1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Уг = бх» + 5хг + 7хз, дг = 8х» + 7хг + Пхз дз — — бх~ + 5хг + Пхз; У» = 2х» + бхг — 2хз, Уг — — 2х» + 8хг — 4хз, Уз = 4х» + 12х» — 2хз,. У» — — 4х» + 5хг + хз, У» = 8т» + 9хг+ хз, дз = 4х» + 6хг + 2хз -( д» вЂ” — 6хч + 5хг + 4хз, дг = 7х1+ 6хг + 9хз, дз = 5х» + 4х» — 4хз' д» вЂ” — хг + 2хг + Зхз дг = 2ды Уз = Здг, '( д» вЂ” — 4х» + 7хг + Зхз, дг = 2хг + Зхг + 2хз, дз = бх» + 10хг + 5хз д» вЂ” — 2хг + Зхг + 4хз, уг = 5х» + 5хг+ 6тз дз = 2х» + бхг + 9хз. 60.53. В факторгруппе свободной абезевой группы А с базисом хы хг, хз по подгруппе В, порожденной х» + хг + 4хз и 2хг — хг + 2хз, найти порядок смежного класса 1х» + 2хз) + В.
60.54. В факторгруппе свободной абелевой группы А с базисом хмхг,хз по подгруппе В, порожденной 2х» + хг — 50хз и 4х» -~- +5хг + 60хз найти порядок элемента 32х» + 31х» + В. 60.55. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы коммутативно тогда и только тогда, когда каждая ее примарная компонента является циклической. 60.56.
Аддитивная подгруппа Н в п-мерном вещественном пространстве К" дискретна, если существует такая окрестность нуля Г», что 17 П Н = О. Доказать,что дискретная подгруппа в К" является свободной абелевой группой и ее ранг не превосходит и. 60.57. Найти все элементы конечного порядка в К" /Кп. '( ( '( ( у бу. Абелевы еруппы 247 60.58. Пусть Н = Х[е1 подгруппа целых гауссовых чисел в аддитивной группе поля комплексных чисел С. Предположим, что х = х + еу Е С ~ Н,.
где х,у б Й', причем ху 1 иррационально. Доказать, что (е) + Н всюду плотно в С. 60.59. Пусть Н --- аддитивная замкнутая подгруппа в 44л. Доказать, что Н = В изН,, где Ь подпространство в яе*. и Н, дискретная подгруппа в Е". 60.60.
Доказать, что если порядок элемента а абелевой группы А взаимно прост с и, то уравнение пх = а имеет в .4 решение. 60.61. Абелевн группа А называется делимой, если уравнение пх = п, имеет в ней решение при любом а Е .4 и целом и ф О. Доказать, что группа делима тогда и только тогда, когда при лквбом а и любом простом р уравнение рх = а имеет решение. 60.62.
Доказать, что прямая сумма делима тогда и только тогда, когда делимы все прямые слагаемые. 60.63. Доказать, что группы Я и 17р (р простое число) делимы. 60.64. Доказать, что в группе без кручения можно ввести структуру линейного пространства над полем Я тогда и только тогда, когда она является делимой. 60.65.
Пусть .4 делимая подгруппа группы С, В максимальная подгруппа группы С такая, что ЛОВ = 107 (такая всегда существует). Доказать, что С = А Ю В. 60.66. Доказать, что в любой абелевой группе существует делимая подгруппа, факторгруппа по которой не имеет делимых подгрупп. 60.67. Пусть А . конечно порожденная абеяева группа и В подгруппа в.4. Предположим, что А/В группа без кручения. Тогда А = В ег С, где С свободная абслева группа. 60.68. Пусть А, В свободные абелевы группы и у: А -+ В гомоморфизм групп.
Доказать, что Кег у прямое слагаемое в А. 60.69. Пусть А свободная або шва группа с базой еы...,еео С целочисленная квадратная матрица размера и. Обозначим че- Гл. Х!П. Гууввм 248 роз В множество всех таких векторов х1е1 +... + ж„ев Е А, что Доказать, что В подгруппа в А, нелла>щалили прямым слагаемым в А.
