1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 9

Доказать, что: а) если ]е] < 1, то ]ев — 2 + 4] < 3; б) если ]е] ( 2, то 1 ( ]зз — 5] ( 9; в) если ]з] < 1/2, то ]11+ 2)22 + 22] < 3/4. 21.6. Доказать неравенство ]24 — 22] < ]]е4] — ]22]] + ппп(]24], ]22]) ] аг8 з4 — аг8 зг]. В каком случае это неравенство обращается в равенство? я ей Триеонометри лесная форма 71 21.7. Доказать, что если и = /Б~яя, то яя + яя ~ яя + яя 1 М = — ъ% ~(+ +ъ% 21.8. Доказать формулу Муавра ~г(соя р+1я1пр)] = гн(соя ир+1сбпир) для целых и ~ О.

21.9. При и, Е К вычислить выражения: 1 — 1 АЗ а) (1+е)" /1 — 118оз " в) ~ (, г) (1+сояр+гя1пр)". Ь+- -(: 21.10. Доказать, что если я+я Я = 2 совр, то ян+г '" = 2сояяир, где и б К. 21.11. Представить в виде многочяенов от яш х и соя х функции: а) яш4х; б) соя4х; в) сбп5х; г) соя5х. 21.12. Доказать равенства: ~п/2) а) сояих= ~ ( — 1)'~ ) соя" "х.я1п х; ~,2й/ я=о Цн-0/21 и б) ябпих = ~ ( — 1)в соя" Яь 'х ябпзь+'х. 1,2й+ 1,/ 21.13. Выразить через первые степени синуса и косинуса аргументов, кратных х, функции: а) яш х; б) совах; в) яшах; г) совах.

21.14. Доказать равенства 1 /2тЛ 2Я вЂ” ' ~ ~,й( 2 ~, т,/ я=.о 1 /2т+ 11 б) соя н х = 2 Е ) ) соя(2т+ 1 — 2й)х; ь=-о рл. )г. Комплексные числа в) ншг™ т = ( — 1)ь соз(2т — 2й)т + . и т) ( — 1) „г'2т+1) ( Ц ~ ) вш(2т+ 1 — 2й)и в==о 6 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга 22.1. Доказать, что если комплексное чисто г является одним из корней степени н из числа вещественного а, то и сопряженное число г является одним из корней степени о из а.

22.2. Доказать, что если ',~г = (е), гг,..., гн ), то чгг = (г), ~г, сен) 22.3. Какие из множеств ',Я содержат хотя бы одно вещественное числоу 22.4. Пусть г и ю -- комплексные числа. Доказать равенства': а) "„ГРаю ю= з фи; б) ",/ — япю = — г ",))ю; в) С)зю = и, б)ю, где и одно из значений ",)ж 22.5. Доказать, что объединение множеств с)г и ф' — н есть '"' г множество М нг. 22.6. Верно ли равенство "4)Р = чГз (н ) 1)2 22.7. Вычислить: ) ее; б) '~/512(! — ЫЗ); ) е2 2)1 — )); г)Л; д)Л;. е)Л; ж) Кг; з) ~4; и) 4'64; «) Ю6: .) Š— 2; ) еее) — 8: ) ))-ее)1 — и')), ) Ете ~, ) ' 2 — 2); )1с:,„",, ) ' Множество ел есть по опрелелснию (ла а Е А).

у лв. Извлечение корней 73 т) у) 22.8. Найти двумя способами корни степени разить в радикалах: 2л. 2к 4и а) сов —.; б) сйп —; в) сов —; г) з 5 ' 22.9. Решить уравнения: а) ( +1)п+~ цп О. б) ~ +1)п в) (я+ 1)п + (е — в)" = О. 5 из единицы и вы- 4и яп1 —. — 1)п =0 22.11. Найти произведение всех корней степени и, из единицы. 2кк, 2кЪ, 22.12. Пусть ея = соз +1ийп (О < к < п).

