1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым. 63.15. Пусть Л - кольцо с единицей, .х,у Е Л. Доказать, что: а) если произведения хд и ух обратимы, то элементы х и у также обратимы; б) если Л без делителей нуля и произведение ху обратимо, то х и у обратимы; Гл. ХУК Кольча 260 в) без дополнительных предположений о кольце Л из обратимости произведения кр не следует обратимость элементов к и у; г) если обратим элемент 1+ аЬ, то обратим и элемент 1 + Ьа.
63.16. Пусть Л прямая сумма колеи Лы..., Ль. а) При каких условиях Л коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля? б) Найти в Л все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы. 63.17. Доказать, что: а) если числа к и 1 взаимно просты,. то Хы = Хь З Хб б) если п = р '...р~', где ры,,,,р, -- различные простые числд ла, то Х. =Х '1 е...еХ ..; ю в) если числа Й и Р взаимно просты, то р(И) = |р(к)дЯ, где ~р функция Эйлера.
63.18. Найти все делители нуля в С 01 С. 63.19. Доказать, что: а) делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не является обратимым, б) в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не являющийся делителем нуля, обратим; в) конечномернал алгебра без делителей нуля является телом (аягеброй с делением). 63.20. Доказать, что: а) конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем С изоморфна С; б) над полем С не существует конечномерных алгебр с делением, отличных от С.
63.21. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над С: а) с единицей; б) не обязательно с единицей. 63.22. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные двумерные алгебры над В: а) с единицей; у" бл. Кольца и алеебрм б) не обязательно с единицей. 63.23. Пусть Š— тело кватернионов. а) Является ли Е алгеброй над полем С, есчи умножение на скаляр а Е С понимать как левое умножение на о Е Ы? б) Доказать, что отображения 1~-> ~ ~, гьз „., 1ь-> ~ ~, й > являются изоморфизмами Ы как алгебры над полем 2 на некоторую подалгебру в алгебре матриц Мз(С) над К.
~з 61 в) Доказать, что отображение е ~ — ~ ( ( является изоморфным вложением поля С в алгебру Е., реализованную в виде подалгебры алгебры Мз(С) над К (см, б)). г) Решить в Б уравнение хз = — 1. 63.24. Тензориой алгеброй 7(1~) векторного пространства 1' над полем К называется (бесконечномерное) векторное пространство 7(Р) = ®7,(Г), л=о где 7е(12) = К, 7ь(1') = Ъ'З... З Ъ' при я > О, с умножением Й Иьь ,(.д = (Зд, где ( Е Ть(Ът), д 6 Т (1'). Доказать, что: а) 7(ь') - - ассоциативная алгебра с единицей над полем К; б) в 7(1') нет делителей нуля. 63.25.
Алгеброй Грасснани Л(ь') векторного пространства 1' над полем К называется векторное пространство где Ле(1") = К, с умножением д = ~дд, где ( 6 Л"(Г), д 6 Л (~') 262 Гл. Х1'ь'. Кольца для любых к, пь > О. Доказать, что; а) Л (Г ) является ассоциативной алгеброй с единицей над полем К; б) каждый элемент из 1 = ® Л" (Р) является нильпотентным; и> в1 в) каждый элемент из Л(Р ), не лежащий в 1, обратим. 63.26. Симметрической алгеброй 5(1~) векторного пространства 1~ над полем К называется векторное пространство В(Г) = ® В"~Г ), ь=о где 5~('ь') = к, с умножением ~.д = Яуп1(<йд), где ~ Е Я"(Ъ'), д б 5 (1') для любых к, гп > О. Доказать, что; а) 5(1х) является ассоциативной, коммутативной алгеброй над К; б) если хы,х,„-- базис пространства ь', то Я(1') изоморфно алгебре многочленов от хы, .., хо, 63.27.
Пусть А и В алгебры над полем К. Тензорное произведение алгебр С = А Зк В определяется как тензорное произведение векторных пространств А и В над К с умножением (а' ЗЬ') (ао Я Ьо) = а ао З 6Ъл. Доказать изоморфизм алгебр над полем К; а) С Зк С = С йу С (К = К); б) М„(К) Зк М„(К) = М„,л(К); в) М (К) Зк А М„(А), где А -- произвольная ассоциативная алгебра над 1<; г) К~Хм...,Х„]Зк К]Уы...,У ] К[Хм...,Х„,Уы...,У ], д) ЕЗис М (С); е) Я(Р') Зк Л(Р') Т(Ъ') при бпп1' = 2: ж) Фъ~Р) ЗО Я(ь(д) = Щт(Р+ ьЯ), где р и д — различные прос- тые числа.
63.28. Пусть К -. поле характеристики нуль, В= К~хм...,х„]-- кольцо многочленов и Рь 26 - линейные опеРатоРы на Н как вектоР- ном пространстве над К, причем для 1 б В р У) =х*Л д.® =, 1 д 1 р~б И»»еалы, ааа»амар»резь»ь», 4»актаркальца 263 Обозначим через Аа(К) подалгебру в алгебре линейных операторов в Л, порожденную р»,...,ра,а»,...,аа. Она называется алгеброй Лейла или алгеброй дифференциальных операторов. Доказать, что: а) д»р» — р»»О = Б,, рбр = р ро д»у. =судб б) базис А„[К) как векторного пространства образуют одночлены р, ...р„-1» ...6„,-, гб11 >о. 63. 29. Пусть »" = Др»,..., р„, »1»,..., 4а) --- элемент алгебры Нейли А„[К) [см. задачу 63.28.) Доказать, что »)» д~ р .»" = Лр» + —, Ы = .»"ч.
