1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 10

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам г, удовлетворяющим условиям: а) ф = 1; б) агяе = н,г3; в) ~е~ < 2; г) (е — 1 — г') < 1; д) (е + 3 + 44! < 5; е) 2 < ф < 3, ж) 1 < )е — 24! < 2; з) (аг8е( < х/6; и) )Нее! < 1; к) — 1 < Неге < О; л) (1ше) = 1; м) (Нее+ 1гпе) < 1; н) (е — Ц+ )я+1( = 3; о) )с+2! — (я — 2) = 3; п) )е — 2! = Не е+2; р) о < агб(е — ео) < Д, где — я < о < Д ( х и ео заданное комплексное число. 24.7.

Доказать тождество )г + го)а + )е — ю)~ = 2ф~ + 2(ш( и указать его геометрический смысл. 24.8. Пусть комплексные числа ег, ея, ез соответствуют вершинам параллелограмма Аг, Ая, Аз, Найти число, соответствующее вершине А4, противолежащей Аю 24.9. Найти комцясксные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его другим противоположным вершинам соответствуют числа е и ин з ьв'.

Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 79 24.10. Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного п-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа ге и хь 24.11. Изобразить на плоскости множество точек, соответст- 1+И вуюших комплексным числам х =, где с е К. 1 — сз 24.12. Доказать., что: а) точки плоскости, соответствующие компзексным числам гы хз, гз, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа Лм Лз, Лз, не все равные нулю, такие, что Лзгз+Лзхз+ Лзгз = О, Лз+ Ли+ Лз = О; б) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам си гш гзь лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда хз — гз число является вещественным; зз хз в) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам гы гз, з, хл и не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение гг — гз является вещественным числом. хз хз 24.13.

Изобразить на плоскости множество точек, соответствую— гз щих комплексным чисяам г, удовлетворяющим равенству = Л, гз где гы хз Е С и Л положительное дойствительное число. 24.14. Найти шш(3+ 2з — х) при ~г~ < 1. 24.15. Найти шах)1+ 41 — г! при )х — 10г+ 2( < 1. 24.16. (Лемниската.) Изобразить на плоскости множество точек, соответству.ющих комплексныгл числам г, удовлетворяющим равенству ~хз — Ц = Л. При Л = 1 записать уравнение полученной кривой в полярных координатах. 24.17.

Расизиренной комплексной плоскостью называется комплекснал плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой оо. Доказать, что если (гы гьч гз) и (юы юз, юз) - - две тропки попарно различных точек расширенной комплексной плоскости, то существует дробно-линейное преобразование ах+ Ь ю=, а,б,с,с7ЕС, ас~ — Ьсфб, сг+ д рл. е'. Комплексные числа 80 переводящее первую тройку во вторую.

24.18. Доказать, что если в каждой из двух четверок (еы 22,23, 24) и (4оы ю2, ше, ш4) точек расширенной комплексной плоскости все точки попарно различны, то дробно-линейное преобразование, переводящее одну из этих четверок в другую, существует тогда и только тогда, когда совпадают двойные отношения: 24 — 23 24 — 24 ип — юз ю2 — ю4 22 23 22 24 п2 п3 а2 ю4 24.19. Доказать, что при дробно-линейном преобразовании расширенной комплексной плоскости прямые и окружности переходят в прямые и окружности.

24.20. Доказать, что дробно-линейное преобразование ая+ Ь ш=, ад — Ьс=1, се+ Н переходит вещественную прямую в себя тогда и только тогда, когда Га Ь'4 матрица пропорциональна вещественной матрице. 24.21. Выяснить геометрический смысл дробно-линейного преобразования и = 1/2, 24.22. Выяснить геометрический смысл преобразования комплексной плоскости, заданного формулой ю = 2" (и ) 2). 1( 14 24.23. Доказать, что функция жуковского и = — ~2 + -) 24, 2) 24.24. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее открытую верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга с центром в начале координат, имеет вид 2 — Ь ю = а, )а( = 1, 1шЬ ) О.

