1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 3

3.15. Доказать, что всякая перестановка сс Е Ян может быть представлена как произведение нескольких сомножителей, равных циклам (1 2) и (1 2 3... и) . 3.16. Доказать, что всякая четная перестановка может быть представлена как: а) произведение тройных циклов; б) произведение циклов вида (123), (124),..., (12п). 3.17. Пусть (,. однин из двучленов х; — х, или х — хо где 1 и 1 произвольные натуральные числа от 1 до н, 1 < 1, и пусть 1(хы..., хи) — произведение всех этих двучленов. Доказать, что для любой перестановки и Е Бн ,7(херр...,х„си~) = (зКпа) 1(хы,..,хсс).

З Л.И. Квстрикин Гя. 1. Множества и отображения 3.18. Пусть Т вЂ” некоторый набор транспозиций из Яо и Г— граф со множеством вершин 1, 2,..., и и множеством ребер Т. Доказать,что: а) всякая перестановка из Я„представляется в виде произведения транспозиций из Т тогда и только тогда, когда граф Г связный; б) при ~Т~ < п — 1 существу ет перестановка из Ян, не представимая в виде произведения транспозиций из набора Т. 3.19.

Пусть задано число 1ь причем 1 < й < Б ~. Доказать,что -~2 в Ян существует перестановка число инверсий в нижней строке которой равно Е 3.20. Найти сумму числа инверсий нижних строк во всех перестановках 3.21. Пусть ~Х~ = щ, ~Ц = и, и Е Ях, т Е Яг. Определим с Е Е Ях як, полагая бл,у) = (п(и),г(у)), т Е Х, р Е К Найти: а) вдп(, если заданы вбпп и едпг; б) длины независимых циклов в разложении перестановки 1, если известны длины Йы..., Йв и 1ы..., 1е независимых пиклов в разложениях перестановок ее и т (с учетом циклов длины 1). Получить отсюда еще одно решение задачи а). 3.22.

Пусть е1 = й(а) декремснт перестановки и. Доказать, что: а) вяни = ( — 1)~; б) перестановку ее можно представить в виде произведения ае транспозиций; в) перестановку и нельзя представить в виде произведения менее, чем еетранспозипий. 3.23. Пусть и Е Ян. Доказать,что о = оД,где о,б Е Я„ и о~ = = Да =е. г 4. Ренуррентлные соотношения 3 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукции 4.1. Пусть те(я) = яг — ая — Ь - .

характеристический многочлен рекуррентного уравнения и(п) = аи(п — Ц + Ьи(п — 2) (и > по + 2). Доказать, что: а) функция и(п) = он является решением данного уравнения, если о — корень 1 (и):, б) функция и(п) = по" является решением данного уравнения, если о двойной корень 1(и); в) если 1 (т) имеет различные ненулевые корни ог и ог, то всякое решение данного уравнения имеет вид и(п) = С1 от + Сгиб, причем постоянные Сг и Сг определяются однозначно; г) если 1(я) имеет двойной корень о, то всякое решение данного уравнения имеет вид и(п) = Стон + Сгпо", причем постоянные Ст и Сг определяются однозначно, если о ф О. 4.2. Решить рекуррентные уравнения (по — — 0): а) и(п) = Зи(п.

— Ц вЂ” 2и(п — 2), и(0) = — 2, и(Ц = 1; б) и(п) = — 2и(п — Ц вЂ” а(п — 2), и(0) = — 1, и(Ц = — 1. 4.3. Доказать, что при а ф 1 пан+' — (и+ 1)ан + 1 1+2а+3аг+ +пан (а Цг 4.4. Вычислить а(0)+и(Ц+., +и(п), где п > 2 и; а) и(п) = 5и(п — Ц вЂ” 4и(п — 2), и(0) = О, а(Ц = 3; б) и(тг) = 2и(п — Ц вЂ” и(тс — 2), и(0) = 1, и(Ц = — 1; в) и(п) = 4и(п — Ц вЂ” 4и(п — 2), и(0) = — 2., а(Ц = О. 4.5. Пусть и(0) = О, и(Ц = 1 и и(п) = и(п — Ц + и(п — 2), где п > > 2. Числа и(п) называются числами Фибоначяи.

