1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 7

16.5. ( Формула Бине--Коши.) Пусть А = (олэ), В = (Ьсэ) — . матрицы порядка т х и, А„;„, и ВН 1 — ьлиноры порядка т матриц А и В соответственно, составленные из столбцов с номерами 11,..., 1 сс = ~с ааЬы Ь вЂ” — 1 С = (ссэ.), г = 1,..., т; 1 = 1,..., т. Д 41с,,с Всс, л с1ееС = 1<сс<еэ«..Л <л если т < и, и с1ес С = О, если ьч > и,. 16.1. Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного: а) из чисел О и 1; б) из чисел 1 и — 1.

Гл. 111. Определитпели 16.6. Пусть А и В матрицы порядков р х п и и, х й соот (тт ... тит'1 /тт ... тт 'т встственно, А ~, ~, В ~ ~ миноры матриц А и В Ь (' Ь ( стоящие на ттересечениях строк с номерами тт,...,т и столбпов с номерами дм ..,, т', и С = АВ. Доказать, что л(. ' '. )е(.

' . ), л О, еслит)п. 16.7. Доказать, что сумма главных миноров порядка й матрицы А 'А равна ссумлте квадратов всех миноров порядка й матрицы А. 16.8. Пусть Доказать, что аы ... ат хе и = 0л — ~ ~Абллх, аит ° аип тси т, ~.=1 т1 . еп 16.9. Доказать, что сумма алгебраических дополнений элементов строки определителя не изменится, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число. 16.10. Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю. 16.11.

Пусть с('" ,' )= атт ... атп аит ... ап„ ам ... ати В= апт ° апп Ьы ... Ь, 1 Ьл ... Ьь у" |6. Дополнип|ельные эадачи а| |б|| ... а|пЬ|| а||Ь! | ... а|пЬьз ... а||Ь|ь ... а|„Ь|ь оп,Ь„... ап ды ап|д|з ... аппЬ|в ... ап,б|ь ... аппб,ь амЬы ... а|оды а||дев ... амбьэ ... анды ... а|пЬьь ап,Ьь, ... а„пЬы ап|Ььв ... ап,Ььз ... ап,бьь ... аппбеь где Р (определитель порядка пй) .- кронекеровское произведение определителей А и В. Доказать, что Р = л1|В", 16.12. Континуаннэой называется определитель а| 1 О О ... ΠΠ— 1 аэ 1 О ... ΠΠΠ— 1 аэ 1 ...

О О (а| аэ... ап) = О О О О ... — 1 ап а) Выразить (а|аз... ап) в виде многочлсна от а|, ..., ап. б) Написать разложение континуанты по первым б строкам. в) Установитыледую|цую связь континуанты с непрерывными дробямиЖ (а|ау... ап) =а|+ (аэаз ° ап) аз+ 1 аэ+" + 1 а, |+— ап 16.13. Доказать, что ее|ли А, В, С, Р --- квадратные матрицы порядка п и С |Р = Р С, то — )4 Р— В С(. С Р 16.14. Доказать, что если А, В, С, Р— квадратичные формы порядка п, причем С или Р ..

невырожденная матрипа, и СР = РС, то = !АР— ВС!. Гл. Ш. Определители сЕ А 16.15. Вычислить определитель, где а 1 О О ... О 1 а 1 О ... О О 1 а 1 ... О О О О О ... а 16.16. Доказать, что определитель, получаюшийса при вычеркивании й-го столбца в матрице //де -1й 7 равен 16.17. Доказать, что =О, йеМ О О О 1 2! 16.18.

( Тозеедестео Эйлера.) Перемножив матрицы Х1 Х2 ХЗ Х2 Х1 Х4 ХЗ Х4 -Х1 Х4 ХЗ Х'7 Х1 доказать,что (х1+ х2+ хз + х4)(У1+ Уз+ 7УЗ + У4) = (х1У1 + х2У2 + хзУз + х4У4) + (х1У2 х2У1 хзУ4 + х4Уз) + + (х1Уз + х2У4 хзУ1 х4У2) + (х1У4 х2Уз + хзУ2 х4У1) 1 1 1 1 2! 3! 4! (2й+ 2)! 1 1 1 2! 3! (2й + 1)! 1 1 О 1 2! (2й)! У1 Уз Уз У4 Уз Уз У4 -У1 -У4 Уз У4 — У1 — Уз -Уз Уз -У1 эь 16. донолнипьельньье эадаии 16.19. Вычислить определитель матрицы (ао) порядка п, где: а) а;. равно 1, если ~', делит у, и равно 0 в противоположном случае; б) ао равно числу общих делителей чисел 1 и эй 16.20. Доказать, что определитель матрицы (ейэ) порядка п, где 4 — наибольший общий делитель чисел ~', и э', равен ьэ(1) ьэ(2)... ьо(п).

16.21. Пусть х1... х„, у1... д„числа, причем хлр ф 1 для всех ~',д = 1,...,п, ел(хы...,хп), Ь(уы...,у„) определители Вандермонда. Доказать,что и ~1(Ъ ", )~1(ры ",Ю ) =бес ) П(1 — х,рэ). ) ьэ=ц.,о ед=ь 3 17. Действия над матрицами 17.1. Перемножить матрицы О 1 О 1 б) сова — апа~ (сов,9 — в1пЯ выло сова) 1в1пд сов~1( д) 313 2 1 1 О О 1 1 О О 1 2 О О 1 3 О О О О 3 1 О О 1 2 О О 1 1 ΠΠ— 3 1 17.2. Выполнить действия: 1 2 О О 2 1 О О О О 1 3 О О 3 1 Глава 1У МАТРИЦЫ 1 1 О О 1 1 О О О О 1 — 1 ΠΠ— 1 1 у 17. Действия иад матрицами 57 а) 0 1 2 1 + О 5-З 3 0 2 0 — 4 6 1 2О '~ ~+ О1О 1 З О 17.3.

