1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 2

Труд с самого начала приобрел коллективный характер. Сотрудник, ответственный за ту или иную главу, придерживался выработанного опытным путем критерия полноты и разнообразия материала, проявляя разумную умеренность в его подборе. Фактически это означало определенное сокращение количества шаблонных численных примеров и выделение в массиве задач наиболее характерных представителей. Таким образом, в сборник вошли в основном те задачи, которые реально предлагались студентам. Сравнительно небольшую долю, особенно в первом семестре, составляют задачи повышенной трудности.

Все они снабжены указаниями. Роль таких задач, однако, возрастает к концу курса. Наиболее трудные задачи могут предлагаться на дополнительных занятиях по а.тгебре. Количество теоретических пояснений сведено к минимуму, однако соображения автономности играли все более значительную роль по Список литературе~ мере продвижения к дополнительным главам алгебры.

При составлении настоящего пособия было использовано значительное число задач из сборников, указанных в списке литературы. В копне книги приводятся список обозначений и определения основных понятий, используемых в книге, к которым следует обращаться в случае затруднений при понимании у.словия задачи. Определения, отсутствующие в последнем списке, можно найти в разделе 'Теоретические сведения", где кратко изяожены основные утверждения, необходимые для решения задач.

Авторы выражают благодарность В.В. Батыреву, много поработавшему над текстом сборника. Особая благодарность сотрудникам кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского университета и кафедры алгебры и математической логики Киевского университета. Они провели тщательное репензирование сборника и сделали большое число конкретных замечаний. Авторы благодарны редактору книги Г.В. Дорофееву, который обратил самое серьезное внимание на принципы упорядочения материала и унификацию обозначений, устранив излишний параллелизм, о котором говорилось выше. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.

Квстрикин А.И. Введение в алгебру. Ыл Наука, 1977. 2. Квстрикин А.И., Минин КУ.И. Линейная алгебра н геометрия. Мл Наука, 1986. 3. Кввтрвкин А.И. Введение в алгебру. Ч. 1. --- Мл Физматлит, 1999. 4. Квстрикин А.И. Введение в алгебру. Ч. П. Мл Физматлит, 1999. 5. Квстрикин А.И. Введение в алгебру. Ч, П1. Мл Физматлит, 2000.

6. Кррвш А.Г. Курс высшей алгебры. — Мл Наука, 1971. 7. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. — Мл Наука, 1980. 8. Фиддввв Д.К., Симинский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. — - Мл Наука, 1975. 9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Мл Лаборатория базовых знаний., 1999. 10. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре.

- Мл Наука, 1975. 11. Цубврбиллвр О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. " Мл Наука, 1970. 12. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. Мл Наука, 1989. 10 Список литературы 13. Ва деви Еыд Ро!упош!а!в. — 57Х.: Врг!пбег-Ъ'ет!а8, 1989. 14. Датьпиев В.Н. Выпуклые многогранники и линейное программирование. Ульяновск: Филиал МГУ, 1992. 15. Сборник задач по алгебре / Под. ред. А.И. Кострикина. Мз Наука, 1987. 16. Сборник задач по алгебре / Под.

ред, А.И. Кострикина. -"- Мг Факториал, 1995. 17. Ехегскев ш а!8сЬга: а со1!ес1юп о1 ехегс!вев !и а18еЬга, !!пеаг а18еЬга апс1 беошеьгу / Ее!. А. 1. Ков1гйш. -- Согс!оп апе! ВгеасЬ РпЫ., 1996. 18. Дыбкова Е.В., Жуков И.Б., Семенов А.А., Щмидт Р.А. Задачи по алгебре. Основы теории групп. С.-Пбг Изд-во С.-Пб. ун-та, 1996. 19. Генералов А.И., Дыбкова Е.В., Жуков И.Б., Меркурьев А.С., Семез нов А.А., Щмидга Р.А. Задачи по алгебре. Основы теории колеи.-- С.

Пбз Изд во С.-Пб. уп та, 1998. 20. Винберг Э.Б. Курс алгебры. Мг Факториал, 2001. ЧАСТЬ ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Глава 1 МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ~ 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов 1.1. Пусть А, (» Е 1), В подмножества в Х. Доказать равенства: ) ( Ц А,) и в = Д <А, е! В); б) ( Й А,) е» в = Д1.4, е! В); !Е1 1Е1 1Е! ~Е! ) ОА.,=ЙА,; ) ПА,=ЦА1. ~е! ~е ! 1Е1 ~Е! 1.2.

