1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 40
Текст из файла (страница 40)
64.79. Доказать, что во всякой вполне приводимой алгебре пересечение всех максимальных идеалов равно нулю. 64.80. Доказать, что всякое коммутативное вполне приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме полей. 64.81. Модуль называется вполне приводимым, если его можно разложить в прямую сумму минимальных подмодулей.
Какие циклические группы вполне приводимы как модули над кольцом Х? 64.82. Кольцо называется вполне приводимым слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. Доказать, что если кольцо Л вполне приводимо слева и 1 его левый идеал, то Л = 1бм1 для некоторого левого идеала,1 кольца Л. 64.83. Доказать, что всякий левый идеал вполне приводимого слева кольца Л: а) вполне приводим как левый модуль над Л; б) порождается идемпотентом.
18 А.И. Кострикин Гл. Х1р. Кольца 274 64.84. Пусть Л вЂ” вполне приводимое слева кольцо с единицей. Доказать, что: а) если Л не содержит идемпотентов, отличных от О и 1, то Л тело; б) если Л не содержит делителей нуля, то Л вЂ” тело. Верны ли эти утверждения для колец, в которых сушествование единицы заранее не предположено? 64.85. Доказать, что если ту = 0 для любых двух элементов и, у левого идеала 1 вполне приводимого слева кольца Л с единицей, то 1 = (О). 64.86.
Доказать, что если 1 идеал кольца Л с единицей, то факторкольцо Л/1 тоже имеет единицу. 64.87. Доказать, что факторкольцо коммутативного нетерова кольца также нетерово. 64.88. Доказать, что кольцо вычетов лр, р„, где рм ...,р,„ различные простые числа, является прямой суммой полей. 64.89. Найти все подмодули в векторном пространстве с базисом (ем..., е„) как модули над кольцом всех диагональных матриц, если йая(Лм..., Л„) о (о~с~ +... + о„е„) = Л~о~е~ +... + Л„о„е„. 64.90.
Пусть Л коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, рассматриваемое как модуль над собой. Доказать, что Л изоморфно любому своему ненулевому подмодулю тогда и только тогда, когда Л .-- кольцо главных идеалов. 64.91. Доказать,что правило Ь(х) о 1 = п(л')1, где П(т) . фиксированный многочлен, преврашает кольцо многочленов Р~т) над полем Е в свободный модуль ранга г над 1Р~х). 64.92. Пусть в кольпе Л нет делителей нуля и М - - свободный Л-модуль. Доказать, что если т Е Л Л О и т Е М Л О, то гт ~ О. 64.93.
Пусть Л -- кольцо с единицей, причем все Л-модули свободны. Доказать, что Л является телом. ~ бб. Специальные классы алеебр 275 64.94. Пусть К поле нулевой характеристики. Доказать,что алгебра полиномов К[хм..., х„) является простым модулем над алгеброй Вейля А,„(К) (см. задачу 63.28). 64.95. Пусть К -- поле нулевой характеристики. Доказать, что каждый ненулевой модуль над алгеброй Вейля Ап(К) имеет бесконечную размерность над К. 64.96. Пусть К алгебра вещественных функций на отрезке ~ — и, х), представимых многочленами от соя х, в1пх с вещественными коэффициентами. Доказать, что: а) Л является областью; б) К Ь~Х, УЯХз + 1'з — 1); в) поле частных для К изоморфно полю рациональных функций Й(Т).
3 65. Специальные классы алгебр 65.1. Доказать, что кольцо многочленов от одного переменного над коммутативным нетеровым кольцом с единицей является нетеровыль 65.2. Доказать, что алгебра многочленов от конечного числа переменных над полем нетерова. 65.3.