2 — Ь' отображает; а) окружность ф б) окружность !2~ в) луч ат82 = 42 в = 1 на отрезок ~ — 1, Ц действительной оси, = Л, Л ~ 1, в эллипс с фокусами — 1, 1; ветвь гиперболы с фокусами — 1, 1. 1 24. Связь комплекснььх чисел с геометрией на плоскости 81 24.25. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг с центром в начале координат на себя, имеет вид и=а -, ~о~=1, Ь<1. 1 — яЬ 24.26. Для каких комплексных чисел а отображение г — > г + о г отображает круг ф ( 1 биективно в себя? а Л.И. Кострнкнн Глава Ъ| МНОГО'тЛЕНЫ З 25.

Деление с остатком и алгоритм Евклида 25.1. Разделить многочлен З" (х) с остатком на многочлсн д(х): а) 1(х) = 2хз — Зхз+ 4хз — 5х+ 6, д(х) = хз — Зх+ 1; б) 1(х) = хз — Зхз — х — 1, д(х) = Зхт — 2х, + 1. 25.2. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) хз + хз — Зхз — 4х — 1 и хз + хз — х — 1; б) та+ 2х' — 4тз — Зхз+8х — 5 и хз+хз — х+1; в) ха+ Зхз — 2х+2 и хе+ха+хз — Зхз+2х — 6; г) хз+хз — 4х+5 и 2хз — хз — 2х+2; д) ха+ з:4 — хз — 2х — 1 и Зхз+2хз+хз+2х — 2; е) ха — 7ял+8хз 7х+7 и Зхз 7хз+Зх 7 ж) хз — 2х~ + хз + 7хз — 12х + 10 и Зх~ — 64хз + 5хз + 2х — 2; ч) хз + Зхз 12тз 52хз — 52х — 12 и зл + Зхз 6тз 22х 12; и) хз + х~ — тз — Зхз — Зх — 1 и х~ — 2хз — хз — 2х + 1; к) х~ — 4хз+ 1 и хз — Зле+ 1; л) х' — 10хз + 1 и х4 — 4тГ2хз + 6хз + 4ьГ2х + 1.

25.3. Найти наибольший общий делитель многочленов 1(х) и д(х) и его линейное выражение через 1(х) и д(х); а) 7'(х) = х" + 2хз — хз — 4х — 2, д(х) = х~+ хз — хз — 2х — 2; б) У(х) — З.з 2тз+х+2,(,) — хл з.+1 25.4. Пусть д(х) -- наибольший общий делитель 1(х) и д(х).

Доказать, что: а) существуют такие многочлены и(х), и(х), что с1е8' и(х) ( с1еи д(х) — с1е8 д(х), 1 Яб. Проппьье и нра иные корни 83 причем еЕ(х) = Е(х)и(х) + д(х)г(х): о) в случае а) имеем также бс8 г(х) < с1е8 Е(х) — с1е84(х); в) многочлены и(х), г(х) из а) определяются однозначно. 25.5. Методом неопределенных коэффициентов подобрать такие многочлены п(х), п(х), что Е(х) и(х) + д(х)п(х) = 1; а) Е(х) = х' — 4хо + 1, д(х) = хз — Зхо + 1; б) Е(х) = хз, д(х) = (1 — х); в) Е(х) = х", д(х) = (1 — х)п.