Вычислить и(п). Гя. 1. Множества а отображения 20 4.6. Пусть а > — 1. Доказать, что для любого натурального числа п справедливо неравенство (1 + и)" > 1 + пи. 4.7. Доказать, что для лкобого натурального числа и > 2 справедливо неравенство 4" (2п)! < п + 1 (п~)о 4.8. Доказать, что для любого натурального числа п а) (и -ь 1) (п -р 2)... (и + п) = 2" .

1 . 3 . 5..... (2и — 1), б) 1.2+2.3+...+(п — 1).п= е,п — 1)п(и -р 1) 3 ( 1 ) ( 2 ) и ( п + 1 ) ( в + 2 ) ( и + 3 ) 4 1 1 1 1 и г) + + +...+ 4 5 5 . 6 6 . 7 (п + 3)(п + 4) 4(п + 4)' 4 9 [п+ 1)з 2п+ 2' 1 1 1 1 1 1 1 1 е) 1 — — + — — — а-...-р — + 2 3 4 2и — 1 2п и+1 и+2 2п' 1 1 1 1 1 ж) + +...+ 1.2.3 2 3.4 п(и+ 1)(п+ 2) 2 2 (п+ 1)(п+ 2) 4.9. Доказать, что нри любом натуральном и: а) число пз -Ь 5и делится на 6; б) число 2пз + 3п? + 7п давится нв 6; в) число па — п делится на 30; г) число 2зн — 1 делится на 3; д) число 11в"ез + 1 делитсл на 148; е) число по+ (п+ 1)з+ (п-~-2)з делится на 9; ж) ЧИСЛО 72" — 4ао дЕЛИтСя На 33.

4.10. Доказать, что для любого натурального числа п выполнены неравенства п 1 1 1 4.11. Пусть и(п) . - последовательность чисел Фибоначчи. Доказать, что: а) и(1) +... + и(п) = и(п+ 2) — 1; ,7 5. С777п7пирояапис 21 б) и(1) +... + п(п) = и(п)и(п+ 1); в) и(п+ Цз — и(п — 1)1 = и(2п); з Г) и(1) +...

+ и(п)з = — !и(Зп + 2) + ( — 1) п+'би(п — 1) + 5); 10 д) и(7п+ и) = и(7п)и(п — Ц + и(7п+ 1)и(п): е) если п делит т, то и(п) делит и(п7); ж) (и(п), и(7п)) = и((п, п1)). 4.12. Пусть ие(1) = О., и1(1) = 1 и и„ф = 1и„1(1) — и„яЯ. Доказать, что; 7'п — 2'1 . /п — 3'1 (1) ~п — 1 ~п — 3 + ~п — я ) сйп 710 б) если 1 = 2 соя 9, то ип(1) = 7йп 77 В) ип(1)з — ияЯЗ = ип яфи„тя(1)7 ГдЕ я = О, 1,..., и; Г) ип11(1)1 — ип(1)Э = и п1 1(1).

4.13. Пусть Г и сояс77 .-- рациональные числа. Доказать, что соя тя = О, т1/2, х1. 4.14. На сколько частей разбивают плоскость и прямых, находящихся в общем положении (т.е. никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке)? 5. Суммирование 5.1. Найти суммы: а) 1з + 2' + .. + п,'; б) 1' + 2' + .. + и'. 5.2. доказать, что сумма 1" + 21 +... + пя представляет собой мнОГО 1лен От и степени й + 1.

5.3. Пусть Л7(77) = )(1 ~ 77(7) =1)~ число неподвижных элементов ПЕРЕСтаНОВКИ 77 Е Яп И ~ Р7( ))и = у(я)п!, 1 < я < „, пен„ Доказать,что "7(!) = 1, у(я) не зависит от и и -(+И=.(л) ('~ (- )+ ~'~ (- )+. ( ' ~ ()+ ,1/ 1?с/ 7 я — 1/ Гя. А Множества н отображения 5.4. Доказать, что ~1 цри п= 1, У р(() = (О цри и) 1, яо, где р(п) .

-- функция Мебиуса, 5.5. Пусть 1"(и) и у(п) -- две функции И вЂ” в И. Доказать, что эквивалентны равенства: а) д(п) = ~~ )(с1)., 1(п) = ~ ~рЯр( — ); в)н в)п б) р(п) =П~(~) ~(-) =Пр(-",) вр в)п 5.6. Доказать, что функция Эйлера ~р(п) и функция Мебиуса р(п) связаны соотношением р(Д) ~р(п) с1 и в|о Глава П АРИсРМЕТРИхтЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 6. Арифметические пространства 6.1.