Обратно, любое прлмое слагаемое в А задаетсл системой линейных однородных целочисленных уравнений. 9 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения 61.1. Доказать, что: а) группа Я„порождаетсл транспозицией (12) и циклом (12... и); б) группа Ав порождается тройными циклами. 61.2. Доказать, что: а) группа С1 „(К) над полем Л порождаетсл матрицами вида Е + аЕ„., где а Е. Л,.
1 < 1 ф у < п, и матрицами Е + ЬЕ1ы где Ь б Л, Ьф — 1; б) группа ЪЛ Р„,(Л) порождаетсл матрицами Е + аЕ;, где а б К, 1<1<у<о. 61.3. Доказать, что специальная линейная группа ЯЬ„(К) над полем К порождается трансвекниями, т.е. элементарными матрицами вида Е+ оЕо (~, г у). 61.4. Доказать, что: а) любую целочисленную матрицу. с единичным определителем можно привести к единичному виду только злементарными преобразованиями, заключающимися в том, что к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на т1; б) группа ЯЬ.„(У) конечно порождена. 61.5. Пусть Уу поле из д ф 9 злементов и а образующий циклической группы Р".
Доказать, что 61з(ру) порождается двумя матрицами 4 6!. Пороэеданэщие элементы 249 61.6. а) Доказать, что А; порождается двумя подстановками, (2 5 4) и (1 2 3 4 5) . б) Доказать, что А„при четном п > 4 порождается двумя элементами: а = (12)(п — 1,п), 5 = (1,2,...,и — 1). в) Доказать, что Ао при нечетном и > 5 порождается двумя элементами: а = (1,п)(2,п — Ц, 5 = (1,2,...,п — 2). 61.7. Найти все двухэлементные множества, порождающие группы; а) Хе, б) Яе, в) Яе, г) 04; д) (а) 9э (Ь)з. 61.8.
Доказать, что если е1 — минимальное число порождающих конечной абелевой группы А, то для группы А О А аналогичное число равно 24. 61.9. Доказать, что группа Яа х Яе порождается двумя элементами. 61.10. Доказать, что если группа имеет конечную систему порождающих, то из любой системы порождающих можно выбрать конечную подсистему, порождающу.ю вскэ группу. 61.11. Будет ли конечно порожденным нормальное замыкание й й матрицы А = ~ ) в группе С., порожденной матрицами А и В = ),0 1) 61.12. Доказатть что: а) каждое слово в свободной группе эквивалентно единственному несократимому слову", б) "свободная группа" действительно является группой. 61.13. Пусть г' свободная группа со свободными порождающими иы..., тн, С произвольная группа.
Доказать, что для любых элементов ды..., д„е С существует единственный гомоморфизм оэ: à — ь С такой, что р(т1) = дм,, ., у(ин) = до. Вывести отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга. 61.14. Доказать.,что в свободной группе нет элементов конечного порядка, отличных от единицы. 61.15. Доказать, что два коммутирующих элемента свободной группы лежат в одной циклической подгруппе. Гл. Х!П.
Группы 250 61.16. Доказать, что слово щ лежит в коммутанте свободной группы с системой свободный порождающих х»,..., х„тогда и только тогда, когда для каждого» = 1,..., и сумма показателей у всех вхождений х; в ю равна О. 61.17. В свободной группе описать все слова, сопряженные слову ю. 61.18. Доказать, что факторгруппа свободной группы по ее коммутанту — свободная абелева группа. 61.19. Доказать, что свободные группы рангов ьп и и изоморфны тогда и только тогда, когда и» = и. 61.20. Сколько подгрупп индекса 2 в свободной группе ранга 22 61.21. а) Доказать, что в свободной группе Е ранга й все слова, в которых сумма показателей при каждой переменной делится на и, образуют нормальную подгруппу»»».
