1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть Л и Я - кольца с единицей и у: Л -+ 5 гомоморфизм. а) Верно ли, что образ единицы кольца Л лвляетсл единицей кольца 52 б) Верно ли утверждение а),. если гомоморфизм у сюръективен? 64.30. Пусть К - поле и К[хм...,хо] . алгебра многочленов. Предположим, что 1ы..., 1„Е К[хм, .,, х„].
Доказать, что: а) отображение д, при котором ~аахм",х-)) = й(Л,".,.!а), является зндоморфизмом К-алгебры К[хм ..,, х,„]; б) если р . —. автоморфизм К[хм, .,, хл], то якобиан не равен нулю; в) если а = 1г[хг,...,х„),то отображение Ф, при котором 'л [а(хг~ ° ~ ха)) — Н(г г + а; хг~ ° хо) е 64. Идеалы, еомоморфизмьь фопторпольца 267 является автоморфизмом К[хм..., х„). 64.31. Пусть К поле и К[[хь... х„)) алгебра степенных рядов от хм..., х„.
Предположим, что ум..., уп е К[[хь... х„)) имеют нулевые свободные члены. Доказать, что: а) отображение Чь,при котором 'Р(у(хм ..:еп)) = у(ум . ~.~п) является зндоморфизмом К[[хм..., х„[); б) отображение ~р является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан д = е!ет имеет ненулевой свободный член. 64.32. Пусть К вЂ” поле нулевой характеристики и 1ь = 1ь(Ч1) 6 6 А, [К). Доказать, что отображение ьо, при котором <Р[1[рм .,Рп, Чы, Чп)) = 1[Р1 + й, Рщ, Рп, Чм, Чп), является автоморфизмом К-алгебры А„[к). 64.33.
Пусть ьо автоморфизм С-алгебры М„(С). Доказать, что: а) левый аннУлЯтоР матРицы ьр[Епп) имеет РазмеРность п(п — 1); б) жорданова форма матрицы фЕпп) равна Еы, в) существует такая обратимая матрица 1', что 1' ' о(Е„п)У = Епп; г) отображение А -+ У ьЧь[А)1' является автоморфизмом М„(С), переводящим Мп ь [С) в себя; д) существует такая обратимая матрица Х, что р(А) = ХАХ для любой матрицы А е Мп(С). 64.34.
Пусть К поле. а) Доказать, что линейное отображенис Чм М„, [К) З, М„,[К) -~ М„т[К), где 1 ( г,1 < п, 1 < г,е < т и ,р[ЕИ Я Еьь) = Е,, щ„ Гл. Х11Г. Кольца 268 является изоморфизмом К-алгебр. б) Доказать, что линейное отображение Ф: Ма(К) — ~ М (К) хк М (К), где Ф(Е,)=Е; ХЕ0, является гомоморфизмом Е(-алгебр. Найти Кег Ф. 64.35. Доказать, что образ коммутативного кольца при гомоморфизме является коммутативным кольцом. 64.36. Доказать, что отображение ~р: 1(х) -+ 1(с) (с Е К) является гомоморфизмом кольца вещественных функций, определенных на И, на поле 11.
64.37. Найти все гомоморфизмы колец; а) У вЂ” ~ 2Уб б) 2К вЂ” > 2Уб в) 2К вЂ” > ЗУб г) К вЂ” ~ М (Уя). 64.38. Найти все гомоморфизмы; а) группы Х в группу Я; б) кольца У в поле Ч). 64.39. Доказать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе. 64.40. Пусть К поле и ЕЕ = К[хь,..., хо] алгебра многочленов от хы..., х„над полем К. Построить биекцию между пространством строк К" и множеством всех гомоморфизмов К-алгебр Л -~ К. 64.41. Доказать, что: а) Е[х~у(х — а) = Е (Е -" поле); б) Н[х]/(хз + Ц С.
в) а1[х]Е(хз + х+ 1) С. 64.42. При каких а и б факторкольца Уа[х]/(х~ + ах + б): а) изоморфны между собои; б) являются полями? 64.43. Изоморфны ли факторкольца У[х]Дх~+ 1), У[х]Дхз+ 2т + х+ 1)? 64.44. Изоморфны ли факторкольца К[х]/(хз — 2), У[хЯхз — 3)? у 64. иьгеальь зомоморфизмьь уояторяольца 269 64.45. Пусть а и Ь различные элементы поля Е. Доказать, что Г[х]-модули Р[х]/(х — а), г'[х]/(х — Ь) = К не изоморфны, но соответствующие факторкольца изоморфны.
