1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 69
Текст из файла (страница 69)
69.16. в) Пусть Н С И' -- инвариантное подпространство и х б Н. Рассмотреть вектор хх — х длл х = 111). 69.1Т. Определить сначала подпространства, инвариантные относительно ограничения представления О на подгруппу диагональных матриц. 69.25. Использовать задачу 69.24, в) и разложение группы С на левые смежные классы по Н. 69.26. а) т, б) 2. в) 1. г) т 4-1. 69.2Т. Если А и  — коммутирующие операторы. то каждое собственное подпространство оператора А инвариантно относительно В. 70.2. Использовать задачу 69.28. 70.5. В обоих случалх каждое неприводимое представление группы Н встречается с кратностью 2. 70.6. Только тривиальное для группы нечетного порядка; длл группы четного порядка - еще гомоморфизм на подгруппу ( — 1, Ц в СЬз1м) И'.
70.7. Воспользоваться теоремой о существовании у вещественного оператора двумерного инвариантного подпространства. Отееты и указания 435 70.9. а) ~п/2) + 1. Использовать задачу 70.8. 70.15. Для Яе. тривиальное и сопоставляющее подстановке ее знак; использовать теорему о коммутанте и задачу 62.7, а). Для А4: использовать теорему о коммутанте и задачу 62.7, 6). 70.16. Использовать теорему о коммутанте и задачу 62.8.
70.17. Можно взять представление задачи 69.13. 70.31. Рассмотреть разложение регулярного представления в сумму неприводимых подпредставлений. 70.32. Доказать, что подгруппа, порожденная А и В в СЬ(1'), изоморфна Вз. 70.34. а) 1, 1, 2. б) 1, 1, 1, 3. в) 1, 1, 2, 3, 3. г) 1, 1, 1, 1, 2. д) если п = 25, то четыре одномерных и к — 1 двумерных, если п = = 2к + 1, то два однолзерных и к двумерных. е) 1, 3, 3, 4, 5.
Использовать основные теоремы и задачу 69.16. 70.37. а), б), в) Нет. 70.38. Существование подгруппы приводит к существованию двумерного представления группы 84. Т0.42. Только для абелевых. 70.43. Провести индукцию по порядку группы. 70.45. Использовать задачу 69.25. 70.46. Воспользоваться конечностью числа неизоморфных групп фиксированного пОрядка и конЕчностью числа неизомерфных представлений данной размерности фиксированной конечной группы. 70.48.
Заметить, что группы порядков р и р абелевы. 70.49. р одномерных представлений и р — 1 р-мерных. Заметить, что центр данной группы имеет порядок р и число классов сопряженных элементов равно рз -~- р — 1. Так как факторгруппа по центру коммутативна, то коммутант данной группы имеет порядок р. Этим определлется число одномерных представлений. Заметить еще, что в данной группе есть нормальная подгруппа индекса р и доказать, что размерность неприводимого представления не может быть больше р. 71.2. Базис состоит из одного вектора (збп а)а. еел Размерность равна 5. Т1.3. 1е — а, е — а,..., е" — а" ). Отееты и указания 71.9. а) Пусть 1 ес= — ~ а, 6 евз 1 ез = — ) (збпа)а.
6 езз КоммУтативные идеалы; О, Сес, Сез, Сес ОЭ Сез. б) Пусть Яз = (Е,Е,1,1,,1, с,К.,К), ес = (Е + Е)(Е + 1+ з + Л), ез = (Е -'г Е)(Е -г 1 —,1 — К), ез = (Е -~- Е) (Š— 1 — з — К ), ес = (Е -Е Е) (Е -г 1 —,7 -~- К). 1 ес= — ~ А, 10 яео, ез = — ~~ (бесА)А. 1 10 ыоз Коммутативные идеалы: О, Сеы Сез, Сес ОЭ Сез. 71.10. Если С бесконечна,тот = О, если конечна,то я=о~ ~д, абГ. 71.11. Базис центра Е[С) образуют элементы вида 3 од, если в ка.сестве С взять последовательно все классы сопряженных элементов в С.
71.16. Испольэовать лемму Шура. 71.19. Только для С = (е). 71.22. а) 2. 6) 1. в) 2. г) 4. 71.24. Пусть е — псрвообраэный корень степени 3 из единицы в С, ге = -(е+ а+ а ) б Щ(а)з) С С((а)з), 3 гс = — (с+ за+ еза ) 6 С((а)з), 3 гз = — (е + е а -4- еа ) 6 С((а)з). 3 Щ(а)з) = Ге Оз 1 и где поле Ео = врез — Ж и 3 Ес= азе-'госа+оза, ~~ о,=О, о,бК С. =о При изоморфизме С вЂ” г Ес имеем 1 — > е — го, е — ~ а(е — ге). С((а)з) = РесгР,'Вазу Поля Е, = Сг, изоморфны С. Коммутативные идеалы — — линейные оболочки любого подмножества векторов множества (ем ез, ез, ес).
в) Пусть Ответы и указания 437 71.25. Использовать неприводимость многочлена хе ' + хе + ... ... Ф х Ф 1 над полем ге. 71.27. а) Идемпотенты ег = 2 Ф 2а, ег = 2+ а; идеалы Раем Ргег. б) Идемпотент — единица групповой алгебры; идеал Рг(1 -~- а). 1 1 в) Идемпотенты -(1 + а), -(1 — а); идеалы ьеы ьег. 2 ' 2 1 г г г) Идсмпотенты — (1-~-а -~-а ), — (2 — а — а ); идеалы Иеы И](а)г]ег.