25.6. Найти такие многочлены и(х), п(х), что х"'и(х) + (1 — х)" п(х) = 1. 25.7. Найти наибольший общий делитель и его выражение через Е н д над полем Ут. а) Е = х'+х'+1, д = х'+х +1; б) 7=х'+хз+х+1, д=х +1; в) Е=х'+х+1, д=хл+хз+1; г) Е=хь+х~+х, д=х~+х+1. 25.8. Выделив кратные неприводимые множители данного многочлсна, разложить его на нсприводимыс множители: а) хо — 15х~ + 8хз + 51хо 72х + 27 б) хь — бхп + 16хо — 24хз + 20х — 8; в) х' — 10хз — 20хв — 15х — 4; г) хо — бхп — 4хз + 9хв + 12х + 4 д) хе — 2хь — тп — 2хз + бхз + 4х + 4; е) хт бхо + бхь 7х4 + 7хз бхо ж) х" + 2х~+ бхе+бх'+ 8х~+ бхз+ 5хв+ 2х+ 1.

25.9. Пусть К. поле, Е 6 К[[х[] и д 6 К[х[. Существуют ли такие г 6 К[х[, 6 6 К[[х[[, что Е = Ьд + г и либо г = О, либо бе8 г < бе8 ду 8 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики 26.1. Разделить много шен Е(х) с остатком на х — хо и вычислить значение Е(хо): а) Е(х) = х~ — 2хз + 4хя — бт + 8 хо = 1; 1 л. 61. Мноеочрены б) ((х) = 2хз — 5хз — 8х, хо = — 3; в) 1(х) = Зтз + хз — 19хз — 13х — 10, хо = 2; г) дх) = х4 — Зхз — 10тз + 22 + 5, то = — 2; д) 1'(х) = х', хо = 1; е) 1(х) = х'+ 2хз — Зхз — 4х+ 1, хо = — 1; ж) дх) = тз — 8хз+ 24хз — 50х+ 90, хо = 2; з) Дх) = т4+ 2?хз — (1+1)хз — Зх+ 7+ 4, хо = — 4',. и) Х(х) = х4+ (3 — 84)х' — (21+ 184)хз — (33 — 204)х-Ь 7+ 184, хо = — 1+ 24. 26.2.

Разложить многочлен 1" (х) по степеням х — хо и найти значения его производных в точке хо.. а) у(з) = хз — 4хз + бхз — 8:е+ 10, хо = 2; б) у(х) х4 3 3 4 2+5 в) у( ) 4+ 4 з + 6 2+ 10 + 20 26.3. Определить кратность корня то многочлена 1(х): а) 1" (х) = хз — 5хз + 7хз — 2тз + 4х — 8, хо = 2; б) ((х) = хо+ 7х4+16хз+ 8хз — 16х — 16, хо = — 2; в) Дх) = Зтз + 2,тз + хз — 10х — 8, хо = — 1; г) ((х) = хз — 6х4+ 2хз+Збхз — 27х — 54, хо = 3.

26.4. При каком значении а многочлен т — ат, — ах+ 1 имеет — 1 . 5 2 корнем не ниже второй кратности? 26.5. При каких а и Ь многочлен ах""з+Ьх" +1 делится на (х — 1)2? 26.6. При каких а и Ь многочлен хз-Ьахз+Ь имеет двойной корень, отличный от нуля? 26.7. Доказать, что многочлены: а) Х2п ПХР-Ы Ь ПХР— 1 б) хор+' — (2п+ 1)х'е' + (2и+ 1)х" — 1; в) (и — 2га)хп пхв — ™ + ахея (и 2га) имеют число 1 тройным корнем. 26.8. Доказать, что многочлен 2 хр 1+ — + — +...+— 1! 2! и! не имеет кратных корней. у ЯО. Пуопиьье и нри иньм корни 26.9. Доказать, что многочлен а1х"' + пахи'+...

+ аьх"ь, п1 < пи « . 'пи, не имеет отличных от нуля корней кратности, большей Й вЂ” 1. 26.10. Определить кратность корня а многочлена (1 (х) + ( (а)) — у(х) + 1(а), где 1(х) некоторый многочлсн. 26.11. Доказать, что над полем нулевой характеристики много- член ((х) делится на свою производную в том и только том случае,. если У(х) = ао(х — хо)". 26.12.