64.46. Доказать, что если а р'. -Ь и с ф 6 . — элементы поля Е, то факторкольца Р[х]/((х — а)(х — Ь))г', р'[х]/((х — с)(х — ьг)) изоморфны. 64А7. Какие из следующих алгебр изоморфны над С: Аг — С[х; д]/(х — д, хд — 1), Аг — С[х]/((х — 1) ), Л =СЕС Л =С[т д] 4 =С[х]/(хе)ч 64.48. Изоморфны ли алгебры Л и В над полем С: а) .4 = С[х, д]/(х" — д), В = С[х, д]/(х, — до'); б) А = С[х д]/(хд — д') В = С[' д]/((х — д)г)7 64.49. Изоморфны ли следующие алгебры над полем К: а) Л = К[х]/(хз +х+ 1), В = К[х]/(2хг — За+ 3); б) Л = К[х]/(хз + 2х+ 1), В = К[х]/((хз — Зх+ 2)7 64.50. Доказать, что элемент / алгебры К[х]/(х"тг ) (К .-- поле) обратим тогда и только тогда, когда Е(0) ф О.
64.51. Пусть К поле и / е К[х] имеет степень и. Доказать, что размерность К-алгебры К[х]//К[х] равна п. 64.52. Пусть К поле. Доказать, что: а) если многочлены /, д Е К[х] взаимно просты, то К[х]//дК[х] = К[х]//К[х] ер К[х]/9К[х]; б) если / = р ' ...р~', где ры,, ., рь - .
взаимно простые неприволь димые многочлены, то К [х]//К[х] К[х]/рт'К[х] 6~... 62 К[х]/р,"*К[х]. 64.53. Доказать, что факторкольцо ЕЕ/Е коммутативного кольца с единицей является полем тогда и только тогда, когда Е максимальный идеал в В. Гл. Х1У. Кольца 270 64.54. Доказать, что идеал 1 коммутативного кольца Л простой тогда и только тогда, когда 1 ядро гомоморфизма Л в некоторое поле. 64.55. Доказать, что: а) факторкольцо Х[ь]7'(2) не является полем; б) факторкольцо Х[ь]7'(3) является полем из девяти элементов; в) Х[ь]7'(п) является полем тогда и только тогда, когда и - — простое чись ц не равное сумме двух квадратов целых чисея. 64.56. При каких а 6 йт факторкольцо их[х]/(хз + а) является полем? 64.57. Доказать, что при любом целом п ) 1 факторкольцо Х [х]/(и) изоморфно Х„[х].
64.58. Пусть 7'(х) -- неприводимый многочлен степени и из кольца Хр[х]. Доказать, что факторкольцо Хр[хЯ1(х)) является конечным полем, и найти число его элементов. 64.59. Доказать, что: а) всякое кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с единицей; б) н-л~ерная алгебра с единицей над полем Е изоморфна подалгебре алгебры с единицей размерности п + 1; в) и-гяерная алгебра с единицей над полем К изоморфна некоторой подаягебре алгебры М„(К); г) и-мерная алгебра над К изоморфна подачгебре алгебры М„,(К). 64.60.
Пусть 12,..., 1, идеалы в алгебре с единицей А, 1, + 1,. = А при 1 ~ 21 Доказать, что отображение ,7; А / [ ] 1ь у А(1, бу... Е А/1„ я=1 задаваемое формулой У [а+ [' ] 1,) = (а+ 1„..., а+ 1,), является изоморфизмом алгебр. 64.61. Установить изоморфизм Ях]7(хя — 1) Я <Э ьх. г 64. Идеалы, еомомо7нразмы, факторнольца 271 64.62.