3 ' 3 71.28. Проверить аналогичное утверждение для групповой алгебры М„(Ц и использовать теорему о структуре групповой алгебры конечной группы. 71.29. а) 8. 6) 32. 71.30. а) (е). б) С Хг. в) С Иг или 8г. Воспользоваться тем, что и равно числу классов сопрлженных элементов в С.
71.34. При р = 2 Г = Е(С](а — е), 71.36. а) Рассмотреть случай С = Н. Провести индукцию по порядку группы Н. б) и =2. 71.39. а) Р/Н а/(д — дс)А ЕО АДд — еге).4, где е — первообразный кОрень СтЕпени три из единицы в ь'. б) Р)Н= О. в) Р)Н А. 71.40. Кегх = О. 71.41. Рассмотреть аналогичный вопрос для А = Р[1] кольца мно- гочлонов. 71.44. а) Элемент прост.
б) (дг — дг) ( — 91 дг — дг ). 71.45. а) О. б) Р](дг)]. в) Е. 72.1. Использовать задачу 69.21. 72.2. Используя задачу 69.11, найти возможный диагональный вид матрицы оператора Ф(д), 72.3, 72.4. Использовать задачу 72.1. 72.5. Заметить, что сумма и корней ич 1 равна и только когда все слагаемые равны 1. 72.6. Использовать задачу 72.5 и доказать, что любая подгруппа ин- декса и в А есть подгруппа элементов некоторого (и — 1)-мерного надпро- странства. 72.7. Пусть гг характер представления Ф. Используя задачу 72.5, доказать,что Ф(д) = Е для д Е Н.
Аналогично, показать,что д Е К тогда и только тогда, когда матрица Ф(д) скаллрная. Отеегвы и указания 72.8. Использовать теорему Мшпке и свойства коммутанта. 72.9. Использовать теорему Машке и свойства коммутанта. . Использовать задачу 70.24. 72.20. 72.21.
Хв(а) есть число элементов множества (1,2,3,...,п), неподвижных относительно о. 72.22. Пусть П =(об~о =Ь'=е, аба=Ь ). Тогда у(Ь") = 2 соя, ',у(аЬ ') = О. . Использовать зада- чу 70.19. Использовать зада- чу 70.19. 72.25. Использовать задачу 72.4. 72.26. а) Два характера: тривиальный и а -+ ебп и. б) где е "- первообразный ко- рень степени 3 из 1 в С. в) г) См, а). д) Пусть 19„= (аз Ь )аз = Ь" = е, оЬо = Ь ~). Если и нечетно, то одномерных характеров два: тривиальный и а'Ь~ — > ( — Ц'.
Если и четно, то четыре: тривиальный и а'Ь' — > ( — Ц', а'(г' -е ( — Ц~, а'Ы -ь (-Ц'ю. 72.27. и эз. Использовать соотношения ортогональности для характеров длл вычисления произведения матрицы на ее сопряженную. Ответы и указания 439 . Использовать задачи 72.26 и 70.19. 72.28. а) б) Использовать зада- чи 72.26, 72.23, 72.24, 72.20. Использовать задачи 72.26 в) и 72.20. г) Использовать задачи 72.26 и 72.22.
д) Использовать задачи 72.26 и 72.22. е) где е корень третьей сте- пени из 1 в С. Использовать зада ~у 72.26. 72.29. Нет, так как скалярный квадрат указанной функпии не являетСя целым числом. 72.30. В обозначениях к задаче 72,28, а) г' = 2у4 + О,бр~ + 0,5:дз. 440 Отееты и указания 72.31. В обозначениях ответа к задаче 72.28, а) запишем 71 = †+ + Зу1+ 2дз, ~з = 4у1+ д . Отсюда следует, что 11 не является характером представления. уз .
- характер прямой суммы неприводимого двумерного представления группы Яз и четырех экземпляров нетривиального одномерного представления этой группы. 72.32. а) Доказать, что отображоние А в С, переводящее Х в Х~а), при некотором о б А есть характер группы А и доказать, что возникающее таким образом отобралсение А э А есть изолсорфизм. 72.33. в) Вывести с помощью а) равенство хе 1 и доказать, что у переходит в (~А~) '7 при изоморфизме задачи 72.32, в). 72.34. Использовать Равенство (~; з'>л = х, е.1У Х)Я. 72.37.
Приводегя разложенио характера продставления Ф на неприводимые характеры. а> ХФ = Фе+ Ф~ ~- 'рз. б) Хе=фо->Фг+ Рз-ЕФ4. в) Хс = 'ра + р1 -~ 'рэ -~ Фз 72.38 Хв = и. Хе. 72.39. и '. Доказать, что все неприводимые представления группы С входят в рв с одинаковой кратностью. 72.40. а) Хяз = 'то+ т1+ тз. б) Хрэ = Фе+ Ф1-~- ЗФз. 72.41. Если п=( — ~, ш=~ — ~, ся — В то кратность равна ~ ). т 72.42. Рассмотреть представление на пространстве кососимметрических дважды контравариантных тонзоров. 72.43. В обозначениях ответа к задаче 72.28, а): а) у~., б) Ээо -~- Рз, в) Ээа -~- Ээ~:, г) Эп -~- Рз 73.3. б) и г), в) н е).
Отееты и указания 441 73.4. В тоге случае, когда для любых к, Л в жордановой форме матрицы А число жордановых клеток порядка 1 с собственным значением Л равно числу жордановых клеток порядка 1с с собственным значением — Л. 73.5. а) Всякое представление имеет вид Вл(1) = ео'*О~, А Е М„(С). б) Всякое представление эквивалентно представлению вида 7 м,б ~л~ О Вл,в(1) = ~ ~ Огв), А Е М;,(С), В Е Ме(С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
