1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть А К-алгебра и Ь расширение поля К. Доказать, что: а) число компонент алгебры Ал не превосходит [А; К),: б) число различных К-гомоморфизмов А — ~ Т не превосходит [А: К), и равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е --. расщепляющее поля для л1. 67.30. Доказать, что следующие свойства конечного расширения Е/К равносильны: а) все колшоненты алгебры Ел изоморфны /; б) Т имеет [Ь: К) К-автолюрфизлеов; в) для любых К-вложений ~Р,: Т, — > Л' [1 = 1,2) поля Т, в любое расширение Ь'/К имеем 1ол[Ь) = 1оз[Л): г) всякий нсприводимый многочлен из К[х), имеющий корень в Ь, разлагается над Л в произведение линейных множителей: д) Ь поле разложения некоторого многочлена из К[х].
[Расширение Л/К, удовлетворяющее этим условиям, называется нормальиыии) 67.31. Пусть К С Т, С Г вЂ” башня конечных расширений поля К. Доказать, что: а) если расширение г'/К нормальное, то расширение г',Ч также нормальное; б) если расширения Ь/К и г /Ь нормальные, то расширение Р/К не обязательно нормальное; в) всякое расширение степени 2 нормально.
Гл. ХЕ'е'. Кольца 292 67.32. Пусть А — конечномерная К-алгебра и а б А. Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора Е ~ — > а1 на А обозначаются соответственно через ХА/к(а~х)~ '~АЕкМ)~ ьгл)к(а) и называются соответственно характеристическим мноеочленом, нормой и следом элемента а алгебры А над К. Доказать, что если К С Е, С Р' башня конечных расширений полей и а б К, то: а) Хк)к(а,х) = Ль),)Ек)л)(Хкуь(а,х)), где Хяуь(а,х) РассматРивается как элемент поля рациональных функций К(х); 0) ИГЕ к)а) = ос|к)ок!ь(а)); в) еггЕкЮ = ~гьЕк(~тя)ьЫ. 67.33. Пусть Е /К вЂ”. конечное расширение и а 6 Е. Докаэатьч что: а) минимальный многочлен элемента а равен ~Хк)~)Ек(а, х); б) ХьЕк(а,х) ЯвлЯетсЯ (с точностью до знака) степенью минимального многочлена элемента а. 67.34.
Пусть Еч)К конечное расширение. Доказатьч что К-билинейная форма на Е (х, у) ь Ьгь!к(ху) либо невырожденная, либо Ьгь)к(х) = 0 для всех х 6 Е. 67.35. Доказать, что следующие свойства конечномерной К-алгебры А равносильны: а) для всякого расширения А/К алгебра Аь редуцированная (задача 6738); б) (А: К), = (А: К) (задача 67.28); в) для некоторого расширения Е ЕК существует (А; К) гомоморфизмов К-алгебр А — ь Е,; г) билинейная форма (х,у) ~-~ ьг ~Ек.(ху) на А невырождена. (Алгебра А, удовлетворяющая этим условиям, называется ееиарабельной.) 67.36. Пусть Е -- расширение поля К.
Доказаттч что конечно- мерная К-алгебра А сепарабеяьна тогда и только тогда, когда сепарабольна Е,-алгебра Аь. 67.37. Доказать,что всякая подалгебра и вслкая факторалгебра сепарабельной К-алгебры являются сепарабельными К-алгебрами. у" 67. Роеилирения полей. Теория Галуа 293 67.38. Пусть А сепарабельная К-алгебра, [А: К) = п, уоы ... ..., уо„различные К-гомоморфизмы алгебры А в некоторое ее расщепляющее поле Ь. Доказать, что для всякого злемента а е А и о ьгл?к[а) = ~~ уо,,(а), г?д?к(а) = Пуо,[а), у=1 у=1 и Хл?к[а,х) = Д[ (а) — х) ь=е 67.39. Конечное расширение 1]К называется сепарабельным, если 1 сепарабсльная К-алгебра.
а) Доказать,что сепарабельное расширение полей является простглм. б) Являются ли числа 1 т/2 а= — — +1 —, 2 2 ' Ь = ъ?2+1 примитивными элементами расширения 4[т? 2, г)?ЗЬ? 67АО. Доказать., что конечномерная К-алгебра сепарабельна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением сепарабельных расширений поля К. 67.41. Пусть К = Кь С К~ С ... С К, = Š— — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение Ь/К сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Кь?К; ~ [г = 1,...,е) сепарабельно.
67.43. Пусть А конечномернвя К-алгебра. Элемент а Е .'1 называется сепарабельным над полем К, если К[а] -- сепарабельная 67.42. Пусть К -- поле.Многочлен ?[х) Е К[х]называется сепо; рабельным, если ни в каком расширении поля Х он не имеет кратных корней. Доказать, что: а) если К имеет характеристику О, то всякий неприводимый много шен из К[х] сепарабелен; б) еяяи К имеет характеристику р Р О, то всякий неприводимый многочлен ?[х) Е К[х] сспарабелен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде д(хо), где д[х) б К[х].
