1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Группы 59.15. В группе диэдра 1Э„для каждого простого делителя р числа 2п: а) найти всо силовские Еьподгруппьц б) указать сопрягающие элемонты для силовских р-подгрупп. 59.16. Доказать, что образ силовской р-подгруппы конечной группы С при гомоморфизме группы сс на группу Н является силовской подгруппой в Н. 59.17.
Доказать,что любая силовская р-подгруппа прямого произведения конечных групп А и В является произведением сиповских р-подгрупп сомножителей А и В. 59.18. Пусть Р - силовская ?ьподгруппа конечной группы С, Н нормальная в С подгруппа. а) Доказать, что пересечение РПН являотся силовской р-подгруппой в Е1. б) Привести пример, показывасощий, что без предположения о нормальности подгруппы Е1 утверждение пункта а) неверно. 59.19. Доказать, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны. 59.20. Доказать, что любая группа порядка; а) 15; б) 35; в) 185; г) 255; колсмутативна. 59.21.
Сколько различных силовских 2-подгрупп и силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе порядка 207 59.22. Доказа"гее что не существует простых групп порядка: а) 36; б) 80; в) 56; г) 196; д) 200. 59.23. Пусть р и 0 — простые числа, р ( С?. Доказать, что: а) если с? — 1 не делится на р, то любая группа порядка рс? коммутативна; б) если С? — 1 делится на р, то в группе невырожденных матриц вида с о д1 (а, д 6 2е) имеется некоммутативная подгруппа порядка ра.
59.24. Сколько элементов порядка 7 в простой группе порядка 1687 у б0. Абелевы еруппы 241 59.25. Пусть К нормальная подгруппа в р-группе С. Доказать, Кг1г(а) ~1. 59.26. Пусть Г конечномерное векторное пространство над полем Р характеристики р и С -" р-группа линейных невырожденных операторов в 1'. Доказать, что существует такой ненулевой вектор т 6 Г, что дл = т для всех д е С. 59.27. Пусть Р -- силовская р-подгруппа в конечной группе С и Н подгруппа в С, содержащая нормализатор г1о(Р). Доказать, что о'о(Н) = Н. 8 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы 60.1.
Доказать, что группы Е и Я не разлагаквтся в прямую сумму ненулевых подгрупп. 60.2. Разлагаются ли в прлмое произведение неединичных подгрупп группы: а) Яо, 'б) Ал', в) Ял', г) (4в? 60.3. Доказать, что конечная циклическая группа является прямой суммой примарных циклических подгрупп. 60.4.
Доказать, что прямая сумма циклических групп Еел е1 Е„ является циклической группой тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель си и п равен 1. 60.5. Разложить в прямую сумму группы: а) Хв; б) Хмб в) Хво. 60.6. Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел., по модулю равных 1. 60.7.
Доказать,что при п > 3 мультипликативная группа кольца вычетов Хг является прямым произведением подгруппы 1х1) и циклической группы порядка 2" 60.8. Чему равен порядок: а) прямого произведения конечных групп, б) элемента прямого произведения конечных групп? 16 Л.И. Кострикин Гл. Х!В. Группы 242 60.9. Доказать, что если в абелсвой группе подгруппы Аы Аэ,... ..., .4я имен>т конечные попарно взаимно простые порядки, то их сумма является прямой.
60.10. Пусть Р . подгруппа прямого произведения А х В групп А и В взаимно простых порядков. Доказать, что Р=(РОА) х (РОВ). 60.11. Пусть й наибольший порядок элементов конечной абелевой группы С. Доказать что порядок любого элемента группы С делит 1ч Верно ли это утверждение без предположения об абелевости группы? 60.12. Найти все прямые разложения группы, состоящей из чисел вида х2". 60.13.
Пусть А --- конечная абелева группа. Найти все прямые разложения группы К Ю А, в которых одно из слагаемых является бесконечной циклической группой. 60.14. Найти классы сопряженности группы А х В, если известны классы сопряженности групп А и В. 60.15. а) Доказать, что центр прямого произведения А х В равен прямому произведению центров А и В. б) Пусть Х вЂ” — нормальнал подгруппа в А х В, причем Х р1 А = Х р1 В = 1. Доказать, что Х лежит в центре А х В.
60.16. Доказать, что если факторгруппа А/В абелевой группы А по подгруппе В является свободной абелевой группой,то А = В ср С, где С --- свободная абечева группа. 60.17. Доказать, что подгруппа А абелевой группы С выделяется в С прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм г; С э А такой, что пз = и. 60.18. Пусть ды рз гомоморфизмы групп Аы Аз в абелеву группу В. Доказать, что существует единственный гомоморфизм р: А1 х А — > В, ограничения которого на А1 и .4э совпадают соответственно с у1 и у~.
Существенна ли здесь абелевосты руппы Ву 60.19. На множестве гомоморфизмов абелевой группы А в абелеву группу В определим операцию сложения по правилу (о+ Д)(я) = о(и) + д(*). з б0. А бел е вы ер упвы 243 Доказать, что гомоморфизмы А — > В образуют абелеву группу Нош(А, В). 60.20. Найти группы гомоморфизмов: а) Ноп1(Х1з, Хв); б) Ноп1(Х1з, Хзз); в) Нош(Хв, Х1з); г) Нош(А1 бз Аз, В); д) Нош(А, В1 еб Вз): е) Нош(Х„, Хь), ж) Нош(Х, Х„); з) Нош(Х„, Х); и) Нош(Х,У)', к) Нош(Хз ер Хз,Хз); л) Но|и(Хз ез Хз, Хзо) 60.21. Доказать, зто Нош(Х, А) А. 60.22. Пусть А абелева группа.
