1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 56
Текст из файла (страница 56)
О 0 0 1 ... О 0 0 0 1 0 40.13. Лз=изей...-ьаз, Лз=...=Л„=О. 40.15. а) Лз = Лз = Лз = — 1, с(1, 1, — 1) (с ~ О). б) Лз = Лз = Лз = 2; с1(1, 2, 0) -Ь сз(0, .О, 1) (сз и сз не равны нулю одновременно). в) Лз = 1, Лз = Лз = 0; для Л1 = 1 имеют вид с(1, 1, 1), для Лз,з = 0 с(1, 2, 3) (с ~ 0). г) Л~ = Лз = 1; для Лцз = 1 сз(2,1,0) +си(1,.0,— 1) (с~ и сз не равны нулю одновременно), для Лз = — 1 с(3, о, 6) (с ~ 0). д) Лз = 1, Лз = 2+ 31, Лз = 2 — 31 (над С); для Лз = 1 с(1,2, Ц, для Лз = 2-~-31 с(З вЂ” Зю', 5 — Зг, 4), для Лз = 2 — 31 с(З+ Зй 5+ Зг, 4), где везде с ~ О.
е) Л = 2; сз(1, 1,0, 1)-~-сз(0,0, 1, 1) (с1 и сз неравны нулю одновременно). /1 0 0~1 40.16. а) И1, 1, 1),(1, 1>0), (1,0, — 3)), О 2 0 О 0 2 /1 О 0 б) ((1,1,2), (3 — 304,5 — 31), (3-~-Зг,4,5 4 31)), 0 2-~-31 0 0 О 2 — 31/ в) не сводится к диагоналыгому виду ни в К, ни в С. 2 О 0 0 г) ((1, 1, О, 0),(1, О, 1, 0), (1, О, О, 1),(1, — 1, — 1, — 1)), 0 О 0 — 2 372 Отееты и указания 40.17. Элементы ал, и а лел должны либо оба быть отличными от нуля, либо оба обращатьсл в нуль (Ь = 1,...,п). 40.18. В качестве Т можно взять матрицу с 1 на главной диагонали и на соседней диагонали ниже главной, — 1 на соседней диагонали выше главной и 0 на остальных местах.
В имеет на главной диагонали сверху— 2 и+1 Единиц при четнОм и, и единиц при нечетном п, а ниже на главной 2 диагонали — 1. 40.19. Рассмотреть матрицу оператора А в базисе, первыми векторами которого являются линейно независимые собственные векторы, принадлежащие Ле. 40.20. Лл,...,Л, Лл,...,Л .
40.21. а) Л,Л, (л, 1 = 1,...,и), б) Л,ллЛл (л,у = 1,..., и). 40.22. (0) и Щз)л (й = 0,1,2,...,п). 40.27. (0) и линейные оболочки подсистем базиса. 40.28. И = (ел,...,е,) (л = 1,..., а). 40.29. (0), (г, ((2,2, — 1)), (7= ((1, 1,0),(1,0, — 1)), ((2,2, — 1),а), (а), где а Е И.
40.30. Ъ', (О), ((1, — 2, 1)), ((1, 1, 1), (1, 2, 3)). 40.31. Линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше п. 40.32. а) Сумма некоторых надпространств (соз Ьз, ьш йз). б) Сумма надпространства из (соз з, соз 2я,..., соя ллз) и некоторых надпространств (ыпйя). 40.33. Рассмотреть собственные надпространства ЬЛл, ЬЛ..л оператора А и 1'л, И л оператора Е В случае когда все пересечения К П 1; нулевые, получить ненулевые векторы а б 1'л, а -Ь ЛЬ Е 1'" л для которых а+ 6 Е Ъ'л, а, -~- ЛЬ Е 1' л при некотором Л. 40.35. а) Лл = 1, Лз,з = 0: ((1,1,1)) для Лл = 1, ((1, 1,0), (1,0, — 3)) для Лаз = О.
б) Лл = 3, Лед = — 1; ((1, 2, 2) ) для Лл = 3, ((1, 1, 0), (1, О, — 1)) для Лл,з = — 1 в) Ллд,з = — 1; 10 г) Ллд = 2, Лз,л = 0; ((1,0,1,0),(1,0,0,1)) для Ллд = 2, ((1,0,0,0), (О 1 0 1)) для Лзл:О. 40.37. Использовать задачу 40.30. 40.40. Собственные значения оператора б,л явллются собственными значениями матрицы А. 40.41. а) Использовать приведение Х к ступенчатому виду.
б) Использовать а). 40.42. Индукция по размерности пространства. Отееты и указания 373 40.43. Использовать индукцию по степени минимального аннулирую- щего многочлена. О О 1 — 1 1 . б) ббаб(1,2+302 — 31). Π— 1 ж) Две клетки порядка 2 с О на главной диагонали. з) Клетка с 1 на главной диагонали. и) Клетка с единицей на главной диагонали. к) Клетка с числом и на главной диагонали.
