1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е) у" " 35.11. а) (ис,апас); 3. б) (омаз,ое); 3. 35.12. б), в) Использовать формулу с1пп Ас + 01сп Аз = 01сп(Ас + Ез) + с1шс(Ес Г1 Аз). 35.13. а) Нет, рассмотреть Ьс = (а -1- Ь), К = (и), Ис = (Ь), где а и Ь— линейно независимые векторы.
Отееты и указания 365 б) Если х 6 5|О |Г+И ), то х = и+ш, ю = х — и 6 П |так как и, х 6 Ьг), т е. ю 6 ГО И', и поэтому х 6 |с| О Г) + |с|О Иг). Обратное включение следует из того, что Ьг О 1 и ГО И' содержатся и в Ьг, н в И+ И". 35.14. а) 3, 1. 6) 3., 2, в) 4, 2, 35.15. а) айаг,а|,Ь|); 13,5,1). б) |аг, а|, аз, Ь|); |1, 1., 1, 1, 1), (О, 2, 3, 1, — 1). в) )аг, а|,, а|, Ь| ); | 1, 1, 1, 1, О), |1, О, О, 1, — 1). г) |аг,а|, Ьг); |5, — 2, — 3, — 4).
д) |имия,ае, Ь|); базис пересечения .. Ьэ. 35.16. а) х| — хз — х| = О, хз -~- хз — х| = О. б) х| — х — 2хе = О,х| — х| + 2х| = О, 2х| + х| — хе = О. 35.17. 6) Рассмотреть 1х), |у), |х), где векторы попарно линейно не- зависимы. 35.18.
Проекция вектора е, на Ег параллельно Ез имеет |-ю координап — 1 / 1| ту —, а остальные равны — — ); проекция на Ех паралле|ьно Е| иыеет и 1 все координаты, равные —. и 35.19. ( — 1, — 3, 1, 3). 35.21. А = — ( 1-~ '.4) + — (.4 — 'А). 2 2 35.22. 6)ОиЕ, пРи|<|;Е, — Е,иЕмпРиг>1'.
35.23. 6) 0 и Ео, если | < 1; Е„и О, осли | = 1; Ео -~- Е|, и — Е|„если | > 35.24. |д — д'"Ид" — д"мю)... |д" — д ') |д — Ц .. |д — д '). 36.1. Применить индукцию по |и. 36.2. а) д"|. 6) |д" — 1)|д" — д)... |д" — д" '), причем и < Ь. ( — 3 — 6 — 9 ) |6. 36.5. Выбрать в И такой базис е|,..., е, что А|ег),..., А|ее) базис 1шА и еяхг,..., е„б Кег А. Задать действие С и Р на еее|,...,е и А|с|),..., А|ее).
36.6. Выбрать базис е|,...,е как и в задаче 36.5. Задать С на А|ег),..., А|ее). 36.7. Использовать задачу 36.5. 36.8. Выбрать базис е|,...,е„ как и в задаче 36.5. Отееты и указания 36.9. а) Использовать многочлены Лагранжа 7", такие, что 7,(7) = 1, 1,(1) =О (7,7 =О,...,и; 7 фу). б) Рассмотреть многочлены 1, х,..., х". в) Рассмотреть матрицу ( у(х')) (7,2 = 1,..., и+ 1). 36.10. а) Выбрав в И произвозьную систему координат, записать узжовие задачи в виде систем уравнений. б) з', -- многочлен Лагранжа: Ях)— (х — О)(х — 1)... (х — 7 + 1)(х — 7 — 1)... (х — и) 7(7 — 1)...
1 ( — 1)... (7 — и) В) 1 (Х) =, (7 = О, 1,...,77). 36 11. Найти базис (ез,ез,...,ее), для когорого 1(ез) = 1, 1(ез) = ... ...=1(е )=О. 36.12. Использовать системы линейных уравнений. 36.13. Доказать, что у = х — а, 6 Г 7" (х) ) (а) 36.14.
Использовать задачу 36.13, б). 36.15. В некотором базисе задать пересечение ядер (однородной системой линейных уравнений задачи 36.12). 36.16. Если система ез,, еь линейно независима, то дополнить ее до базиса и рассмотреть сопряженный базис в Г*. 36.17. а) Базис (ез,..., ее) надпространства Г дополнить до базиса (ез,...,е„) пространства И. Если (е',...,е") —. сопряженный базис, то доказать, что С = (е ~',...,е ). б) Использовать а).
в) Использовать 6). 36.18. Доказать, что Ях] — счетное множество, и указать в Ях)' несчетное множество различных линейных функций. Например, для каждого подмножества 1 натураеьных чисел определить функцию 17 формулой )7(и) = 2 ', и„где и = 2 '7 из хе. 36.19. Испольэовать задачу Зо.26, где Г = Кег17, И' = Кег17. 36.20. Использовать задачу 35.25.
36.21. Смз Лене С. Алгебра. Мэ Мир, 1965. Гл. ЧШ, 3 4 — 6. 37 1. а), б), в), е), ж), з), и), к), м), н), о), р), с), т), у). 37.2. а) Е в стандартном базисе. в) В базисе из матричных единиц е„матричные элементы а„дз функции 1 имеют вид ао,„= 1, а в остальных случаях О, г) О. ж) а,з,о — — 1, в остальных случаях О (см. в)). Отееты и указания 367 /1 О'1 з) В базисе (1,1) матрица ( ). и) Е (см. ж)).