Доказать, что Я[х)1'(хг — 2) = Я[з12) 64.63. Пусть 1 максимальный идеал в Х[х[. Доказать, что Х [х) /1 конечное поле. 64.64. Пусть $' векторное пространство над полем Л нулевой характеристики. Доказать, что 5(Г) Т(Ре) /1, где 1 . - идеал в Т(1е), порожденный всеми элементами хЗу — уЗх, .где х,убей 64.65. Пусть à — векторное пространство над полем Х~ нулевой характеристики. Доказать,что Л(~') 'ХЯ) (1, где 1 идеал в Т(Ъ'), порожденный всеми элементами хЗу+уЗх, где х,р Е 'ь'. 64.66. Пусть ь' — векторное пространство размерности 2п с базисом р1, ..
рам дь ., . еь, над полем Е нулевой характеристики. Доказать, что А-(1с) = Т()'У1 где 1 .— идеал в Т(1')., порожденный всеми элементами р,Зц — о Зр; — б,, р;Зр — р Зр,, цгЗц — щЗо,. 64.67. Пусть (ем ..,, е„) . базис векторного пространства $' над полем К характеристики, отличной от 2, и Л(Ъ') внешняя (или грассманова алгебра) над векторным пространством Р. Доказать, что: а) бгшЛ(1') = 2"; б) если хы...,хажг б Л'(Г) З... СОЛ"(1'), то х1...хл.~г = 0; в) формула у(ее) =~о; е +шб а=1,...,п, 272 Гл. ХЕУ'. Кольца где ог, Е Л~(Ъ') Оу...
С> Л" (ул), задает автоморфизм тогда и только тогда, когда бес(а,.) у': О. 64.68. Пусть Л колыю с единицей. Леаым аннуляторам подмножества Лб С В называется множество (а Е Л ( ат = 0 для всякого т Е И). Доказать,что: а) левый аннулятор любого подмножества является в Л левым идеалолц б) левый аннулятор правого идеала кольца Л, порожденного идемпотентом, также порождается (как левый идеал) некоторым идеглпотентом. 64.69.
Доказать, что сумма левых идеалов, порожденных попарно ортогональными идемпотентами, также порождаотся ндемпотентом. 64.70. Пусть 1ь (й = 1,...,иŠ— множество матриц порядка п над полем К, состоящее из матриц, у которых вне й-го столбца все элементы равны О. Доказать, что: а) Еь левый идеал М„(К); б) 1ь - — минимальный подмодуль в М„(К), рассматриваемый как левый модуль над собой; в) М„(К) = 1~ Оу... Оу1; г) модуль Ма(К) обладает разложением в прямую сумму минимальных подмодулей, отличным от разложения в); д) между двумя этими разложениями модуля Мэ(К) существует модульный изоморфизм.
64.71. Пусть Л -- алгебра всех линейных операторов в конечно- мерном векторном пространстве 1' и,7ь множество всех операторов из В, образ которых лежит в подпространстве Е. Доказать, что ,Еь является правым идеалом в Л. Обратно, пусть У левый идеал в Л. Доказать, что существу.ет, и притом единственное такое подпространство Е в ь', что У = .1в. 64.72. Пусть Л -- алгебра всех линейных операторов в конечно- мерном векторном пространстве Ъ' и 1ь множество всех операторов из В, ядро которых содержит надпространство А.
Доказать, что 1л является левым идеалом в Л,. Обратно, пусть 1 левый идеал в В. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство Ь в 1', что 1 = 1с. 1 61. Идеалы, зомоморфизмкь факторкольиа 273 64.73. Доказать, что множоства матриц 2 ~ ' ) ' Π— 3 (л'у 6 и) ' '1 0 ~л'у являются подмодулями кольца Мз(К) как левого модуля над собой и Мз(К)(1,1. 64.74. Пусть Л = 1, ез 1з разложение кольца с единицей е в прямую сумму двусторонних идеъюв 1с, 1 и е = се + сз, где ес 6 1м ез е 1ег Доказать, что е~ и ез .
единицы колец 1~ и 1ь 64.75. Доказать, что кольца Х„„, и Х ~Р Хо изоморфны тогда и только тогда, когда гп и и взаимно просты. 64 76. Кольцо называется вполне приводимым спросе, если оно является прямой суммой правых идеалов, являюпзихся простыми модулями над этим кольцом. При каких и кольцо вычетов Хо вполне приводимо? 64.77. Доказать,что алгебра всех верхних треугольных матриц порядка и > 2 над полем не является вполне приводимой. 64.78. Доказать, что в коммутативном вполне приводимом кольце с единицей чисяо идемпотентов и число идеалов конечны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
