1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Х!П. Группы 228 в) В базисе ем..., е„найти матрицы операторов из стационарной подгруппы СР 57.6. Пусть С - группа всех невырожденных линейных операторов в и-мерном векторном пространстве Ъ' и Х (соответственно У) множество всех ненулевых разложимых д-вскторов из АЯ1' (из Вт(1')). а) Найти орбиты действия С в Х и 1'. б) Найти стационарную подгруппу С„разложимого д-вектора а (вектора из я~(р )). 57.7. Пусть С группа всех невырожденных линейных операторов в п-мерном вещественном (комплексном) пространстве 1л и В -" множество всех симметричных (зрыитовых) билинейных функций в Ъ'. Если д е С и Ь е В, то положим д(Ь)(л, у) = Ь(д 'и, д 'д).
а) Доказать,что задано действие С в В. б) Описать орбиты С в В. Найти их чисяо. в) Описать стационарную подгруппу Сз положительно определенной функции Ь. 57.8. Пусть С группа всех невырожденных линейных операторов в и-мерном комплексном пространстве 1' и тду') множество всех линейных операторов в 1'. Если д е С и ( е Г.(Р'), то положим дУ) =д(д ' а) Доказать, что задано действие С в Ц'с'). б) Описать орбиты С в т",11с). 57.9. Найти во множестве 11, 2,..., 10) все орбиты и все стационарные подгруппы для группы С, порожденной подстановкои: (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10') )5 8 3 9 4 10 6 2 1 7/ (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'~ ) 7 4 6 1 8 3 2 9 5 10/ в) д = (1 6 9) (2 10) (3 4 5 7 8) б 81о.
57.10. В прямоугольной системе координат задан ромб с вершинами А = 10, 1), В = (2, О), С = 10,. -1), Р = (-2, О). а) Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, переводящих ромб в себя. у" о7. Действне едднам на множестве 229 б) Доказать, что эти матрицы образуют относительно умножения группу С, изоморфнун> группе Ъ». в) Найти орбиты действия группы С на множестве вершин ромба и их стационарные подгруппы. 57.11.
Найти порядок группы диэдра Р„. 57.12. Найти порядок; а) группы вращений куба: б) группы вращений тетраэдра; в) группы вращений додекаэдра. 57.13. Доказать, что: а) группа вращений икосаэдра изоморфна группе А;,; б) группа движений тетраэдра изоморфна Яв. 57.14. Найти порядок стационарной подгруппы вершины для группы вращений: а) октаэдра; б) икосаэдра; в) тетраэдра; г) куба; д) диэдра. 57.15.
Пусть С группа аффинных преобразований в и-мерном аффинном пространстве Х. Предположим, что 1 — множество всех наборов из и+ 1 точки (Ае,..., А„), находящихся в общем положении. а) Найти орбиты С в У. б) Найти стационарнуко подгруппу С набора а е У.
57.16. Пусть С группа аффинных преобразований в и-мерном аффинном вещественном (комплексном) пространстве Х. Обозначим через с„е множество всех квадратичных фу.нкций в Х. Если д е С, Ь е О и т е Х, то положим д(Ь) = Ь(д 'и). а) Доказать, что задано действие С в ц. б) Описать орбиты С в О. в) Описать стационарную подгруппу Сь невырожденной функции 6 с се. 57.17. Пусть С группа дробно-линейных преобразований единичного круга с центром О из задачи 24.22. Найти: а) стационарную подгруппу точки О; б) орбиту точки О; в) пересечение стационарных подгрупп двух различных точек единичного круга. Гл. Х!Н.
Группы 230 57.18. Пусть группа С действует на множестве Х и ж, у элементы одной орбиты С в Х. Доказать, что все такие д Е С, что д(х) = у, составляют левый смежный класс С по стационарной подгруппе С,, и правый смежный класс по стационарнои подгруппе Сю 57.19. Пусть коммутативная группа С действует на некотором множестве ЛХ. Доказать, что если для некоторых у Е С и «пе Е М справедливо равенство уте = «ие, то уьп = т для любой точки т, лежащей в одной орбите с точкой ьпо. 57.20.
Пусть Н вЂ” — подгру.ппа группы С, а Е С. Доказать, что: а) отображение и„: дН > ауН есть перестановка на множестве ЛХ всех левых смежных классов группы С по подгруппе Н; б) отображение Х: а «-) и, определяет действие группы С на М; в) «г„ является тождественной перестановкой тогда и только тогда, когда а принадлежит пересечению всех подгрупп, сопряженных с Н в группе С. 57.21. Перенумеровав левые смежные классы группы С по подгруппе Н, найти все перестановки «т, (задача 57.20), есяи: а) С = Х4, Н единичная подгруппа; б) С = О4, Н подгруппа, состоящая из тождественного преобразования и некоторой осевой симметрии квадрата.
57.22. Доказать, что для любой группы С; а) сопряжение определяет действие ш «ч д ьп = уьпу, д, пп е С группы С на множестве С; б) стационарная подгруппа точки т (пентрализатор элемента т) совпадает со множеством элементов группы С, перестановочных с пи 57.23. Найти централизатор; а) перестановки (12)(34) в группе 84., б) перестановки (123... и) в группе Я„. 57.24. В группе С1 «(К) найти централизатор матрицы: 0 — 1 ' ) О 2 ' ) 3 4 ' ) 0 1 57.25. В группе СХ „(Щ найти централизатор матрицы О«а8(Лы..., Лп), если: а) все элементы диагонали различны; е" Ь7.