л) Жаб(1, 2,..., и) . м) п3аб(ее,ем...,е„~), где, корень степени и из 1 (1= 1,...,н). н) К,летка с числом о главной диагонали; в правом верхнем углу матрицы А — ЛЕ стоит отличный от нуля минор порядка п — 1; найти элементарные деяители матрицы А — ЛЕ. 1 и Х (о) У (о) 1! 2! О У(о) Х'( ) 41.3. а) О О )'(о) У(о) О О б) При о ф О жорданова клетка с числом о на диагонали; при о = О две жордановы клетки с нулём на диагонали, имеющие порядок и/2 при четном и и порядки (п — 1)/2 и (п 4- 1)/2 при нечетном и.
41.4. Две клетки с числом о на диагонали порлдка и/2 при четном п и порядков (п — 1)/2 и (и+ Ц/2 при нечетном и: использовать задачи 41.2 и 41.3. 41.5. а) В каждой клетке жордановой формы матрицы А заменяем Л (Л ф О) на Л, если в клетке порядка я на главной диагонали стоит О, то при 1 = 21 заменяем ее двумя клетками порядка 1, а при 1 = 21 + 1 двумя клетками порядков 1+ 1 и 1. б) В жордановой форме матрицы А заменяем диагональные элементы на обратные.
зс 3 41.1. а) О О / — 2 О О в) О 1 О О О 1 д) О 2 О о 1 О О О 1 1 О 0 1 О О О ХОО( ) и! (и — 1)! у( -з)(о) (и — 2)! Отееты и указания 41.6. а) Диагональная матрица с элементами ж1 на главной диагонали; А является отражением пространства 1г относительно некоторого надпространства Ь| параллельно некоторому дополнительному надпространству Ез. б) Диагональная матрица, где на диагонали стоят 0 и 1; А является проектированием пространства И на некоторое надпространство Ьз параллельно некоторому дополнительному надпространству Ьз. 41.7. На главной диагонали стоят корни из 1 41.10.
а) /О 1 б) 0 0 0 О 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 Одна жорданова клетка. Использовать жорданову форму матрицы оператора. Использовать жорданову форму матриц операторов. Использовать >корданову форму матрицы В. Собственное значение 1, клетки размера 1, 3, 5. Собственное значение О. Порядки клеток п + 1, и,..., 2, 1. Использовать приведение к жордановой форме.
Использовать вид жордановой формы й-й степени жордановой задачу 41.3.) 41.21 41. 22 41.23. (Х вЂ” Л~) .. (1 — Л„). 41.24. (1 — о)". 41.26. а) 1 — 1. 5) 6 в) 1 — 1 г) 1з — 1 ж) (1 1)(1 )... (1 ). 1 1 д) еь. е) 1(1 — 1)... (1 — и) 41.11. 41.12. 41.13. 41. 14. 41.16. 41.17. 41.18. 41.20. клетки (см < 2 1 0~1 О 2 0 , Ц1, 4, 3),.(1, О., 0),(3, О, 1)). 0 0 2 01 0 , ((1, — 3, — 2), (1, О, 0),(1, О, 1)).
0 0 0 , ((1, 1, 1, 1), (-1, О, .О, 0), (1, 1, О, 0), (О, О, — 1, О)). 0 1 > 0 0 , ((-1, -1, -1, 0), (2, 1, О, 0), (1, О, О, -1))., (3, б, 7, 1)). 0 1 ~ -'(-' ') -'(" ') '(' ') ( 25 26) ) ( 14 8) Отееты и указания 375 з) (1 + Ц ...(1з ~-пз). и) (уз ~- Ц ... (1з + †). к) Совпадает с минимальным многочленом матрипы Аз. .) (1 — Ц'. 41.27. а) (1 — 2)з. б) 1~ — 51-~- 6. 41.28. (1 — Ц" (1 — 2), И = Ьз бз Ез, где 1о имеет базис (ем ее — ез), а 1 з — базис (ез).
41.30. Состоит из клеток первого порядка с 1 на главной диагонали и клеток первого или второго порядка с 0 на диагонали. 41.33. Сравнить размерности пространства многочленов от А и про- странства матриц, перестановочных с А. 41.34. в) Использовать б). 41.38. Использовать задачу 41.34 и разложение пространства в пря- мую сумму циклических надпространств. 41.42. в) Доказать индукцией по 1 существование такого В, Е 1, что р(А+ Б,) делится на р (А) в кольце К(А).
41.43. Вывести из задачи 41.36 и предыдущей задачи, доказав, что все злементы идеала 1 нильцотентны. 41.44. Использовать задачи 41.39, 41.42. 41.45. а) Использовать жорданову форму матрицы А. б) Использовать задачу- 31.17. 41.47. Вытекаот из задачи 41.16. 42.2. Смс Кострикин А,И., Манан Ю.Н. Линейная алгебра и геомет- рия. Мс Наука, 1986.