Доказать, что все ее эндоморфизмы образуют кольцо Епе4 А с единицей относительно сложения и обычного умножения отображений. 60.23. Доказать, что группа автолюрфизмов абелевой группы совпадает с группой обратимых элементов ее кольца эндоморфизмов. 60.24. Найти кольца эндоморфизмов групп: а)Х; б)Хв; в)Я. 60.25. Доказать, что в абелевой группе отображение т — ~ пх (и. Е е Х) является эндоморфизмом.
Для каких групп оно будет: а) инъективным; б) сюръективным? 60.26. Доказать, что кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга и изоморфно кольну М„(Х). 60.27. Найти группы автоморфизмов групп: а) К; б) Я; в) Хз-, г) свободной абелевой ранга в. 60.28. Доказать, что: а) Апс Хзе Апз Хуз, б) Апе(К ЕЭ Хз) = Хз лв Хз. 60.29. Доказать, что кольцо Епб(Х ~9 Хз) бесконечно и некоммутативно.
60.30. Доказать,что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы является прямой суммой колец эндоморфизмов се примарных компонент. 60.31. Доказать, что подгруппа конечно порожденной вбелевой группы также конечно порождена. Г ь Х!П. Группы 60.32. Доказать, что всякий гомоморфизм конечно порожденной абеяевой группы на себя является автолюрфизмом. Верно ли аналогичное утверждение для аддитивной группы кольца многочленов? 60.33. Доказать, что свободные абелевы группы рангов т и п изоморфны тогда и только тогда, когда т = и,.
60.34. Пусть А, В, С -- конечнопорожденные абеяевы группы, причем А Ж С В сб С. Доказать, что А В. 60.35. Пусть порядок конечной абелевой группы С делитол на число т. Доказать, что в С есть подгруппа порядка т. 60.36. Пусть А и В конечные абелевы группы, причем для любого натурального числа тп в А и В чис ю алиментов порядка оп одинаково.
Доказать,что А В. 60.37. Пусть А и В конечнопорожденные абелевы группы, причем каждая из них изоморфна подгруппе другой. Доказать, что А В. 60.38. Доказать, что подгруппа В свободной абелевой группы А является свободной, причем ранг В не превосходит ранга А. 60.39.
Пользуясь основной теоремой о конечно порожденных абелевых группах, найти с точностью до изоморфизма все абслевы группы порядка: а)2; б)6;. в)8; г)12:, д) 16; е) 24; ж) 36; з) 48. 60.40. Говорят, что абелева группа имеет упмп (пыиз,...,пь), если она является прямой суммой пикчических групп порядков пм па,...,пы Есть ли в абелевой группе типа (2,16) подгруппы типа: а) (2,8); б) (4,4), в) (2,2,2)'? 60.41. Найти тип группы ((а)о 01 (Ь)ят)?(За+ 9Ь). 60.42. Изоморфны ли группы: а) ((а)з О (Ь)л)?(2Ь) и ((а)я с1 (д)л)?(а+ 2Ь): б) Хо беХзо и Хы ~ЗХ1а, в) Хо 'В Хзо и Хо ~с Хзл,. г) Хо ~Е Хю ~Э Х~о и Хоо З Х1оу у б0. А белевы еруппы 245 60.43. Сколько подгрупп: а) порядков 2 и 6 в нециклической абелевой группе порядка 12; б) порядков 3 и 6 в непиклической абелевой группе порядка 18; в) порядков 5 и 15 в нециклической абелевой группе порядка 757 60.44.
Найти все прямые разложения групп: а) (а)е СО (Ь)я; б) (а)р 9 (в)р; в) (п)з бз (Ь)л. 60.45. Сколько элементов: а) порядка 2, 4 и 6 в группе Хз ей Хл ев Хз,' б) порядка 2, 4 и 5 в группе Хз 51 Хл О Хл еь Хву 60.46. Пользуясь основной теоремой о конечных абелевых группах, доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. 60.47. Пусть г' -- поле, у которого мультипликативная группа г'* конечно порождена. Доказать,что поле Е конечно. 60.48.
Доказать, что конечно порожденная подгруппа мультипликативной группы комплексных чисел разлагается в прямое произведение свободной абелевой группы и конечной циклической. 60.49. Пусть А . — свободная абелева группа с базисом ем., ., е„и х = тзе~ +... + т„еп е А 10, где ви, Е Е. Доказать, что циклическая группа (х) является прямым слагаемым в А тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел ьчы..., пеп равен 1.
60.50. Пусть А -- свободная абелева группа с базисом хы..., хп. Доказать, что элементы у, = ~~ пмх„у = 1,...,п, по е Е, составляют базис группы А тогда и только тогда, когда с1ее(а,, ) = х1. 60.51. Пусть А --- свободная абелева группа с базисом хм ..,, тп, В ее подгруппа с порождающими элементами у = ~~ а х„ у=1,...,п, а, еЕ. Доказать, что факторгруппа А/В конечна тогда и только тогда, когда бее(ав ) ф О, и при этом ~А(В) = ~ Ле1(иб)~. 1'л.
Х!П. Группы 246 60.52. Разложить в прямук» сумму циклических групп фактор- группу А/В» где А свободная абелева группа с базисом хмхг,хз, В -- ее подгруппа, порожденная умдг,уз.. д» вЂ” — 7х» + 2хг + Зхз, дг = 21х» + 8хг + 9хз дз = 5х» — 4хг + Зхз; у» — — 5х» + 5тг + Зхз, = 5х» + 6хг + 5хз, дз = 8х» + 7хг + 9хз,' д» = 5х» + 5х» + 2хз, дг = Пх» + 8хг + 5хз, Уз = 17х» + 5хг + 8тз,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