Найти линейную комбинацию Зас + 5аа — аз векторов ас = (4,1,3,— 2), аз = (1,2,— 3,2), аз = (16,9,1,— 3). 6.2. Найти вектор х, из уравнений: а) ас + 2аз + Заз + 4х = О, где ас — — (5., — 8, — 1, 2), аз = (2, -1,4., -3), аз = (-3,2, -5,4); б) 3(а~ — х) + 2(аз + х) = 5(аз + х), где ас = (2,5, 1,3), аз = (10, 1, 5, 10), аз = (4, 1, — 1, 1). 6.3. Выяснить, яаяяются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) ас = (1,2,3), ав = (3,6,7): б) ос = (4, — 2, 6), аа = (6, — 3, 9); в) ас = (2, -3, 1), ав = (3., -1, 5), аз = (1, -4, 3); г)ас = (5, 4,.

3)., аз = (3, 3, 2), аз = (8, 1, 3); д) ас = (4, -5, 2, 6), аз = (2, -2, 1, 3), аз = (6, -3, 3, 9), ал = (4, — 1, 5, 6); е) ас = (1, О, О, 2, 5), аз = (О, 1, О, 3, 4), аз = (О, О, 1, 4, 7), ом = (2, — 3,4, 11, 12). 6.4. Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определенных (одних и тех же для всех векторов) местах, и сохраним их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть усслиненной для второй.

24 Гл. 11. Арифл4етричеение прветрантпвп и лине11ные уравнения 6.5. Доказать, что если векторы а1, аз, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы а1 и аз, то а1 и аз различззотся между собой лишь числовым множителем. 6.6. Доказать, что если векторы а1, аз,...,ау линейно независимы, а векторы а1, аз,..., а1, Ь линейно зависимы, то вектор Ь линейно выражается через а1, аз,..., аю 6.7. Пусть задана линейно независимая система векторов а1,...

..., аы Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов; а) Ь1= Заз+ 2аз+ аз+ а4, Ьз = 2а1+ 5аз+ Заз+ 2ал, Ьз = Заз+ 4аз+ 2аз+ Заз,. Заз+ 4аз — 5аз — 2ал+ 4аз, Ьз = 8а1+ 7аз — 2аз + 5ал — 10ав, Ьз = 2а1 — аз + 8аз — а4 + 2аз, а1 52 — а1+а2 Ьз — а1+а2+аз Ь1 = аз+ аз+... + ат; а1., Ьз = а1 + 2аз, Ьз = а1 + 2аз + Заз, Ьь = аз + 2аз + Заз +...

+ Йаь, а1+аз, Ьз — — аз+аз, Ьз =аз+а4, Ья, = ат-1+ а1, Ьу = аь + а1; а1 — аз, Ьз — — аз — аз, Ьз = аз — ав, Ья 1=ау 1 — а1, Ьт=аь — а1. б) Ь1 = в) 51 = с) Ь, = д) Ь1 = е) Ь1 —— 6.8. Даны векторы а1 = (О, 1, О, 2, 0), аз = (7, 4, 1., 8, 3), аз = (О, 3, О, 4, 0), а4 = (1,9,5,7,1), аз = (0,1,0ебе,О). Существуют ли числа с,. такие, что векторы Ь;=~с1а, 1=1 4 = 1,2,3,4,5, линейно независимы? Доказать, что: а) укороченная система любой линейно зависимой системы векторов линейно зависима: б) удлиненная система любой линейно независимой системы векторов линейно независима.

е б. Арнфвеетнчеенне пространства 25 6.9. Найти все значения Л, при жается через векторы аы аз, аз.' а) и1 = (2,3,5), из = (3,7,8), б) ае = (4, 4, 3), и = (7, 2, 1), в) ае = (3, 4, 2), аи = (6, 8, 7), г) а1 = (3,2.5), аз = (2,4,7), д) п1 = (3, 2, 6), аг = (5, 1, 3), которых вектор Ь линейно выра- ав = (1, -6, 1), Ь = (7, -2, Л); аз = (4,1,6), Ь= (5,9,Л); аз = (15,20,11), Ь = (9,12,Л):, аз = (5,6,Л), Ь= (1,3,5); аз = (7, 3, 9), Ь = (Л, 2., 5). 6.10.