Доказать, что: ле и а) ъ'Т= Ело,еы...,е„,~,: б) ел =в~~ (0(9 <в); ( еььь если й+ I < и, в) лье~= ' ' (0<1<в, 0<1<в); ~ еьм „, если 9+1>п г) множество оп корней степени и из единицы является цикли- ческой группой порядка п относительно умножения; д) всякая циклическая группа порядка п, изоморфна группе ТЛп.

22.13. Доказать, что: а) если числа г и в взаимно просты и и" = и" = 1, то и = 1; б) если е~ -" наибольший общий делитель чисел г и е, то ив П Св = = В об в) если числа г и в взаимно просты, то всякий корень из единицы степени гв однозначно представляется в виде произведения корня степени г на корень степени в.

22.14. Доказать, что следующие утверждения равносильны: а) е является первообразным корнем из единицы степени и; б) порядок е в группе 17п равен и; в) л является порождающим злементом группы С„. 22.15. Доказать, что если е является первообразным корнем степени и из единицы, то е также является первообразным корнем степени и из единицы. 22.10.

Выразить в радикалах вещественные и мнимые части корней из единицы степеней 2, 3., 4, 6, 8, 12. рл. е'. Комплексные ннели 22.16. Доказать, что если числа г и я взаимно просты, то е является первообразным корнем степени гя из единицы тогда и только тогда, когда е является произведением первообразного корня степени г и первообразного корня степени а.

22.17. а) Пусть е --. первообразный корень п-й степени из 1. Вычислить 1+ 2е+ Зе' +... + пз" б) Пусть е первообразный корень степени 2п из 1. Вычислить 1+я+...+е" в) Пусть я корень из 1 и я" ~ зы ~ 1 = О. Найти и и пь 22.18. Доказать, что: а) число первообразных корней степени п из единицы равно р(п) (см.

1.4); б) если числа т и п взаимно просты, то р(тп) = фпь)фп). 22.19. Доказать, что если з первообразный корень нечетной степени и из единицы, то — е - . первообразный корень степени 2п. 22.20. Обозначим через п(п) сумму всех первообразных корней степени и из единицы. Доказать, что: а) п(1) = 1; б) если и > 1, то 2 ее(е~) = О; л)н в) п(р) = — 1, если р —.- простое число; г) а(у~) = О, если р простое число, й > 1; д) а(ге) = пЯ п(е), если числа г и е взаимно просты; е) функция ее(п) совпадает с функцией Мебиуса р(п).

22.21. Пусть д -- (положительный) наибольший обший делитель целого числа е и натурального числа и, ее первообразный корень степени и из единицы (е = 1, 2,..., р(п)). Доказать равенство Е яу. Вмчисленил с иомощьсо комплексных чисел 2+1 22.22.

Является ли число — корнем некоторой степени из еди- 2 — с ницыу 22.23. Найти многочлены деления крута (круговые многочлены) Ф„(х) для и, равного: а) 1; б) 2; в) 3: г) 4; д) 6; е) !2; ж) р, где р простое число; з) Р, где р -- простое число й ) 1. 22.24. Доказать следуюшие свойства круговых многочленов; а) Пфл(х) = хи — 1:, И(н б) Фз„(х) = Ф„( — х) (п -- нечетное число, большее 1); в) Ф„(х) = П(х — 1)Р~"!'о; е~~н г) если к делится на любой простой делитель числа п, то Ф (. ) = Фь(х"~ь); д) если п делитсл на простое число р и не делится на р'., то Ф„(х) = Ф„(р(хо) (Ф„(р(х)) 22.25. Найти круговые многочлены для и, равного 10, 14, 15, 30, 36, 100, 216, 288, 1000.

22.26. Доказать, что у всякого кругового многочлена; а) все коэффициенты . - целые числа; б) старший коэффициент равен 1; в) свободный член равен — 1 при п = 1 и равен 1 при и > 1. 22. 27. Найти сумму. коэффициентов кругового многочлена Фн (х) . 3 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 23.1. Вычислить суммы: а) 1 — + — +..д б) — + „— +...; Гл. )г. Комплексные числа 76 в) 1 + + + .. д г) + „ + + ... 23.2.