ь раз б) Доказать, что г7»'»» = Х„9... 9. Х„ 61.22. Доказать, что все сюръективные гомоморфизмы свободной группы ранга 2 на группу Хп 0» Х„имеют одно и то же ядро. 61.23. Сколько существует гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу; а) Хя0»Х; б) Язу »'а й 61.24. Доказать, что в 81 я»К) множество матриц»х (, где а = д: — 1 (п»од 4), Ь = с = О (»по») 2), образует группу с двумя порождая»щими 0 1 ' 2 1 61.25. Доказать, что если группа С с порождая»щими элементами х»,, х„задана определяющими соотношениями Н»(х»,..., х„) = 1 (» Е 1) и в какой-либо гру»ше Н для элементов 6ы..., »»„Е Н Н»(6»,..., 6п) = 1, то существует единственный гомоморфизм ч»» С вЂ” » Н такой, что Ч»(х») = и»,..., »р(хп) = и»».
2 бп Пороэедаюгаие олеленгам 61.26. Доказать, что если между элементами о и Ь группы выполнены соотношения ав=Ь =1, Ь аЬ= а, топ=1. 61.27. Показать, что группа, порожденная элементами а., Ь с соотношениями аз = Ь = 1, а 1Ьа = Ь ', конечна. 61.28. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами хг, хз с соотношениями: а) х2 = хз = (х1х2)2 = 1; б) х, = хг — — 1, х, 'хзхг —— х,,; 2 2 — 1 2. изоморфна Яз. 61.29. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами хг, хз и определяющими соотношениями 2, п хг =;е2 = 1, ,— 1 , — 1 Хг Х1Х1 =:Е2 изоморфна группе диэдра В„.
61.30. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами хг, х2 и определянгщими соотношенилми -1. 2 Х1 — Х2~ 22 11Х2 — Х1 изоморфна группе кватернионов Це. 61.31. Доказать, что группа, заданная порождающими элементами хг, хе и определяющими соотнопгениями х, = хз — — 1, изоморфна 2 2 группе матриц (( ) ек). 61.32. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- МИ Хг, Х2 И ОнрЕдЕЛяЮщИМИ СООтНОШЕНИяМИ Х2 = Х2 2—— (Х1Х2)и = 1, изоморфна группе матриц 61.33.
Найти порядок группы, заданной образующими о, Ь и определяющими соотношениями: а) аз =Ь2 = (аЬ)з =1; Гл. Х?Н. Группы 252 б) ал=Ь2=1, аЬз=Ьза Ьаз=азЬ 61.34. ПУсть С гРУппа, поРожДеннаЯ элементами хьт 1 < л < < у < аб с определяющими соотношениями хзхл)=хмхьп 1(1<! бй<?~Л(п; х, х!хб х, =ха, 1<1<2 <? <11. Доказать, что; а) каждый элемент группы С представляется в виде ,бпбб бпбл пбб тбб тг„бп хьа х!з .х!и хзз ..хьь! .. Хл — Л,п гдето ЕЕ:, б) С = 17Т„(Е). 61.35.
Доказать, что с!ли С/Н = (уН) кая группа, то С = (у)Н, (д) О Н = (е). бесконечная цикличес- 61.37. Пусть группа С задана порожда!ощими элементами х1, хз и ОПРелсляющил! соотношением х)хзхч = хз. Наити наилбеньшУк) — 1 2 подгруппу, порожденную в С элементол1 хз. Является ли эта подгруппа нормальнои'? 3 62. Разрешимые группы 62.1. Найти коммутатор /б 1~ /.
6~ а) невырожденных матриц ~ ! и ~ /); б) в) двух транспозиций в симметрической группе 3„; ) 62.2. Доказать следующие свойства коммутанта С' групп: а) С' -- нормальная подгруппа в С; б) факторгруппа С/С' коммутативна; 61.36. Описать в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная циклическая нормаяьная подгруппа с бесконечной циклической фактор- группой. у бя. Разраиимые 'еруппы в) если дл нормальна в С и С/еУ коммутативна, то С' С Л'. 62.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
