1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 6

О азд ... О 1 О 2 а 2 О Ь О 3 с 4 5 О 0 О 1 11 Основные свойспсва определителл 0 0 — 0 0 а1 0 0 0 0 0 ... — 1 0 0 0 ... а„ 0 10.6. Вычислить определитель, у которого все элементы главной диагонали равны 1, а элементы столбца с номером у' равны ам аз, ..., аэ м пуз м ..., ап, а остальные элементы равны О. 10.7. Пусть ) ев и А — квадратная матрица размера и с элементами апм причем а„, = 1, если в = ьч и а„, = 0 в противном случае. Доказать, что определитель матрицы .4 равен знаку подстановки о.. ~ 11. Основные свойства определителя 11.1.

Как изменится определитель порядка п, если: а) у всех его элементов изменить знак на противоположный; б) каждый его элемент а,я умножить на с' '" (с ~ 0); в) каждый его элемент заменить элементом, симметричным относитыьно побочной диагонали; г) каждый его элемент заменить на симметричный относительно "центра' определитыя; д) его повернуть на 90' вокруг "центра" (против часовой стрыки)? 11.2.

Как изменится определитель порядка и, если: а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение; б) его строки записать в обратном порядке? 11.3. Как изменится определитель, если: а) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец:, б) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы; 10.5. Представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням 1, определитель Гл.

П1. Определиепели в) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку; г) к каждому столбцу, начинал со второго, прибавить предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец? 11.4. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен О. 11.5. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать,что также делится на 17 определитель 2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 2 0 9 2 7 0 0 2 8 9 11.6. Вычислить, не развертывая его, определитель 11.7.

1ему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? 11.8. Доказатье что лк>бой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам ~'-и строки числа Ь, а другой аналогичным образом прибавлением числа -Ь. 11.9. Доказать, что если все элементы определителя порядка п являются дифференцируемыми функциями одного переменного, то производная этого определителя является суммой и определителей Р„где все строки определителя Р„кроме йи, те же, что и в определителе Р, а етя строка составлена из производных элементов етй строки определителя Р.

11.10. Вычислить определители: а1+х х ... х х аз+х ... х а) Ц х+з 2 1 х 1 х у 1 х+я й+з 2 2 г гл. Раглооиецие определителя по строке и столбцу 43 аг+х аг .. а аг аг+х ... аи аг аг ° а +х 1+ хгдг 1+ хгуг ... 1+ хгуп 1 + хгуг 1 + хг уг ° .. 1 + хгуп в) 1+ х„уг 1+ х„дг ... 1+ х„д„ гд(аг) гг(аг) ... гг(а„) Ыаг) Маг) " .

Ыап) г) (л(а~) (п(аг) ... ~п(ал) не выше и — 2 (г = 1,2,...,н); 1+аг+Ьг аг+Ьг аг+Ьг 1+ аг+ Ьг аг +Ь„ аг + Ь„ д) оп+ Ьг а„+Ьг ... 1+а„+Ь„ 1 + хгу1 хгуг ° ° ° хгдп хгуг 1 + хгуг . хгуп е) хоуг хоуг ' ° 1 + хоуп 3 12. Разложение определителя по строке и столбцу 12.1. Разлагал по третьей строке, вычислить определитель — 3 4 1 — 2 3 2 Ь с е( — 1 4 3 12.2. Разлагая по второму столбцу, вычислить определитель а 2 — 1 Ь 4 — 3 с 3 — 2 с1 5 — 4 4 2 4 , где г,(х) многочлен степени Гл. 111. Определители 12.3.

Вычислить определители: х у О ... О О О х у ... О О О О х ... О О б) О О О ... х у у О О ... О х О О О О ао — 1 О О ... О ае х — 1 О ... О ае О х — 1 ... О в) а„.е О О О ... х а„О О О ... О и.'ао (и — 1).'а~ (и — 2)!ае — и х ΠΠ— (и — 1) х аи О г) О О О 1 2 3 — 1 х ΠΠ— 1 г О О О ... х О О О О ... — 1 х О ... х О ...

