1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Вслкая грань выпуклого многогранника также является выпуклым ыногогранником. Подыножество К некоторого пространства 1г называется выпуклым конусом, если х + у й К, Лх Е К для любых х., у Е К и любого Л > О. 446 Теареп«ические сведен я Всякий выпуклый конус является выпуклым множеством в пространстве У, рассматриваемом как аффинное пространство. Дффинное пространство (Е, и) над пои«м вещественных чисел называется евклидевым пространством, если векторное пространство К наделено структурой евклидова векторного пространства.
В евклидовом пространстве Е вводится расстояние между двумя точками: если а, Ь е Е, то р(а,Ь) = ~аб~, где ~с~ = з«г(и,и) длина вектора и е 1', л также расстояние между двумя плоскостями Р, Я С Е: р(Е«,О) = й«1(р(а,Ь) / а б Р, Ь Е О). Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их направляющими подпространствами. Плоскости, угол между которыми равен я««2, называется перпендикулярными.
Двизевнием евклидова пространства называется аффинное преобразование, дифференциал которого является ортогональным оператором. Движение «называется собственным, если с(ес Р) = 1. Движения сохраняют расстояния между точками. Все движения евклидова пространства Е образуют группу, обозначаемую через 1во«пЕ. Группа собственных движений обозначается через 1воп«л Е. Две конфигурации (Р«,..., Р,) и Я«,..., Я,( в евклидовом пространстве Е называются метпричвсни конгруэнтнымп, если существует движение «" пространства Е, при котором )(Р,) = Я, (1 = 1,..., в). ~ П.
Гипреповерхности второго порядка Пусть (А,1") - аффинное пространство над полем К. Квадрптичной функцией Я: А -«К на А называется функция вида О(ае -~- х) = й(х) -~- 1(х) -«е, где ае -- некоторая точка аффинного пространства А, д: К -« К . квадратичная функция, П У вЂ «К линейная функцил, с Е К. Квадратичная функция д, не зависящвл от выбора точки ае, называется квидратичней частью функции Я. Линейная функция ( называется линейной часть функции Я относительно точки ае. Гипврповерхностпью второго порядка в .4, или квадрикой., называется множество вида Х = Хс« = (а е А ~ ()(а) = О). В аффинной системе координат (ае; е«,..., е„) квадратичная функция с) записывается в виде чг(ае+х) = ~ а„х,х, -«2~) Ь,х, -~-с, у П.
Гипреповерхности второго порядка 447 где а,. = а,. Символом Ао обозначается матрица (а, ) квадратичной функции д в базисе (е!,..., е ), а символом Ао леатрипа Ь Ь„ с Определители матриц Ад и Ав обозначаются через гЛ и б соответственно. При этом Ао, Аю гЛ и б зависят от выбора системы координат (ао, е!,... , ев)! однако ранги матриц Ад и Ав уже не завислт от выбора системы координат.
Квадрика называется невырожденной, если гЛ ф О, и вырожденной, если !Л = О. Гиперплоскость (амх + Ь,)(х, — х,) = О о=! называется каса!пеленой еиперплоскостыо к Хд в точке о, = (х!,..., т„) Е о о Е Х!З, если Л,'," ! а„хо -!- Ь, ф- О для некоторого !. Если это условие не выполнено,то точка по называется особой. Вектор г = (г!,..., гв) называется вектором асимптотическозо направления, если д(!) = О. Точка а Е Вд называется иенп!ральной тонкой квадратичной функции Вд (или квадратики Хо), если линейная часть ьд относительно ао равна нулю. при этом бд(ао + х) = Я(ао — х) для всех х е т.
Цен!аром функции ьг' (или квадрики Хд) называется множество ее центральных точек. Конус (а Е А ~ д(а — ао) = О), где оо центральная точка, не зависит от выбора этой точки и называется асимптотическим конусом квадрики Хд. Для любой квадратичной функции Я существует такая аффинная система координат в А, в которой св принимает один из следующих видов: а) если д невырожденная, то !)(х!,...,х,„)=~Л,х;-~-с, Л„сЕК, Л,фб; *.= ! б) если д вырожденная ранга т и центр ьв' непуст, то Ьд(х!,...,х„)=~Л,х,.+с, Л„сЕК, Л,фб! =1 в) если д вырожденная ранга г и центр Я пуст, д ,=! 448 Теареп>ические сведен в Над полем вещественных чисел уравнение квадрики в некоторой аффинной системе координат имеет один из следующих видов: (1 л): х', +...
+ х', — х,',е> —... — х,'. = 1, О < в < г ( и; (1',в): х>+...+х,— х>>> —...— х>=0, 0<в<с<и, в>г(2, (П,л): х,+...+х,— х„'е> —...— х,'.=2т,„>, 0(в<>.(п — 1, в)г,>2. 8 1П. Проектнвные пространства Проекп>ивиым пространен>вом, ассоциированным с векторным пространством К над полем К, называется множество Р(1') одномерных надпространств в 1'. Элементы Р(1') называются точками проективного пространства.
