подгруппы, делящей число 60, можно составить из слагаемых 1, 15, 20, 12., 12, причем в качество одного из слагаемых непременно нужно взять 1,ибо е входит в любую подгруппу. 58.11. Сначала доказать в). Центр состоит из жЕ. Других подгрупп порядка 2 нет,поэтому все они нормальны, (см. задачу 58.3).
Классы сопряженности (Е), ( — Е), (ж1), (ж.7), (хК). 58.12. Подгруппы 1Эь в 1Э, где Ь делит и, и подгруппа вращений в )Э„. 58.14. ЛЕ. 58.16. в) Вытекает из задачи 56.4, г) По в) при естественном гомоморфизме ЯЬ„(2) в ЯЬ„(лез) группа С отображается инъективно. 404 Отееты и указания 58.17. Если аз - автоморфизм х -«дхд, то а, - тождественный автоморфизм, (ал) ' = аз->, овал = азл и (р ' 'Нх) =р(др '(х)д ') =Яд)хр(д ') =а,ш«(х) для любого р б Ап« С. 58.19. а) Вз при и = 2 и (е) при п ф- 2. б) Азприп=3и(е) припр3. в) Центр является единичным при нечетных гг., а при четных включает еще поворот на угол гг. 58.21.
Элелгент лежит в центре тогда и только тогда, когда он совпадает со всеми сопряженными ему элементалги. Поэтолгу, если в центре лежит лишь одна единица, то ри = 1 -«р ' Ь... + р ' (Ь, ) 1) (число элементов любого класса сопряженности делит порядок группы). Но тогда 1 делится на р. 58.22. б) Центр состоит из матриц вида Е+ ЬЕ>з. в) Класс сопряженности нецентрального элемента Е+ аЕм + ЬЕ>з + -«сЕ>з состоит из матриц вида Е -«аЕ>з -«хЕ>з -«сЕ>з (х б Уе).
58.23. а) (ЛЕ). б) (~Е). в) Вся группа г) (Е) д) (*Е). е) (аЕ / о" = 1). ж) (Е «ЛЕ>„). 58.26. Группа Н изоморфна факторгруппе группы С. 58.27. Гомоморфизм определяется образом порождающего элемента а,. Ниже указаны возможные образы этого элемента. а) Любой элемент группы; число гомоморфизмов равно и. б) е,. Ьз, Ьь, Ье, Ьг>, Ьг'. в) е, Ь, Ь , Ьз, Ь~, Ь".
г) с, Ь', Ьге. д) е. 58.28. Найти образ а«2, если а >-«1. 5829. а) Е . б) Ез в) Ез г) Ез. 58.30. Построить линейное отображение Е" на Е" л с ядром Н. 58.31. Рассмотреть отображения: а) х — «соз 2.гх -«ге«п2>гх; б) з — « —; И' в) з — «)з); г) з — «з"; д) х — «з е) з — « — ); ж) з — « —; з) х — «ф. ~.) ~4' ' 58.32. Для доказательства изоморфизма вида Хг>У = У, найти гомоморфизм Х на Е с ядром У. 58.33. Воспользоваться тем, что каждый элемент д б С однозначно представим в виде ЬЬ, где Ь б К, 6 б Н. Доказать, что отображение д -«Ь является при этом гомоморфизмом С вЂ” «К. 58.34.
В силу задачи 57.13 группа Бз действует на кубе. Отсюда, если занумеровать три пары противоположных граней куба числами 1, 2, 3, мы Ответы и указания 405 получим действие группы на множестве 11,2,3). Проверить, что ядроы этого действия является подгруппа Ъ'4. 58.35. Проверить, что пересечение Х всех подгрупп группы С, сопряженных в С с Н, является нормальной в С подгруппой. С помощью задачи 57.20 установить, что факторгруппа С/Х изоморфна некоторой подгруппе группы Вы 58.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