Алгебра .4(о, Д) обобщенных кватпернионов над полем г характеристики, .отличной от 2., где о, Д е Е*, определяется как векторное пространство над Г с базисом (1,с,у, й) и таблицей умножения 1.1=1, 1 1=1 1=1 Доказать, что: а) А(о,Д) (ассоциативная) центральная простая алгебра над полем Р: б) отображение х = ха + хм +хаз +хзь ьс ха — хьа — хаУ вЂ” Узй = х явллется анволюцией (т.е. для любых х,у Е А(о, 3) выполняютсл равенства х+ у = х+ у, ху = ух, х = х); Гл.
Х1Ъ. Кольца 276 в) для любого х б А[о,)э) хз — [стх)х + Х[х) = О, где угх = х+ х и Х[х) = хх элементы поля Е; г) алгебра А[о,)э) является телом тогда и только тогда, когда норменное уравнение )у[х) = () имеет в ней только нулевое решение; д) алгебра А[о, )3) является либо телом, либо изоморфна алгебре матриц Мя [г ) — — в соответствии с существованием или отсутствием в ней делителей нуля; е) если норменное уравнение имеет в алгебре А[о,б) ненулевое решение, то оно имеет решение и во множестве ненулевых чистых кватервиовов; ж) подалгебра Е[а), порожденная элементом а аягебры А[о,)э), ,является коммутативной алгеброй размерности ( 2 над Г,и если а не является делителем нуля,то г [а) поле,изоморфное полю разложения многочлена хэ — [1г а)х + %[а); з) [теореэла Витта) норма М[х) является квадратичной формой ранга 3 на пространстве чистых кватернионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3 на трехмерном векторном пространстве И' над полем Е соответствует алгебра обобщенных кватернионов, определяемая как векторное пространство Р 9 И' с правилами у.множения 1 ю=ю 1, иц ' ю2 = ьь)[ю1 юа) 1-+ [ю1 ю2) где С) - - билинейная форма на И', ассоциированная с данной квадратичной формой, [юы юз) — — векторное произведение элементов пространства И',.
и) приведенная конструкция устанавливает биективное соответствие леежду кватернионными алгебралеи над полем Е [с точностью до изоморфизма) и классами эквивалентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном векторном пространстве нлд Е. [Формы И' х И' з Г и ье'; Ит' х И' -у К называются эквивалентными, если существуют изоморфизм сы И -у И" и элемент Л 6 Г* такие, что Я'[о[х),о[у)) = Л),)[х,у) для любых х,у Е И'.) 65.4. Конечномерная алгебра называется полуаростой, если она не содержит ненулевых нильпотентных идеалов. ( 65. Специальные классы олгебр 277 Доказать,что: а) факторацгебра С(ау"(х)) полупроста тогда и только тогда, когда многочлен 1(х) не имеет кратных корней; б) алгебра, порожденная полем С и матрицей А в алгебре М„(С), полупроста тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы А не имеет кратных корнеи; в) конечномерная алгебра над полем полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима слева; г) коммутативная полупростая алгебра с единицей изоморфна прямой су.мму полей; д) если все идемпотенты полупростой алгебры лежат в центре, то алгебра является прямой су.ммой нескольких тел.
65.5. Пусть Н = ()О ) симметрическая (и, х п)-матрица над полем г. Алгеброй Клиффорда называется 2"-мерное пространство С(г', Н) над г' с базисом, составленным из символов е„, „(1 < )ь < 1е «... гь < и) и ео = 1, и с умножениелц определяемым правилами е,е, = Ьн; еое, = е,ео = е„е,ее + ете, = Ь,у, еа, =еб,..е;, (1()ь «,,.)ь(п). Если К -. — и-мерное векторное пространство с базисом (е1....., е„) и квадратичной формой ь), то алгебра Клиффорда Сьу (Г) квадратичной формы ь,) определяется как алгебра С(г',Н), где 6;.