—— д»1» ' ' ' дР» 63.30. Доказать, что алгебра верхних нильтреугольных матриц порядка в является нильпотентной алгеброй индекса п. 63.31. Доказать, что: а) в кольце всех функций на отрезке [О, .Ц делителями нуля являются функции, принимающие нулевое значение, и только они: б) в кольце непрерывных функций на отрезке [О, Ц делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке [а, б], где О < а < б < 1. 3 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца 64.1. Найти все идеалы кольца; а) а.» б) К[я], где К .. поле. 64.2. Доказать, что кольца: а) ~[ж]:.
б) К[ж, у], где К поле; не являя»тся кольцами главных идеалов. 64.3. Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом. 64.4. Доказать, что в кольпе матриц Ма[Л) с элементами из произвольного кольна Л идеалами являются в точности множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца Л. Гл. Х1Ъ'. Кольца 264 64.5. Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми алел~ситами. 64.6. Пусть 1 и 1 - множества матриц вида 0 О 2я, 0 О 2п с целыми коэффициентами д, Ь, Й,...
Доказать, что 1 является идеалом в кольце Л верхних треутольных матриц над Х, о есть идеал кольца 1,но / не является идеалом кольца Л. 64.7. Найти все левыс идеалы алгебры Ма[Ха). 64.8. Найти все идеалы двумерной алгебры А над полем К с базисом [1, е), где 1 - - единица в Ь,. и: а) с' = О; б) е' = 1. 64.9. Доказать, что если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом. 64.10.
Образуют ли идеал необратимые элементы колец: а) Х; б) С[х); в) К[х); г) Х„. 64.11. Доказатьь что кольцо целых чисел не содержит минимальных идеалов. 64.12. Найти максимальные идеалы в кольпах: а) У; б) С[х]; в) К[х]; г) Х„. 64.13. Доказать, что множество 2я непрерывных функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве Я С [а, Ь~), является идеалом в кольце функций, непрерывных на [а, 6). Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид Гя для некоторого Я С [а, В)? 64.14.
Пусть Л вЂ” кольцо непрерывных фу.нкций на отрезке [О, 1), Го = (у'[х) е Л [ у [с) = 0) [О ( с < 1). Доказать, что: а) Г, — максимальный идеал Л; б) всякий максимальный идеал Л совпадает с Г, для некоторого с. 64.15. Доказать, что коммутативное кольцо с единицей [отличной от нуля), не имеющее идеаяов, отличных от нуля и всего кольца, является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие единицы? у 64.
Идеалы, еольоиорьриэыьь ьЕьокторкольца 265 64.16. Доказать, что кольцо с ненулевым умножонием и без собственных односторонних идеалов является телом. 64.17. Доказать, что кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых идеалов конечна, является телом. 64.18. Пусть К коммутативное кольцо без делителей нуля и отображение б: К у 10) -+ Я удовлетворяет условию: для любых элементов а, Ь е К, где 6 ~ О, существуют элементы а, г е К такие, что а = 64+ г и б(г) ( б(Ь) или г = О.
Доказать, что существу.ет отображение бь. К 'у 10) -+ 14, удовлетворяющее как этому условию, так и условию: для любых а,6 6 К, где аЬ р'. -О, бь(аЬ) ) б(Ь). 64.19. Доказать, что: а) кольцо целых гауссовых чисел вида х+ ьр (х, у Е 'е') евклидова; б) кольцо комплексных чисел вида т+ гд /3 (х.,р 6 У) не является евклидовым; х+ юру'3 в) кольцо комплексных чисел вида, где х и у целые 2 числа одинаковой четности, евклидова. 64.20.
В кольце К(ь) разделить а = 40+ г на Ь = 3 — 1 с остатком относительно функции б(х + гд) = хя + уэ из задачи 64.18. 64.21. В кольце К(г) найти наибольший общий делитель чисел 20 + 91 и 11 + 21. 64.22. Доказать, что всякую прямоугольную матрицу с элементами из евклидова кольца с помощью элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к виду еь 0 ... 0 0 ...
0 0 ея ... О 0 ... 0 0 0 ... е, 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 где е~ (еэ(... (е„, е; у'. -0 (1 = 1,2...,г). 64.23. Доказать, что в задаче 64.22 для ь = 1,..., г произведение еь ... е, совпадает с наибольшим общим делителем всех гяиноров размера 1 исходной матрицы. Гл. Х!'г'. Кольца 266 64.24. Доказать, что любое кольцо, заключенное между кольцом главных идеаюв Л и его полем частных Я, саъю является кольцом главных идеалов. 64.25. Доказать, что кольцо многочленов Л[х] над коммутативным кольцом Л с единицей и без делителей нуля является кольцом главных идеалов тогда и только тогда, когда Л поле. 64.26.
Найти все идеалы в алгебре рядов С[[х]] от одной переменной х. 64.27. Доказать, что алгебра Вейля А„[К) (см. задачу 63.28) проста, если К --- поле нулевой характеристики. 64.28. [Кипгайская теорема об остапгках.) Пусть А -- коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что: а) если 1, и 1г идеалы в .4 и 1г + 1г — — А, то для любых элементов хм хг Е А существует такой элемент х Е А, что х — хг Е 1м х — хге1г, б) если 1,,..., 1„— идеалы в А и 1; + 1 = А для всех 1 ф 1, то для любых элементов хы..., х„Е А существует такой элемент х Е А, что х — хь Е 1ь [Й = 1.....,п). 64.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