Вычистить: а) 2 1 — 2 1 1 1 1 в) 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 17.4. Вычислить 17.5. Вычислить значение многочлена 1(т) от матрицы А: А= 0 2 0 4= 1 2 1 а) 11т) = тз — 2т" + 1, б) Ди) = из — Зт+ 2 17.6. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то п ~А+ В)и = У ~".1 А'Ва-'. 1/ ~=0 Привести пример двух матриц А, В, для которых зта формула неверна. О 1 О о о о о о о о о о о с) 0 О соби 81пй 5) Л 1 5 3 1 1 — 5 2 0 о о о о' О 2 О ооз о о о Га.

1К Мап~ривы 17.7. Вычислить степени квадратной матрицы О 1 О ... 0 О 0 1 ... О О 0 0 ... 1 О О О ... 0 17.8. Пусть задана квадратная матрица Л 1 О ... 0 О 0 Л 1 ... 0 О О О О ... Л 1 0 О О ... 0 Л размера и. Доказать, что если 1 (т) --. многочлен, то 1(Л) Г'(Л) ул(Л) ~~" -"~(Л) 1. '2! (и — 2)! Ую(Л) У(и — 3)(Л) О 1(Л) 1! (и — 3)! ( ~ > ( Л ) (в — 1)! у( и — з) (Л) (н — 2)! УЮ= О О 0 ... 1(Л) ~'(Л) О О 0 ... 0 1(Л) О 1 2 а)А=; б)А= О О 6 О О О 17.11.

Вычислить 1п А, где: 1 1 О ... О О 1 1 ... О О О О ... 1 17.9. Пусть С,А — квадратные матрицы одного размера и 1(х) многочлен. Доказать, что )'(САС ~) = Су(А)С 17.10. Вычислить е, где; д ?7. Действия иад матрицами 17.12. Пусть,4 = [а, ) матрица размера гп х и. Доказать, что А = ~ аОЕО, где Е; — матричные единицы. 17.13. Доказать, что ЕмЕрд: Б,Едд. 17.14. Пусть А произвольная матрица.

Вычислить Е;.А. 17.15. Пу.сть А произвольная матрица. Вычислить АЕ, . 17.16. Пусть А — квадратная матрица, причем Ем А = АЕм для всех матричных единиц ЕО, Доказать, что А = ЛЕ для некоторого скаляра Л. 17.17. Пуст А . — квадратная матрица, причем ЕпА = АЕн для всех 1. Доказать, что матрица А диагональна. 17.18. Пусть квадратная матрица А перестановочна со всеми не- вырожденными матрицами.

Доказать, что А = ЛЕ. 17.19. Найти все матрицы А порядка и такие, что ьг АХ = О для любой матрицы Х порядка п. 17.20. Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей. 17.21. Доказать, что если С невырожденная матрица, то для любой матрицы А того же порядка се САС д = дх А. 17.22. При каких Л имеет решение уравнение [Х, У[ = ЛЕ [[Х, У] коммутатор матриц Х и У )? 17.23. Доказать, что для любых квадратных матриц А, В, С выполняются равенства: а) [А, ВС) = [А, В) С + В[А, С[; б) [[А, В), С] + [[В, С),~Ц + [[С, А[, В) = О. 17.24.

Доказать,что для любых матриц порядка 2 выполняется равенство [[А, В)", С) = О. 17.25. Пусть А, В,..., Р1 квадратные матрицы одного порядка. Выразить произведение матриц Гл. 1У. Матрицы бб через заданные матрицы. 17.26. Пусть Л вЂ” треугольная вещественная матрица, перестановочная с ~А. Доказать, что матрица з1 диагональная. 17.27. Пусть А = (оц) Е Ми(К) симметричная невырожденная матрица, причем существует такое Ь ( п, что ан = О при ~г — у ~ > а. Предположим, что Л = 'В . В, где В = (Ь; ) -- верхнетреугольная матрица.

Доказать, что Ь, = О, если у — 1 > Ь. 17.28. Доказать, что любая матрица со счедом О является суммой коммутаторов матриц со следом О. 17.29. Для матрицы О 1 О ... О О О 1 ... О О О О ... 1 О О О ... О найти такие матрицы А и В,что [А,Х) = Х, ~Л,В) = — В, ~Х,В) = А. 9 18. Матричные уравнения.

Обратная матрица 18.1. Решить систему матричных уравнений: а) Х+ У =, 2Х+ ЗУ = б) 2Х вЂ” У =, — 4Х+ 2У = 18.2. Доказать, что квадратная матрица Х порядка 2 является решением уравнения Хз — (И Х)Х + с еб Х = О. 18.3. Решить матричные уравнения а) Х=; б)Х Л 1б. Матричные ураенения.

Обритния ыатприаа 61 в) Х=:, г)Х 2 1 1 2 2 2 е) 3 2 — 4 Х= 10 2 7 1 1 ... 1 1 2 3 ... н х з) О О ... 1 О О О ... 1 и)Х 2 1 О = 4 3 2 к) 2 1 2 Х= 1 1 2 л) 1 2 О Х О 1 О = 1 О О м)Х 1 2 3 = 2 4 6 н) 2 3 1 Х= 1 О О о) 2 1 2 Х= — 6 4 6 18.4. Пусть .4, В -" матрицы размеров пл х п и т х 1 соответственно. Доказать, что матричное уравнение АХ = В, где Х вЂ” матрица размера и х Й, имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А~В). Гль 1К Матрицы 18.5. Пусть А — — квадратная матрица. Доказать, что матричное уравнение АХ = В имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена. 18.6.