= Ц(еме ). а) Доказать, что если Н = О, то С(Г,Н) = Л(К). б) Четной алгеброй Клиффорда Ст (г", Н) (или С~~(г')) называется подалгебра алгебры Клиффорда, порожденная элементами е„... е„,„ (т, = О, 1,..., [и/2)). Доказать, что четная алгебра Клиффорда квадратичной формы я(хм хеь ха) = йыхь + Ьшхьхг + Ьаахео не распадающаяся в Р на линейные множители, является квадратич- ным расширением поля Р, изоморфным полю разложения Г(Ą— 4/ „~ ) формы ц). Гл.
Х1'ь'. Кольца 278 в) Доказать, что при с1саг Е у': 2 четная алгебра Клиффорда квадратичной формы Я на трехмерном векторном пространстве г' изоморфна алгебре обобшенных кватернионов формы 1„)ОО на трехмерном векторном пространстве И' = йа1г [см, задачу 65.3). г) В условиях задачи в) доказать, что квадратичная форма К[х) = хх на пространстве чистых кватернионов эквивалентна форме ЛсьУ [Л 6 Е').
65.6. ПУсть А = Ае бй Ас — 2-гРадУиРованнаи ассоциативнал алгебра над полем К, т.е. А;,.4, С Аью [сложение индексов по модулю 2). Определим в А новую операцию, полагая [х, у) = ху — [ — 1)'~ух, гдехеАь уеА. а) Доказать, что для любых однородных элементов х 6 А„у Е А, г 6 А имеем у) = [-1)О[у,х), [ [у 'О+[у,[, П+[-1)"+'[я,[,И =О.
Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные элементы удовлетворяют данным соотношениям, называется супералгеброй Ли. б) Пусть Ъ' — и-мерное векторное пространство с базисом [ег,..., еа) над полем К характеристики, не равной 2, и К[17) внешняя алгебра на 1', 1 . тождественный оператор на Ъ', Ьо — — К.! и Г,г линейная оболочка операторов д, и уУь где уью) = со Л е„ ( [ — 1)" ье„Л... Лен Л.,.
Лесл если 1ь = г, Щ[ев Л... Ле;,) = О, есяи 1ь ф с' для всех ь = 1,...,р. Доказать, что Х = Го се Ьс является супералгеброй Ли относитеяьно операции, введенной в а). 65.7. Пусть К - расширение поля Я степени и. Доказать, что: а) для любого многочлена 7'[х) 6 Ч)[х) степени и найдется матрица А порядка п,. для которой 7" [.4) = О; ~ бб.
Специальные классы алеебр 279 б) алгебра М„Я) содержит подалгебру, изоморфную К; в) если Е подалгебра в М„[ьЛ), являющаяся полем, то [Р: ьв') ( и. 65.8. Иглеет ли делители нуля С-алгебра аналитических функций, определенных в области У С С 7 65.9. Функция комплексного переменного называется целой, если она аналитична на всей комплексной плоскости. Доказать, что всякий конечно порожденный идеал алгебры целых функций является главным. 65.10. Дифференцированием кольца Н называется отображение Р: Я -> В, удовлетворяющее условиям Р[х + у) = Р[х) + Р[у), Р[ху) = Р[х)у + хР[у), х, у Е Я.
Найти все дифференцирования колец: а) е.; б) е.[х); в) л [хпхя,.,.,х„]. 65.11. Множество Р с операцией сложения, относительно которой Р является коммутативной группой, и операцией умножения о, свлзанной со сложением законами дистрибутивности, называется кольцом Ли, если для любых х, у, е е Р выполняется равенства хох=О, [х о у) ох+ [у ох) ох+ [е ох) оу = О [толедеетво Якоби).
Доказать, что: а) в кольце Ли выполняется тождество х о у = — у о х; б) векторы трехмерного пространства образуют кольцо Ли относительно сложения и векторного умножения; в) всякое кольцо Л является кольцом Ли относительно сложения и операции х о у = ху — ух; г) множество всех дифференцирований кольца В яваяется кольцом Ли относительно сложения и операции Р~ о Ря — — Р1Ря — РяРм 65.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
