1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu)

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ Под редакцией А.и. Кострикина ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ РИОСКВА сРиаикО-мАтек1Ати 1ескАя ЯИТЕРАТУ'РА '2001 УДК 512 (075.8) ББК 22.143 3-15 СОСТАВИТЕЛИ: В.А. Артамонов, 1О.А.

Бахтурин, Э.Б. Винберг, Е.С. Голод, В.А. Исковских, А.И. Кострикин, В.Н. Латышев, А.В. Михалев, А.П. Мишина, А.Ю. Ольшанский, А.А. Панчишкин, И.В. Проскуряков, А,Н. Рудаков, Л,А, Скорняков А.Л. Шмелькин, Сборник задач по алгебре / Под, ред. А.И. Кострикина; Учебник для вузов. — Изд. З-е, испр. и доп. Мс ФИЗМАТЛИТ, 2001. 464 с. 18ВМ 5-9221-0020-3.

Задачник составлен применительно к учебнику А.И. Кострикина "Введение в алгебру" (Т. 1. "Основы алгебры", Т. 2. "Линейная алгебра", Т. 3. "Основные структуры алгебры" ) и учебному пособию А.И. Кострикина, Ю.И. Манина "Линейная алгебра и геометрия". Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: "Высшая алгебра" и "Линейная алгебра и геометрия", а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы.

Для студентов первых двух курсов математических факультетов университетов и педагогических институтов. Библиогр. 20 назв. 1ЯВ1ч' 5-9221-0020-3 © шизматлит, 200! ОГЛАВЛЕНИЕ 7 7 8 '1А СТЬ 1 ОСНОВЬ1 АЛГЕБРЬ1 Глава 1. Множества и отображения 3 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа злементов 3 2. л1исло отображений и подмножеств, биномиальныс козффициенты . 8 3.

Перестановки . 8 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукпия 8 5. Суммирование 11 11 урав- 23 23 27 30 39 39 40 45 48 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ' ИЗДАНИЮ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ .... Глава П.

Арифметрические пространства и линейные пения 8 б. Арифметические пространства 3 7. Ранг ллатрицы 8 8. Системы линейных уравнений . Глава 3. Определители . 5 9. Опрсделитечи второго и третьего порядков 5 10. Выражение определителя. Индуктивное определение . 3 11. Основные свойства определителя ..................... 8 12. Разложение определителя по строке и столбцу 8 13.

Определители и злементарные преобразования ....... 3 14. Вычисление определителей специального вида ........ 12 14 19 21 Оглавление 50 51 Глава й1. Многочлены 82 117 15. Определитель произведения матриц 3 16. Дополнительные задачи Глава 11'. Матрицы '3 17. Действия над матрицами . 3 18. Матричные уравнения. Обратная матрица '8 19. Матрицы специального вида . Глава Ъ. Комплексные числа 8 20.

Комплексные числа в алгебраической форме '3 21. Комплексные числа в тригонометрической форме ........... 5 22. Корни нз коьшлексных чисел и многочлены деления круга .. '8 23. Вычисления с помощью комплексных чисел .................. 3 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 3 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 3 26.

Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики . 27. Разложение на неприводимые множители над Е и С 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 3 29. Рациональные дроби 30. Интерполяция 31. Симметрические многочлены и формулы Виста 8 32. Результант и дискриминант 3 33. Распределение корней ЧАСТЫ1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава УП. Векторные пространства 5 34. Понятие векторного пространства. Базисы .

8 35. Подпространства '8 36. Линейные функции и отображения .......... Глава УП1. Билинейные и квадратичные функции 3 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции ........... 3 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции . 56 56 60 65 68 70 72 75 77 82 83 86 87 91 92 93 99 101 104 104 107 114 117 126 Оелиеление 133 156 178 178 181 184 184 геометрия . 191 196 201 208 Глава ХП1. Группы 213 Глава 1Х. Линейные операторы 5 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора 3 40. Собственные векторы,инвариантныеподпространства, корневые подпространства 5 41. ~Карданова форма и ее приложения.

Минимальный многочлен 5 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы Глава Х. Метрические векторные пространства ... 3 43. Геометрия метрических пространств 9 44. Сопряженные н нормальные операторы ...................... 3 45. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 5 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разло- жение Г л а в а Х1. Тензоры 5 47. Основные понятия 9 48.

Симметрические и кососимметрические тензоры Глава ХП. Аффинная, евклидова и проективная 5 49. Аффинные пространства 3 50. Выпуклые множества 9 51. Евклидовы пространства 5 52. Гиперповерхности второго порядка 5 53. Просктивные пространства ЧА СТЫ11 ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИс1ЕСКИЕ СТР5'КТ5'РЫ 3 54. Алгебраические операции. Полугруппы .....................

