1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 7

+ Лл — 1ея — 1, сь — 1) = О. Так как векторы е1, е2,..., ев 1 попарно ортогональны, то эти равенства записываются в виде: (~ь, е1) + Л1(е1.,е1) = О, (Б,ег)+Лз(ез,ез) =О, (~юеь 1) + Ль 1(еь 1,еь 1) = О. Отсюда (~ы е1) (е1,е1) (Ь,ез) (ез, ез) ' (Дюея. 1) (ее 1,е1, 1) До сих пор не было использовано то, что векторы ~1, ~2,, ('„линейно независимы. Мы используем это при доказательстве того, что построенный вектор еь отличен от нуля.

Заметим предварительно, что вектор еь есть линейная комбинация векторов е1,ез,...,ел 1.,~ь. Но вектор еь 1 можно заменить линейной комбинацией вектора ~ь 1 и векторов е1,ез,...,еь з и т.д. Окончательно мы получаем, что цз) изомогфизм евклидовых пгостеяиств 47 вектор еь записывается в виде ея = а111 + азу+ + иь-ь7ь-1+1ы (5) Теперь ясно., что еь ф О. Действительно, в противном случае правая часть равенства (5) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов 7"ы ~а,..., ~ы так как коэффициент при ~я равен 1. Итак, доказано, что еь ф О. Мы построили по векторам еы еа...., ея 1 и )ь вектор еы Таким же образом по ем аз.....,еи и )';,41 мы построим ея 1 и т.

д. Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы 1ы (з,..., ~т, получаем т отличных от нуля и попарно ортогонэльных векторов еы еа,..., е . Докажем теперь следующую теорему. Т е о р е м а 1. Во всяком и-мерном пространстве существуют ортогонаяьные базисы. Д о к а з а т с л ь с т в о. По определению и-мерного пространства Я 1, и. 2) в нем существует какой-то базис з ы..., 1„. С помощью процесса ортогонализации из него можно построить ортогональный базис еы..., е„„ что и доказывает теорему. Если заменить векторы еь векторами еь еь —— Мь! то это будут, как нетрудно видеть, попарно ортогональные векторы длины 1, т.

е. мы получим ортогональный нормированный базис. Нетрудно видеть, что таких базисов существует много. Действительно, уже из данного базиса )),..., 1„ можно построить разные ортогональныс базисы, если начинать построение с разных векторов ~ы Позднее, в гл. П, мы рассмотрим вопрос о том, как связаны между собой различные ортогональные базисы. )гл.

! и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Примеры ортогонализации. 1. Пусть Е трехмерное пространство. Пропесс ортогонализации в нем означает следующее: пусть даны три линейно независимых вектора ~м!з.!з. Положим е1 = !"О Проводим затем плоскость через е1 = 11 и уз и в этой плоскости выбираем вектор ез, ортогональный к еь Наконец, во всем пространстве находим вектор, ортогональный к е1 и к е (т. е. к построенной ранов плоскости). 2. Пусть Е трехмерное пространство, векторами в котором мы считаем многочлены степени нс выше второй. Скалярное произведение зададим формулой / Р!!)Я!!)с)Š— 1 Векторы 1, 1, 1з образуют базис в Л.

Применим к этому базису процесс ортогонализации: е! = 1; вектор ез ищем в виде: !+ О 1; из условия ортогональности 1 О=(С-Ро 1,1)= /(1-РО)Ж=2О получаем а = О. Значит, ез = Е Вектор ез ищем в виде: 1~-5,31-52 1. 1 Из условий ортогональности получаем д = О, у = — —, т.е. ез = 3' з з = ! — —.

Окончательно получаем ортогональный базис 1, 1, ! 3 3' Если разделить каждый вектор на его длину, то получим ортогональный нормированный базис. 3, Пусть В пространство многочленов степени не выше чем и — 1. Скаллрное произведение определим так же,как и в предыдушем примере.

Возьмем базис 1, 1, 1~,..., !' '. Процесс ортогонализации приводит нас, как и в примере 2, к последовательности многочленов 3 ! 3 3 1,1,! — —,2 — — 1, 3' 5 Этн многочлены с точностью до множителей совпадают с много- членами !АП2 !)а 2с, Аэ которые называются многочленами Лежандра. Многочлены Лежандра образуют ортогональный, но не нормированный базис в Л..

Умножая каждый из этих многочленов на соответствующий ~з) изомоРФизм енклидовых ПРОстРлиств 49 множитель, мы можем построить ортогональный и нормирован- ный базис; его элементы будем обозначать через Рг(Ц. Пусть еы е2,..., е„ортогональный нормированный базис евклидова пространства Л. Найдем, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в этом базисе. Пусть СМС2,... гамп ко- ОРДИНатЫ ВЕКтОРа Х, а Л)Ы Ц2,..., Л)п --- КООРДИНатЫ ВЕК- тора у в этом базисе., т.е. Х = С1Е1 + С2Е2 +... + СпЕп, у = л)1е~ + л)2е2 +... + П„е .