Пусть Х -" произвольное множество, 2» "- множество всех его подмножеств. Доказать, что операция»."» симметрической разНОСП1и А !Л В = 1А П В) с! 1А П В) на множестве 2х обладает следующими свойствами: а) Ас»В = В».'» А; б) 1АЬВ)»ЛС = АЬ1В»ЛС); в) АЛО =А; г) для любого подмножества А С Х существует подмножество В С Л такое, что 4 с» В = а; д) 1А Л В) Г~ С = 1А еУ В) Ь 1А и С); е) А!'.»В = 1Аи В) »,1АгуВ); ж) А !.'» В = 1А ~ В) Е! 1В ~ А). 1.3. Доказать, что дяя любых конечных множеств А1,..., А„ Гя. 1.

Мнояеееепои и огиоориокения о Л 0А =к~А*! — Е !АДА~+" 1=1 о=1 1<ай<он ... + ( — 1)' ' ~ ~А„П .. ОА,~+ .. 1<в«.. а<о ... + (-1) н-' ~А, О... и А„~. 1.4. Доказать, что для любого натурального числа п > 1 до(п) = и 1 — — 1 — — ... 1 —— где ры рз, ., ., ре все различные простые делители числа и, у(п) функция Эйяери 1.5. Какое максимальное число подмножеств можно образовать из данных п подмножеств фиксированного множества с помощьк> операций пересечения. объединения и дополнения? 1.6.

Пусть А, В, С - — подмножества в некотором множестве. Доказать, что А П В С С тогда и только тогда, когда А С В 0 С. 2 2. 'Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты 2.1. Пусть Х --. множество людей в некотором помещении, У -- множество стульев в этом помещении и пусть: а) каждому человеку поставлен в соответствие стул, на котором он сидит; б) каждому сгулу поставлен в соответствие человек, который на нем сидит. В каких случаях а) и б) определяют отображения Х вЂ” ~ У и У вЂ” у Х? В каких случаях эти отображения инъективны, сюръективны, биективны? 2.2. Доказать,что если множество Х бесконечно, а его подмножество У конечно, то существует биективное отображение ХУ,У вЂ” у Х.

2.3. Пусть 1: Х вЂ” ~ У отображение. Отображение д: У вЂ” > — у Х называется левым (соответственно правым) обратным для 1, если д о 1' = 1х (соответственно 1" о д = 1г). Доказать, что: а) отображение 1' инъективно в том и только том случае, если оно обладает левым обратным; Э О. Число обпобралсений и биномиильные ноэя)фиииенты 13 б) отображение у сюръсктивно в том и только том случае, если оно обладает правым обратным. 2.4. Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества Х во множество 10,1) и ьиножеством 2» (сьь 1.2) и найти ~2»(, если ~Х~ = п. 2.5.

Пусть |Х! = от, )1 ( = и. Найти число: а) отображений; б) инъективных отображений; в) биективных отображении; г) сюръективных отображений; множества Х во множество У. / п) 2.6. Пусть ~Л( = и. Найти число ~ ) всех подмножеств в .Х, )»т / состоящих из т элементов (это число называется также числом сочетаний иэ п элементов во т и часто обозначается символом С,„"'). 2.7. Пусть |Х~ = и. Найти число всех подмножеств в Х, состоящих из четного числа элементов. 2.8.

Доказать формулу бинома Ньютона и (а+6)"=~~, а'о" ', пЕ)й г,~ б=о 2.9. Пусть ~Х~ = и и ти, +... + ть = в )пье ) О). Найти число с о упорядоченных разбиений множества Х на Й подмнопьм...,ть,/ жеств, содержащих соответственно т),..., ьвь элементов. 2.10. Доказать равенства а) (т1 + ...-Ь ль)" = )тб,ть) т)-)-.:)-тб=п, т,>0 б) )бпн...,бпб) тбк.:~-)ббь=п, тпво 2.11.

Доказать равенства ')( )=) ), 'б)~()=2"; Гя. А Множеетви и отображения ) ~2- ) (") = .)Е)-1) (")=, .»; ' ". (;)(-'-.) =('-") ж) + =, 1(й(п; 7'7+ й з) ~ 1 ~(1'+2'+... +72 ) = (и+ 1)~~~ — (и, + 1); к 1+1 72+1 в+1+1 к) ~ " р(р+1)" (р+ ' — 1) (р+1)" (р+ ) 2=.0 Ф')( ')=(.,') ' "" )2 1()= 22' 2.12.