О 2 1 О О О О х 1 О О О ... О 1 1 ае О О . О О 1 1 ае О ... О О 1 О 1 ао ... О О 1 О О О ... 1 ап и и — 1 и — 2 е) — 1 О х — 1 О х и — 1 и О О О О О ... О О ... Π— 1 ... О ао а~ уо Π— уо О О О О О О ае ... а„о о„ О ... О О хо ... О О О ... х„е О О ... — д„х„ ~ 13. Определители и элементарные преоороаоеания а1 0 ... 0 51 0 аа ... Ьо 0 ао 1 1 1 ... 1 1 а1 0 0 ... 0 1 0 аа 0 ...

0 и) О Ьа д ° аа — 1 0 Ьлп 0 ... 0 аап 1 0 0 0 ... а„ 12.4. Доказать, что (и + 1)-й член п(п+ 1) последовательности чисел Фибоначчи (см. 4.5) равен определителю 1 1 0 0 ... 0 0 — 1 1 1 0 ... 0 0 0 — 1 1 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... — 1 1 порядка и. 3 13.

Определители и элементарные преобразования 13.1. Вычислить определитеяи: — 1 1 3 — 1 — 1 4 0 — 8 б) — 1 0 — 1 8 7 5 2 3 5 7 3 2 2 1 1 2 6 6 5 7 1 2 2 1 7 6 9 1 0 — 2 7 8 9 1 — 1 — 2 — 7 0 — 9 в) г) — 5 — 7 0 0 2 0 6 4 5 — 4 3 0 — 2 2 4 0 — 2 0 6 — 1 10 1 — 2 0 1 5 3 3 1 2 — 1 7 — 3 3 4 2 1 8 3 е) д) 44 40 55 64 21 40 — 20 — 13 24 45 -55 84 1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999 ж) з) 1 — 3 1 — 2 2 3 2 — 5 — 2 10 9 — 8 4 6 — 1 4 2 5 — 4 9 8 8 — 9 4 7 3 5 1 1 — 1 — 3 4 4 2 3 3 2 1 2 1 7 2 1 27 20 13 46 — 2 3 3 — 13 — 2 16 — 5 0 2 0 15 — 5 14 6 3 0 Гл.

111. Определитпели 1/2 1/3 1/2 1 30 20 15 12 20 15 12 15 15 12 15 20 !2 15 20 30 1/3 1/2 1 1/2 к) 1/2 1 1/2 1/3 1 1/2 1/3 1/2 1 10 100 1000 0,1 2 30 400 0 01 3 60 0 0 0,1 4 0 0 0 0,1 0 0 0 0 л) н) 3 2 4 5 4 — 3 2 — 4 5 — 2 — 3 — 7 — 3 4 2 9 о) 6 3 8 — 4 5 6 4 2 0 3 4 2 4 1 — 4 6 р) 13.2. Приведением к треугольному виду- вычистить следующие определители: 1 2 3 ... п 1 77 п ... 77 — 1 0 3 ... п и 2 и, ... и, — 1 — 2 0 ... п; б) и п 3 ... и а) — 1 — 2 — 3 ...

0 1 ... 1 П П 77, ... 'П 1 1 а7 — 57 а7 ае ае а,т ае — 57 а7 ат в) ап — 5п а„а„ 4 — 2 3 2 2 3 0 5 — 2 1 3 — 1 — 6 — 3 10000 100000 5000 60000 1000 15000 100 2000 5 150 0,1 6 4 3 3 5 3 4 3 2 3 2 5 4 2 4 2 3 14 13 3 -13 — 7 — 4 2 10 21 23 0 -23 7 12 — 2 — 6 2 4 6 — 5 — 3 2 4 6 4 5 2 3 3 7,'3. Определители и элементарные преобриэовиния 47 хг арг аез ... агп хг тг агз ., агп Хг Хг ХЗ ...

аэп г) Хг Х2 ХЗ ° Лп 1 2 3 ... п — 2 п — 1 и 2 3 4 ... п — 1 п п 3 4 5 ... п и п д) и и и ... и п и е) ап1 ап2 Егиз апл ° ° 1 1 1 ... 1 — п 1 1 ... — и 1 ж) 1 — п ... 1 1 — п 1 ... 1 1 а Ь ... Ь Ь Ь а ... Ь Ь Ь Ь ... а Ь Ь Ь ... Ь а 1 аг аг ... ап 1 аг 4-Ьг аг ... ап 1 аг аз+ Ь ... ап и) 1 а1 а2 .. а + Ь 13.3. Вычислить опредазитель а а+ 6 а+ 26 ... а+ (и — 2)6 а+ (и — Ц6 а+ (и — 1)6 а а+ 16 ... а+ (и — 3)6 а+ (и — 2)6 а+ 6 а+ 26 а+ 36 ..