л (-' ') м), н), и) Пространство бесконечномерно. с) 2Е в стандартном базисе. о т) — 1 0 1 в ортонормированном базисе пространства 11~. 1 — 1 0 37 5. а), б), г), е), ж). 0 — 6 — 9 ) /11 8 15) 376. а) — 2 20 30 . 6) 6 5 12 ~, -3 30 45 11 10 29 ( 1-~-1 1 — 1 ) (4 — 21 — 2 — 1) 37.8. а) -43. б) 1 — 190 37.9. а) — 3 4-71. 6) 22 4-406 2 5 — 1 ) / — 2 3 0 1 37.10. а) — 4 6 8 .
6) — 5 — 10 15 )к -10 -23 -4 29 — 26 3 37 11 ) (5 + 2 .). 6) (13 — 1 7 — 51) 37.12. а) (( — 1, — 1.,Ц), ((10,7, Ц). 6) (( — 1, — 5,3)), ((1, — 2, Ц). 37.14. а) (( — 1,1, Ц), (( — 17, — 13,7)). 6) ((2, — З,Ц), Я вЂ” 4, — 5, Ц). 37.16.
а) ((1,— 2, Ц), (( — 1, — 5,3)). 6) (( — 1,1, Ц), ((4,0, — 9)). 37.18. в) Воспользоваться зада еей 36.21 и показать, что левое и правое ядро являются идеалами в К. г) (а — ае~ а 6 К). /1 01 37.19. в) ( ). г) Следует из в). д) Гч'2. 37.21. а) при Л = ж1. в). 37.22. Е = 'АСВ. 37.23. Если функция / симметрическая, то к виду иЕм, если не является симметрической, то к виду Е1 з. 37.24. Е' = 'СЕС, Р = ЕС = 'С Е'. з ./о а 37.26.
Пример несовпадения: функпил на К с матрипей ( ) в некотором базисе. Оьчееьвм и указания з 37.28. 6) Пример: функция на Н с матрицей ~ ~ в некотором базисе. 37.29. г) В случае е = 1 матрицы для уз и уз в подходяших базисах Уо ЛЛ Уо ВЛ имеют вид (, 4 ~, ~, ~, где А, В невырожденные матрицы. Остается непосредственно подобрать матрицу перохода.
37.30. Испольэовать задачу 37.29. 37.31. 6) Аналогично теореме о приведении симметрической билинейной формы к нОрмальному виду: можно использовать и п[>иеьц аналогичный алгоритму Лагранжа и сгруппировать сначала члены с множитечями У~ и хи а затем пРименить пРеДположение инДУкции. 37.32. а) Нет. 6) Нет. 37.33. а) х(уз — хзу',, где хз — — хз — 2хз., хз = хз — хз, хз — — хз. б) хзуз — хзум где хз = тз — — тз, хз = 2хг + тз, хз = хз. 2 з з ! ! ! ! з з в) хауз хзу~ ч хауз хзуз, где тз — хз — 2хз, хз = хз — хз, тз — тз, хз хз. з з г) хзуз — хзу1 где х1 = х! + тз, хз = хз -~- хз + хз, хз — хз, хз — х4.
37.35. 601(1 — 1), 1з(1 — 1), 1(1 — 1)(зз — 1 — 1). 37.36. Использовать задачу 37.31, б). 37.37. Определитоль кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. 37.45. а) 1, 2. /пЛ б) 2, 3, 4. Максимальная возможная размерность равна ~ ). 38.1. а), б), г), е), ж), к), н), р), с), т). 38.3. Нет. 38.4.
Дчя уь 38.6. а) ((2.,1.,0)). 6) (( — 21,13,0)),(( — 79,0,13)). 38.8. а) 2х',у', — — хзуз 4- Зхзуз. б) х',у', — х',уз -';16хзуз. 2 38.9. а) Да. 6) Нет. 38.10. а), в), и), м), о), р). 38.11. а) Л > 2. 5) )Л) < Л/573. в) — 0,8 < Л < О. г) Ни при каких Л. 38.13. Рассмотреть функпию х, + 4хдхе + хзз. 38.14. а) Л < — 20. 6) Л < — 0.,6. 38.15. а) х~1е фхзузфх уз -~-2хзуз — Зх~ уз — Зхзу~ +2хзуз-~2хзуз — хзуз. 1 б) — (хзуз -~- тзуз -'г хзуз -~ хауз т хауз -~- хауз). 2 Отеегаы и указания 369 5 5 38.16. а) 2х«у« — зпу — хзу« — 2хзу« — 2хтуз — — х уз — — хзуз + хзуз.
2 ' 2 3 3 1 1 б) — 2хгуз + -хауз + -хзуз — -хтуз — -хзут + 2хзуз. 2 2 2 2 38.17. а) Нет. 6) Да. 38.18. а) ут -~- уз — уз. з 3 3 2 з 2 2 з 2 б) ут -~- уз — уз. в) у« — уз. г) ут — уз — уз — ую 38.19. а) Нет. б) Да. 38.22. а(тт+ 1)/2, н(тт — 1)т2. 38.23. В случае Ьг = (е«, ез) и 1(е«, ет) = г(ез, ез) выбрать в Ьтх вектор ез такой, что ((ез, ез) ф О. 38.26. Привести к нормальному виду, применить рассуждение, аналогичное доказательству закона инерции. 38.27. и, и. 38.29.
Рассмотреть соответствующую квадратичную функцию. тт(н -1- 1) 2 38.32. Рассмотреть значения в точках вида Лх -> у, где Л Е Г. 39.1. а) При а = О. 6) Прн а = О. в), г), д) При а = О. е), ж), з), л). 39.5. а) (0), К. б) 1«, (О). в) 1:, (0) прн о ф 0; 1' при о = О. г) (Ь) > (а) ~ при а, Ь ф 0; (0), 1' при а = 0 или Ь = О. д) 1«, (0). е) Б
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