Привести пример несепарабельного неприводимого многочлена над каким-либо полем. 294 Гл. Х1Ъ'. Кольаа К-алгебра. Доказать, что элемент сепарабелсн тогда и только тогда, когда сепарабелен его минимальный многочлен. 67.44. Пусть К С Е С Е -- башня конечных расширений полей. Доказать, что; а) если элемент а Е г сепарабелен над К, то а сепарабелсн над 1,; б) утверждение, обратное к а), верно, если расширение 1/К сепарабельно.
67.45. Пусть А -- сепарабельная К-алгебра, 1" (х) Е К(х( -- сепарабельный многочлен. Доказать, что алгебра В = .4(х(/(1'(х)) сепарабельна. 67.46. Пусть А = К(ам..., а,( конечномсрная К-алгебра. Доказать, что следуюшие условия утверждения равносильны: а) А -- - сепарабельная 1б-алгебра; б) всякий элемент а Е А сепарабелен;.
в) элементы ам, ..,а, сепарабельны. 67.47. Доказать, что: а) конечное расширение К/Р полл Г сепарабельно тогда и только тогда, когда либо К имеет харакгеристику О, либо характеристика К равна р > О и Ко = К; б) всякое конечное расширение конечного поля сепарабельно. 67.48. Конечное расширение полей 1/К характеристики р > 0 называется чисто яесепарабельяьья, если в Е ~ К нет сепарабельных элементов над К. Доказать, что ь1К является чисто несепарабельным расширение тогда и только тогда, когда 1о С К для некоторого я > 1.
67.49. Пусть К С Ко С Кь .,, С К, = 1 — — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение ЦК чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение К;/К,; ь (1 = 1,..., л) чисто несепарабельно. 67.50. Доказать, что степень чисто несепарабельного расширения поля характеристики р > О является степенью числа р, а его сепарабельная степень равна 1. 67.51. Пусть 1,/К конечное расширение полей. Доказать, что. а) множество 1<, всех сепарабельных над К элементов из 1 является полем, сепарабсльным над К; 1 67. Расширения полей. Теория Галуа 295 б) А/Ке чисто несепарабельное расширение; в) (К,: К) = (Е; К)„ г) (Ь: К) = (А: К)„(Л: К)п где (А: К); = (Ь: К,) несепарабельная степень расширения А/К.
67.52. Пусть К С 1 С Е башня конечных распаирений полей. Доказать, что: а) (Г: К), = (Г: 1), (ф: К),. б) (Р: К); = (Е: Е), . (Е; К), 67.53. Пусть Е/К "-- конечное расширение полей, п = (Е; К), и еош..., уоп множество всех К-вложений поля Е в какое-либо рас- щепляющее поле расширения А1К. Доказать, что при любом а С А: а) Фгь1к(а) = (Ь: К)е ~~ Уоо(а):, о=1 [те кп б) Хс1к(а) = (П усу(а)) 3=1 (А:к), в) Хс1к(а:х) = (П(Уоз(а) — х)) о=1 67.54. Нормальное конечное сепарабеяьное расширение по- лей А1К называется расширением Галуа, а группа К-автоморфизмов такого расширения называется его группой Галуа, и обозначается че- рез С(ь1К). Доказать, что: а) С(А1К) транзитивно действует на множестве корней из по- ля Ь минимального многочлена любого элемента поля Ь; б) порядок группы С(ь/К) равен степени расширения ь1К.
67.55. Найти группу Галуа расширения: а) С/й; б) фзее2)/ф в) ЦК, где(1:К)=2; г) Я(зее2+ ~!3)Я. 67.56. Группой Галуа над полем К сепарабельного многочлена 1(х) Е К[х[ называется группа Галуа поля разложения этого многочлена над К (как некоторая группа перестановок на множестве 296 Гл. Х1У'. Кольца корней 1 [х)). Найти группы Галуа над полем Я многочленов из зада- чи 67.13. 67.57. Пусть С конечная группа автолюрфизмов поля Л и К = Ьп .
поле неподвижных элементов. Доказать, что Е/К . расширение Гаяуа и С[У /К) = С. 67.58. Доказать, что если элементы аы, .., а„алгебраически независимы над полем К, то группа Галуа многочлена х" + алх" +... + ао над полем рациональных функций К[ам.,., а„) есть Яо. 67.59. Доказать, что всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей. 67.60. [Основная теорема теории Галуа.) Пусть ЦК расширение Галуа и С его группа Галуа.
Доказать, что сопоставление всякой подгруппе Н с С подполя Е~ неподвижных элементов определяет биективнос соответствие между всеми подгруппами группы С и всеми промежуточными подполялли расширения Е/К, при котором промежуточное подполе Е соответствует подгруппе Н = С[А/г ); при этом расширение Е/К нормально тогда и только тогда, когда подгруппа Н нормальна в С, и в этом случае каноническое отображение С вЂ” л С[Г/К) определяет изоморфизм С[г /К) С/Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