5 55. Понятие группы. Изоморфиэм групп ........................ 8 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы ... 3 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряженности 9 58. Гомоморфиэмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы центр 9 59. Сиповские подгруппы. Группы малых порядков ............

9 60. Прямые произведения и пряъ~ые суммы. Абелевы группы .. 133 137 143 150 156 164 169 172 213 214 221 227 233 238 241 Оглавление 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения ...... 248 3 62. Разрешимые группы 252 325 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ . Глава Х1Ч. Кольца '3 63. Кольца и алгебры 3 64. Идеалы, гомоморфнзмы, факторкольца .

'3 65. Специальные классы алгебр '3 66. Поля 3 67. Расширения полей. Теория Галуа ........ з 68. Конечные поля Глава ХЪ, Элементы теории представлений '3 69. Представления групп. Основные понятия .................. 3 70.

Представления конечных групп '5 71. Групповые алгебры и модули над ними ................,... 3 72. Характеры представлений . 73. Первонлвальные сведения о представлениях непрерывных групп Приложение. Теоретические сведения 3 1. Аффинная н евклидова геометрия ..... 3 П. Гипреповерхности второго порядка 3 П1.

Проективные пространства '3 1У. Тензоры 8 У. Элементы теории представлений ...., 4 1П. Список определений 5 Ъ'П. Список обозначений 256 256 263 275 281 .. 286 299 302 302 308 313 319 443 443 446 448 449 450 453 460 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ] Вышедшее в 1995 году достаточно большим тиражем второе издание задачника [16] стало уже библиографической редкостью. В 1996 году был опубликован его английский перевод [17]. К сожалению, в [16] содержится достаточно много опечаток.

Надеюсь, что все они устранены в предлагаемом читателю третьем издании, и, разумеется, в нем не возникли новые неточности. В настоящем издании сохранена структура, созданная в [16], устранен ряд опечаток и добавлены новыс задачи, в основном в главы 13 и 14. Третье издание подготовлено В.й. Артамоновыьа с участием авторского коллектива, сотрудников кафедры высшей алгебры Московского государственного университета, а также В.В.

Панкратьева. Публикация настоящего издания приурочена к выходу учебного пособия А. И.Кострикина "Введение в алгебру" в трех частях [3 — 5]. А.И. Костринин ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Поставленные перед сборником задач по алгебре цели, о которых говорилось в предисловии к первому изданию, в основном достигнуты.

Об этом можно судить по поступившим отзывам и по опыту работы членов кафедры [т.е. авторов сборника) со студентами. Вместе с тем, почти сразу жс выявились существенные изъяны первого издания: недостаточное количество задач числового характера; отсутствие ряда типовых задач; неудобная нумерация задач и ответов, близкое соседство разнокалиберных по трудности задач. ~Данное првдисловие подготовлено титульным редактором книги, членом-корреспондентом Российской академии наук, профессором., заведующим кафедрой высшей алгебры Московского государственного университета А.И.Кострикиным. К сожалению, Алексей Иванович умер в сентябре 2000 года, не дождавшись выхода н свет этого издания.

Иэ предисловия к первому ведению Настоящее издание, подготовленное, главным образом, В.А. Артамоновым (но с участием практически тех же авторов), призвано устранить указанные недостатки. Объем сборника существенно увеличился не только за счет стандартных задач. Возник специальныи раздол задач повышенной, а иногда и весьма высокой трудности; эти задачи, частично извлеченные из журнальной и монографической литературы, помогут в определенной степени удовлетворить запросы сильных студентов и подсказать темы курсовых работ. Эти задачи расположены в конце параграфа после знака ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Существующие сборники задач по ку.рсам "Высшей алгебры", "Линейной алгебры и геометрии" (см., например, ~8, 9] и др.) зарекомендовали себя с самой лучшей стороны. Поэтому выпуск еще одного учебного пособия аналогичного жанра нуждается в пояснении.

Составители предлагаемого сборника задач руководствовались простыми соображениями. Изменившаяся за последние годы структура указанных курсов, появление новых раздеюв, упразднение или частичное сокращение ряда традиционных тем все это привело к тому, что преподаватели, ведущие семинарские занятия, вынуждены ориентироваться на большое число разнородных источников. Чтобы исправить сложившееся положение вещей, кафедра высшей алгебры МГУ решила подготовить новый сборник задач, который охватывал бы все разделы трсхсеместрового курса.