Проективное пространство обладает следующими структурами. А) В Р(1") выделена> подмножества, наэьтаемые >>роек>павии>ми подпространствами или плоскостями. Подмножество называется проективиым падпростраисп>вом, если оно есть подмножество всех одномерных надпространств некоторого надпространства в К. В) Задано семейство инъоктивных отображоний аффинных пространств в Р(К), называемых иффиниыми картами.
Аффинная карта у: А — > Р(1') строится из аффинной гиперплоскости А в 1' (рассматриваемой как аффинное пространство и не содержащей нуля). Каждой точке в А сопоставляотся единственное одномерное надпространство в К, ее содержащее. В) Выделено семейство биективных отображений пространств Р('г') в себл, называемых проективными преобразованиями.
Проективяое преобразование о . это отображение сы Р(К) — > Р(1г), которое строится по невырожденному линейному оператору А: К вЂ” > Г таким образом, что образ элемента из Р(Ъ') при отображении о есть образ при отображении А одномерного подпрастранства, представляющего этот элемент. Проективное преобразование переводит надпространства в надпространства и в композиции с аффинной картой дает снова аффинную карту. Размерностью пространства Р(12) называется число с1пп К вЂ” 1. Проективное пространство размерности п часто обозначают через Р'*. При рассмотрении аффинных карт часто отождествляют аффинное пространство л1 и его образ в Р(Г).
Координаты, заданные в некоторой аффинной карте, называются неоднородным а координатами в прооктивном пространстве (они определены не на всем пространстве). Если в пространстве 1г задана систе>ла координат (выбран базис), то, имея точку в Р(Г), мы можем рассмотреть координаты любого вектора из соответству.ющего ей одномерного надпространства. Эти координаты определены с точностью до пропорциональности и называются одиородны- у Лг. Тензоры 449 ми координатами точки проективного пространства. Если в 14 задана система координат 21о, х1,..., х„то аффинная карта, опроделяемая гиперплоскостью с уравнением х, = 1, называется 1-й координатной аффинной картой.
Если й — квадратичная функпия на г', то множество одномерных надпространств, содержащихся в конусе 11(х) = О, называется кеадрикой в Р(И) Для четырех различных точек Р1,рз,рз, рл проективной прямой Р 1 определено их двойное оганошение б(рл,р;рз,рл), которое является элементом основного ноля. Для его вычисления зададим на Р произвольную систему однородных координат и обозначим через лл(р„рз ) определитель матрицы 2-го порядка, состав. ленный из координат точек р, и рл Тогда 421Р»Р41 лл1рз,р21 4Р1 Р2 Рз Р4 2 Правая часть этой формулы не зависит ни от выбора системы координат, ни от выбора векторов, представляющих данные точки.
В неоднородных координатах (х 4 — х 1 ) (х2 — хл ) б\Р1:Р2 Рз Р4( (хл — х24444хз — хл ' где х, — координата точки р,. Рассматривая некоторую аффинную карту и аффинную систему координат в этой карте, мы можем задавать подмножества в проективном пространстве уравнениями относительно этих нсоднородных координат. Такие подмножества будут лежать внутри карты, но в некоторых случаях их можно дополнить и вне карты: подмножество карты, задаваемое линейными уравнениями 1т.е. аффинное надпространство), однозначно дополняется до проективного надпространства; подмножество карты, являющеЕся аффинной квадрикой, однозначно дополняется до проективной квадрики.
Такое дополнение подразумевается в некоторых задачах. Точки проективного пространства, не принадлежащие заданной аффинной карте, называются бесконечно удаленными по отношению к этой карте. 9 1Ъ". ТензоРы Тензором тина 1Р,91 или р Раз коеариантным и ц Раз контраеариантным тензором на векторном пространстве г называется функпия на Г х... х Р х г'* х...
х 1' Г 1 Э линейная по каждому из р -Ь й аргументов. Тензоры типа 1р, о1 образуют 29 А.И. Кострнкня 450 Теоретические сведен я векторное пространство Х~р(1т). Оно естественным об1эазом отождествля- ется с тензврным произведением л няз Л Ряя Координаты твнзора Т й 'Ц(р) ( в каком-либо базисе пространства Р) обозначаются через 1, ' " ', '. 1 — р Если сЬзх К = О, то в пространстве Щ)г) определены линейные операторы Яуш и А!ы (оушТ)(уы..., ул) = —, Х ~7 (1' ор,~ 1лД, 1 е вя 1 (А11Т) 7«...,Я = —, ~~> (вдпа)Т(1" он...,у" «Д, Ч"-еяя являющиеся проекторами на надпространства Ял(Р) и ЛЯЯ симыетрических и кососимметрических тензоров соответственно.
Элементы из Л" (Г) часто называется р-векторами (в том числе из Л'(Ъ') биввктврами). Пространство л'(Ц = Щ е Ял(1') с операцией умножения ху = Яуш(х З у) является алгеброй, которая называется симмвтри ~вской алгеброй првстринства Р, Пространство Л($') = ф„, вЛл(Ъ') с операцией х Л у = А11(х З у) является алгеброй, которая называется внешней алзвбрвй прастрансгпва Р или алзвбрвй Гроссмана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