Дейспевне группы нв множестве 231 б) Л1 =... = Ль = а, Лье1 =... = Л„= Ь и а ф Ь. 57.26. Какие из трех матриц сопряжены между собой в группе Сьз(С): 1 1 1/2 0 57.27. Пусть à — поле. В группе ВЕн(Е) найти: а) центРализатоР Сб элементаРной матРицы Е + Ео пРи 1 < 1 ~ фу(п; б) пересечение С„. при всех г, ~, где. 1 < 1 ~ у < и; в) класс сопряженных элементов, содержащих Е + Ео. Доказать, что любые две элементарные матрицы Е + оЕо и Е + ДЕоо, где 1 < 1 ф УЛ Р ф 4 < п и а, д е Е*, сопРЯжены.
57.28. В группе Оз(К) ортогональных операторов найти: а) централизатор оператора поворота на угол а ~ йя: б) централизатор симметрии относительно оси ОХ. 57.29. Доказать, что в группе Оз(К) любые две симметрии сопряжены. 57.30. Найти классы сопряженных элементов групп: а) Яз, 'б) Ав; в) ив. 57.31. Найти все конечные группы, число классов сопряженности которых равно: а) 1; б) 2; в) 3. 57.32. В группе Яв найти класс сопряженности: а) перестановки (12)(34); б) перестановки (124). 57.33.
Есть ли в группах Яв, Яв несопрлженные элементы одинаковых порядков? 57.34. Доказать, что две перестановки сопряжены в группе Бо тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т.е. их разложения в произведения независимых циклов для любого й содержат одинаковое число циклов длины й. 57.35. Найти число классов сопряженности в группах: а) 84, 'б) Бв; в) Бв; 'г) Рв.
Гл. Х1П. Группы 232 57.36. Кинонпческоб формой матрицы А б ВОя(К) называется сопряженная с А матрица вида с 1 О О О соя:р — яш:р О яшр совр Доказать, что матрицы Ау и Аз сопряжены в ВОз(й) тогда и только тогда, когда их канонические формы связаны соотношением р~ + ря = 2яй или ру — ря = 2яй для некоторого целого й.
57.37. Доказать, что: а) если Н и К сопряженные подгруппы конечной группы и К С Н, то К = Н; б) подгруппы Н= (пЕХ), К= (нЕХ) сопряжены в группе С1 я(11), и К с Н. 57.38. Найти нормализатор М(Н) подгруппы Н в группе С, если: а) С = Соя( а), Н вЂ” подгруппа диагональных матриц; б) С = ОЬя(Щ, Н вЂ” подгруппа матриц вида а е 11; в) С = Вл, Н = Д1234)). 57.39. Найти группу автоморфизмов: а) группы Хв; б) группы Хе. 57.40. Доказать, что: а) АпФ Вз Яз, причем все автоморфизмы группы Бз внутренние; б) Апс Ъ'л Бш причем внутренним для Ъ'4 является лишь тождественный автоморфизм. 57.41. Яаяяется ли циклической группа автоморфизмов: а) группы Хя, б) группы Хя? 57.42. Найти порядок группы АпФ Ап1Ап1 Ху.
57.43. В группе Вя построить внешний автоморфизм. у 5В. Гомоморфиомы и уак4аоргруииы 233 57.44. Доказать, что в группе Я„(п ф: 6) все автоморфизмы внутренние. 57.45. Доказать, что группа автоморфизмов В4 изоморфна Р». Найти подгруппу внутренних автоморфизмов группы В4. 57А6. Найти группу автоморфизмов группы Пи и подгруппу ее внутренних автоморфизмов.
8 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр 58.1. Доказать, что подгруппа Н группы С нормальна, если: а) С коммутативная группа, Н " любая ее подгруппа; б) С = СЬ„Щ, Н подгруппа матриц с определителем, равным 1; в) С=8„, Н=Аи; г) С=84, Н=Ъ'4, д) С группа невырожденных комплексных верхнетреугольных матриц, Н вЂ” группа матриц вида Е+ ~~ о Еб, о,. бС. 1« ~я 58.2. Будет ли нормальной подгруппой в группе СЬо,(а.) множество всех матриц вида где числа а, д нечйтны, а числа 6, с четныу 58.3. Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормальной.
58.4. Найти все нормальные подгруппы, отличные от единичной и от всей группы в группах: а) Яз, 'б) А4; в) 84. 58.5. На примере группы А4 показать, что нормальная подгруппа К нормальной подгруппы Н группы С не обязательно является нормальной в С. 58.6. Пусть А и В нормальные подгруппы группы С и Ар1В единичная подгруппа. Доказать, что ту = уи для любых л е А, у е В. Гл. Х!Н.
Группы 234 58.7. Пусть Н подгруппа в С индекса 2, С класс сопряженных в С элементов и С С Н. Доказать, что С является либо классом сопряженных в Н элементов, либо объединением двух классов сопряженных в Н элементов, состоящих из одинакового числа элементов. 58.8. Доказать, что факторгруппа К*/Я* не явяяется циклической. 58.9. Найти число классов сопряженности в группе Ав и число элементов в каждом из классов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