Доказать равенства: е) хват) — 1 = (х — 1) Ц (х~ Ьи) и — 1 ) *'"-'= (.2-1) П (" 1=.1 — Г й т)Г)1 з) Ц вгп — =— 2п 2" — 1' Ь=1 )гй — 2х соя, + 1); 2п+ 1 ггй — 2х сов — + 1); п гй зг)211 + 1 и) Цвш 2п+ 1 2и Ь=1 23.3.

Решить уравнение )си)г )си)г 2 соя)р+ 1 ) сов()р+о)х+ 1 ) соя()р+ 2о)х +... l)1Ч) ... + ~ ) сов(~р+ по)хи = О. ~4 23.4. Доказать, нто )1+()+() '-...= — (2"-';ея — ), б) + + +...= — 2и+2соя Вги с,'л СОВ ) а) совх+сов2х+... +сових = 2,, 2 (х ~ 2йгг, й Е У); яш —,', я!и —,л я1п 2О б) яшх+вш22+... + яппх = 2, 2 (х ф-'2йгг, й Е У); япА 2 )г Згг 5)г (2и — 1) гг в) сов — + сов — + сов — +... + соя =О; и П 11 П )г, Згг, 5гг, (2п — 1) г г) вш — +яш — +вш — +...+вш =О; и и и п и — 1 Д) — ~(Х + ЯЬУ)и = Хи + Уи (ЯО, Яг,..., Яи 1 . — КОРНИ СТЕПЕНИ И 11 1=О из единицы); в' 2в.

Связь комплексных чисел с геометриеи нв плоскости 77 в) + „+ +... = — 2" +2сов т «з г т(т — 3 г) 2совтх=(2совх)'" — — (2совх)о' г+ (2совх) л+... 1 1 2 ,„т(т — к — 1)... (т — 2к + Ц ...+( — 1)" й! (2совх) гь+... 23.5. Найти суммы а) совх+ сов2х+...+ сов(п+1)х; /зй /и Ч б) вгпх+ (/ яп2х+... + ( ( яп(п+ 1)х; Ы (ь п( в) вшг х + в1пг Зх +... + яп (2п — 1)х: г) совх+ 2 сов 2х+ ЗсовЗх+...

+ п сов пх,: д) в|ах+ 2яп2х+ 3япЗх+... + пвшпх. 23.6. Доказать, что; и сов(п+ 1)хвйьпх а) совг х -~- совг 2т, +... + совг пх = — + 2 2вшх п сов(п+1)хвшпг б) япг х+ япг 2х+... + вшг пх = —— 2 2япх 23.7. Доказать,что для нечетного натурального числа т Яппьх („...,., тт зг г г 2пУ'~ Р2 — 17 и япх г<з<( — Пзг 3 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 24.1. Изобразить на плоскости точки, .соответствующие числам 5, — 2, — Зг, х1 х гизЗ. 24.2. Найти комплексные числа, соответствующие: а) вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, параллельными осли координат; б) вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, параллельной оси координат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1; 1'л.

1г. Комплексные числа в) вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2+ г'АЗ, стороной, параллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2; г) вершинам правильного и;угольника с центром в начале координат, одной из вершин которого является 1. 24.3. Указать геометрический смысл выражения ~ег — ез~, где ег и ез заданные комплексные числа. ег ез 24.4. Указать геометрический смысл числа агя, где еа — ез ем ею ез --- различные комплексные числа. 24.5. Как расположены на плоскости точки, соответствующие; а) комплексным числам ег, ею ез,. для которых е~ + ее -е ез = О, )ег) = )еа( = )ез! ф О; б) комплексным числам ег, еа, ез, я,г, длл которых ег + ее + ез + е4 = О, )ег! = (ез( = )ез! = (е4( г- О; 24.6.