с1. 1, 3 10. 42.3. Использовать задачи 42.2 и 42.1. 42.4. Использовать задачи 42.3, 42.13. Смз Бурбаки Н. Спектральная теория. - Мс Мнр, 1972. Гл. 1, ~ 2, п. 5. 42.14. Смз Хорн Р., Джонсон 55 Матричный анализ. -- М.. Мир, 1989. — С. 359. /Зе — 1 е — Зе -1- 1з) в) Зе е ~ 3 -Зе — 3 Зе — 1 е+ 1 — Зе /3 -15 6') г) 1 — 5 2 +2кгпЕ, где и Е К.
1 — 5 2 (' ) Оогеегггы и указания 376 42.20. бес ел = е~'л. 42.22, 42.33. Смл Хорн Р., Джонсон 55 Матричный анализ. Мир, 1989. Гл. 8, 5 81-84. 42.34. а) х = 11,1), р(А) = 3. 6) х = 11, 1), р04) = 7. в) х = (5,3,1), р(А) = 5. г) х = (1,0,1,0), р7А) = 6. 43.4. а) Скалярные матрицы. б) Кососимметрические матрицы. в) Симметрические матрицы. г) Нижние нильтреугольные матрицы. 43.13. Обе матрицы равны О 43.14. а) 'Я '.
6) 'о 43.15. а) Я1,2,2, — Ц, (2,3, — 3,2),(2, — 1, -1, — 2)). б) И1,1, — 1, -2), (2, 5, 1,3)). в) Ц2, 1, 3, — 1), (3, 2, -3, -1), (1, о, 1, .10)). 43.16. Например: а) Я2, — 2, — 1,0), (1, 1,0, — 1)); б) И0,1,0, -Ц, 11,0,-1,0)). с хг з- хз -~ хз -~- хз = О, 43.18. а) хз -> хз = О. б) — 18хг + хз + 18хз + 11хз = О. 43.19.
а) (1, — 1, — 1,5), ГЗ,О, — 2, — 1). б) (3, 1, -1, -2), 12, 1, -1,4). в) (О, — 3/2, 3,12, 0) (7, 5/2, 5/2, 2), 43.21. а) ~IГ4. 6) 2. в) 7,15. г) з/3/5. д) зуг577. 43.26. См. задачу 43.25, г). 43.28. а) 6, 6, 6; 60'. 43.32. 0 при и нечетном, — ~ ) = ~ ) прин = 21г.
' 2 1,1) 1 1г — 1) 1 43.33. а,ун; агссое —. з/и а;(и 43 34. Л =; Л < а при гг < 4, Л = а при н = 4 и Л ) а при г~ ) 4. 2 43.36. а) 8. б) 4. в) 12714, г) О. 43.38. а) 60'. 6) 30'. в) 0'. 43.41. агссое Яп. 2 43.42. агссоз —; пусть а, = АоА, (ю' = 1, 2, 3, 4), показать, что квадрат 3' косинуса угла между векторами агг~ + аззз и аззз + азгз равен 111 + 1з ) 11з + гз ) 4г11 + 111з + гз)гзз с Ззгз з 14) Отееты и указания 377 и найти максимум функции 212 + 12) при условии 12 + 1212 + 12 — — 1.
43.43. 45'. Найти минимум углов векторов плоскости с их ортогональными проекциями на первую плоскость. 43.44. б) Ро/х) = 1, Р21х) = х, Рз/х) = — 23х — 1), 1 2 Р21х) = — 15х — Зх), Р4/х) = — 135х — ЗОх зс 3). 2 4 2 2 ' ' 8 1 3 5...12/ — 1) в) Р22х) = ~~' 2 — 1) (Л .)и2.
2=о. 2>272 ( 1)я — з /к1 2 1) 22 — 2 22/21 л-' 1,/ / 12/ — й)! 2=0,2>222 г);/2/21 + 1. д) 1. 43.45. а) 2/Х, где 1 1 2 пч-1 1 1 3 и4-2 1 2 11!2!...п!) (и 4- Щп 4- 2)!, . (2п -с 1)! 1 1 1 и 4-1 п+ 2 2и 4-1 б) 1'о) 2/4и -(- 1 44.2. С ЛС. 44.3. ( ) . 44.4. Проектирование параллельно оси координат на биссектрису вто- рой и четвертой четверти. 44.9.
а) Р" = — Р. 6) Интегрировать по частям, 44.10. См. указание к задаче 44.9. 44.13. Воспользоваться задачей 44.12 и связью ьзежду эрмитовыми и квадратичными функциями. 44.14. Условие задачи эквивалентно равенству 1АА*х, х) = 1А'Ах, х) для всех х 6 )2. Воспользоваться задачами 44.1, д) и 44.13. 44.15. Если А = Б — Л5, то А' =  — Л5; воспользоваться задачей 44.14, где х собственный вектор оператора В с собственным значением Л. 44.16. Воспользоваться задачей 44.15. 44.17.
а) Воспользоваться задачами 44.15, 44.6 н 44.1, а). б) Воспользоваться а) и задачей 44.2. Отеегггы и указания 378 в) Если А нормален, то утверждение следует из задачи 44.15. Для доказательства обратного утверждения, как и в б), доказать, что А имеет собственный ортонормированный базис. 44.19. Использовать диагональный вид матрицы оператора в ортонормированном базисе. 44.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