а(оказать, что х'н + х "' является многочленом степени т от х+х 3 3. Перестановки 3.1. Перемножить перестановки в указанном и обратном поряд- ках: ) (,' ) (,' ) (1 ) (,' 2 4)' 3 4 5 64) 1 5 6 3)' 4 6) 3 4 5 6') 4 2 1 5)' 2 3 4 5 2 3 4 5 6 4 5 2 2 3 4 5') 1 3 5 4) 2 3 4 5 5 1 6 2 4) (6 6 2.13. Найти число разбиений числа п в упорядоченную сумму из Й неотрицательных слагаемых. я Х Перестановки 15 3.2. Записать в виде произведения независимых циклов перестановки: 3.3. Записать в виде таблицы перестановки: а) (136)(247)(5); б) (1654237); в) (135...2п — 1)(246...2п).

3.4. Перемножить перестановки: а) ((1 3 5) (2 4 6 7)) ((1 4 7) (2 3 о 6)); б) ((1 3) (5 7) (2 4 6)) ((1 3 5) (2 4) (6 7)). 3.5. Определить число инверсий в последовательностях: а) 2, 3, 5, 4, 1; б) 6, 3, 1, 2, 5, 4: в) 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8; г) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2; д) 1,3,5,7,...,2п — 1,2,4,6,8,...,2п; е) 2,4,6,...,2и,1,3,5,...,2и — 1: ж) 15 1+ 1,...,п,1,2,...,Й вЂ” 1; з) ь,к+ 1,...,и, Й вЂ” 1,Й вЂ” 2,...,2,1.

3.6. Определить четность перестановок; (1 2 3 4 5 6 7) ) (5 6 4 7 2 1 3)' (1 2 3 4 5 6 7 8') (3 5 2 1 6 4 8 7)' а) 3 3 7 4 3 2 1 ) („,', 3 4 5 6 7) 1 7 3 6 2)' 3 4 5 6 7~1 6 7 5 2 4)' 3 4 5 6 7') 6 5 1 2 4)' 3 4 5 6 7) 6 7 1 5 2)' 3 4 ... 2п — 1 2п 4 3 ... 2п 2п — 1)' 2 ... и и+1 п+2 ... 2и) и+2 ... 2п 1 2 ... п)' Гя.

А Множества и отображения 16 ( 3 5 6 4 2 1 7'~ ) (2 4 1 7 6 5 3)' (2 7 5 4 8 3 6 1'1 ) (3 5 8 7 2 6 1 4/' 2 4 6 ... 1 3 5 1 2 3 ................,. п — 1 и ж) 1 2 3 ... и — 1 п( и, и,— 1 и — 2 ... 2 1/' 1 2 3 4 ... и — 1 и 3.7. Определить четкость перестановок: а) (123...Й); б) (г~ 1а, .. ?ь); в) (1473)(67248)(32); г) (?а 1з)(1з 14%л1в) .

(1аь — в 1зл); д) (1в...1р)(1) ...,1„)(Й~...Й,)(1~...1,). 3.8. Число инверсий в нижней строке перестановки (' 'а:.) равно Й. Найти число инверсий в нижней строке перестановки с 1 2 по по в ... п~/ 3.9. Рассматриваются перестановки степени и. а) В какой строке (им ...,и,„) число инверсий наибольшее? б) Сколько инверсий образует число 1, стоящее в нижней строке на Й-и месте? в) Сколько инверсий образует число:и, стоящее в нижней строке на Й-и месте? е 3.

Перееснанввки 17 3.10. Пусть в последовательности аы..., а„чисел 1, 2,..., а поре- ставлены два числа, д и д -Р 1, где 1 < с7 < и — 1. Доказать, что число инверсий изменится на х1. 3.11. Пусть задана перестановка причем число инверсий в нижней строке равно Й. Доказать,что: а) о является произвсденисм Й транспозиций вида (с7,д + 1), где 1<у<в †; б) и нельзя представить в видо произведсния менсе Й транспозипий указанного вида. 3.12.

Пусть я, и Е Яи, причем и являетсж циклом длины Й. Доказать, что ноя ' также является циклом длины Й. 3.13. Выяснить, как изменяется разложение перестановки в произведение независимых пиклов при умножении ес на некоторую транспозицию. Что происходит при этом с декрементом перестановки.' 3.14. Доказать, что всякая перестановка и Е Би может быть представлена как произведение транспозипий вида; а) (1 2),(1 3),...,(1,п); б) (12),(23),...,(и — 1,и).