а+ (и — 1)6 а 1 х аы 1 агг агг .2 .3 .п Х Х2 Хп-г х тп 2 14. Выннеленне оиределитнелей сттецнальноео вида 49 1 1 1 ... 1 2 22 2п 1 3 32 ... 3" ж) 1 и+ 1 (тв+ 1)2 ... (,и+ 1)и (а — и)" (а — и)и н) и — 1+ и — 2 Х1 1 и — 1+ и — 2 и — 2т2 ат от а2 2 ," 2Ь." и — 2 2 п атт ' 1Ьи-~.т и и — 1 т. ап а„би 11 в — 1 в-~-1 1 1 в — 1 вн1 2 2 и п л) в — 1 .вж1 ри) 1+ Хп 1+ Х2, ... 1+ Х"„ О 1 1 ...

1 1 1 О х ... х х 1 х О ... х х н) 1 х х ... О х 1 х х ... х О у у у ... а 4 Л.И. Кострикин твп ~а 1)тт п 1 ~ 1)тт 1 а а — 1 1 1 1 хт+ 1 Х21 + хт 1 Ха 1+ 2 1+22 1+Х2 1 сп + 1 Хи+Хи 2 1+ х", 1+'е2 а у у Ь' 1 Ьп х х ... х а х ... х у а ... х, Гл.

1П. Определители 50 5 15. Определитель произведения матриц 15.1. Вычислить определитель путем возведения его в квадрат. 15.2. Вычиелить следующие определитечи, представляя их в виде произведений опредечителей: сов(а1 — Д!) сов(О! — ® СОЗ(ОЗ Е 1) СОЗ(О2 !лг) а) СО8(Оп — !21) СО8(ап !!2) ... СОЕ(Оп !лп) 1 — а" Ь" 1 1 1 — а" Ь" 1 и 1 — а! Ь1 1 — а!Ьп б) 1 — опЬ," и 'и 1 — а„Ьп (ао + Ьо)п " (ао + Ьп)" в) (ап + Ьо)п ..

(ап + Ьп)" 8О 81 82 ... 8п 8! 82 ЗЗ еп 82 ЗЗ 84 . . Зп;!-! ГДЕ 81 = Хе + Хгг' +... + ЗЯ„. г) Зп — 1 Чп епт! ° ° ° 82п — 2 15.3. Доказать,что циркулянт а1 а2 аз ... Оп ап а1 аг ... ап ап. ! ап ач ... ап аг аз а4 ... а! равен 1 (81)1 (Ег)... 1 (Еп), где 81, ег, ..., е, — все корни степени п1 и и ! 1 — опЬ1 а Ь вЂ” а — с — 11 — е( с с е1 41 — с а Ь вЂ” Ь а СОЕ(а1 — оп) сов(аг — Д!) 1(т) = а1 + ага + ... + аплп и из единицы. 1 16. Доло.лнисссельные эодопи 15.4. Вычислить определители: 2 л — 1 а ... ал л — 3 а 1 л-1 о Ь с д о Ь с с д п Ь Ь с с! а л — 1 „л — 2 б) аз а' ...

1 я 16. Дополнительные задачи 16.2. Доказать, что если в определителе порядка, и на пересечении некоторых й строк и 1 столбцов стоят элементы, равные нулю, причем й + ! > и, то определитечь равен нулю. 16.3. Пусть Р - определитель порядка и > 1, Р1 и Рэ —. определители, полученные из Р заменой каждого элемента а;. на его алгебраическое дополнение А, для Р, и на его минор Лс'1 для Рэ. Доказать, что Р1 — — Ре. 16.4. Взаимной (или присоединенной) матрипей А для квадратной матрицы 4 размера и называется матрица, в которой на месте 11 стоит алгебраическое дополнение А, Доказать, что: а) (А! = (А!л б) А = (А!л 2А при и > 2 и А = .4 при и = 2.