Тогда (Х,У) = фЕ1+ С2Е2+... +СпЕп, Ц1Е1+ ЦИЕ2+... +Л)пЕп), и так как 1 при 2=к, (еб еь) = 0 при г~аб ч то (Х~ У) бг)1 + С2Л)2 + ° ° + С~Лп~ (б) т.е. в нормированном ортозональном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат (ср. пример 2 92). У п раж пения. 1. Показать, что в произвольном базисе ул, уг...., у скалярное произведение задается формулой (х, у) = ~ а,,ьб,пы ,а=а где а,а = аь„а См Сг,..., С„и пл, уг,..., и„. - координаты векторов х и соответственно у.

2. Показать, что если в некотором базисе уь уг,..., у„ска.тарное произведение задается формулой (х,у) =Сгу -РС у -Р" -РС Ъ, где бл, сг,..., б и уь уг,..., ль, координаты векторов х и у, то этот базис является ортогональным и нормированным. (ГЛ. 1 50 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Найдем координаты вектора х в нормированном ортогональном базисе е1, е2,..., еп. Пусть х = (1е1+(2е2+ "+бе . Умножив обе части этого равенства скалярно на Р1, по- лучим (х, е1) = с1(е1, е1) + с2(е2, е1) +... + ~„(е„, е1) = С1 и, аналогично, С2 = (х,ег), ..., Ся = (х,е„). (7) Итак: координаты век1пора в ортогональном нормированном базисе суть скалярные произведения этого векгпора на соответствующие базисные векторы.

Скалярное произведение вектора х на вектор е длины единица естественно назвать проекцией вектора х на вектор е. Доказанное утверждение означает, что, как и в аналитической геометрии, координаты векпьора в ортогональном нормированном базисе сутпь проекции этого вектора на базисные векторы (на оси координат). П р и м е р ы. 1. Пусть Рэ(1), Р1 (1),..., Р„,(1) -- нормированные многочлены Лежандра нулевой, первой, ..., и-й степени. Пусть, далее, сг(1) - произвольный многочлен степени п.

Представим С7(1) в виде линейной комбинации многочленов Лежандра. Совокупность многочленов степени < и образуют (и -Р 1)-мерное линейное пространство, Ре(1), Р1 (1),..., Р„(1) образуют ортогонэльный базис в нем. Поэтому всякий многочлен степени < и представим в виде Коэффициенты с,, как это следует из (7), вычисляются по фор- мулам 88) изОмОРФизм евкогидовых ВРОстРанотв о1 2. Рассмотрим на интервале (0,2я) систему функций 1, соя1г е|п1, сое21, яп21, ..., соево, япоб 18) Их линейная комбинация Р11) = — а -Рог соя1-Р бг явг+ ао соа21-1-...

-Р б„яп ВГ 2 называется тригонометрическим многочленом и-го порядка. Совокупность тригонометрических многочленов гг-го порядка образует 12п-Р Ц-мерное пространство Вг. Определим в Лг скалярное произведение, как обычно, т. е. положим 2 (Р, Ц) = / Р1г)Я1г) Ж. о Легко проверить, что система Г8) бу-дет ортогональным базисом. Действительно, соя К1 соа11г)1 = О, если й ~ 1, о о!и яг соя 11г11 = О, а 2 ягпйг яп11г11 = О, если а ~1. а Так как 2 о а яп я1 Ф = / сое к1 Ф = я, а / 1 г11 = 2гг, о а о то функции 1 1 1 1 1 , — сочг, — япо, ..., — соя пг, — я1ппг Г8 ) агт образуют в Вг ортогональный нормированный базис.

п-минное пгост1 лнство 2. Перпендикуляр из точки на надпространство. Кратчайшее расстояние от точки до надпространства *). О п р е д е л е н и е 2. Пусть Л1 подпространство еоклидова пространства Л. Мы будем говорить, что вектор 6 Е Л ортогонален подпространству Лы если он ортогонален любому вектору т из Лы Если вектор 6 ортогонален векторам еме1,...,е то он ортогонален любой их линейной комбинации.

Действительно, из равенств (6,е,) = О следует, что для любых чисел Лп Лз,..., Лщ (6, Л1е1+ Лает+... + Л е ) = О. Поэтому, для того чтобы вектор 6 был ортогонален т-мерному надпространству Л~., достаточно, чтобы он был ортогонален т линейно независимым векторам из Л1 (базису в Л1 *л)). У п р а ж н е н и е. Показать, что совокупность всех векторов у Е К, ортогональных к надпространству Ло также образует надпространство пространства Ра Это надпространство называется ортогональным дополнением к сюдпространству В~ в пространстве Н.

Рассмотрим в пространстве Л некоторое т-мерное надпространство Л1 *') и вектор 1, не принадлежащий Лы Поставим задачу; опустить перпендикуляр из точки 1 на Йп т. в. найти вектор 1б из Л1 такой, чтобы вектор 6 = 1" — 1о был ортогонолен Лы Вектор 1б называетсн при этом ортогональной проекцией Этот пункт можно при первом чтении пропустить. ) для случал, когда рм есть плоскость, зта теорема в элементарной геометрии называется теоремой о двух перпендикулярах.

Размерность самого пространства лс для нас несущественна. Оно может быть даже бесконечномерным. ~з) ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИЛОВЫХ ИРОСТРЛИСТВ оз вектора 1' на пое1пространство Л1. Несколько позже мы увидим, что эта задача всегда имеет решение, притом единственное. Сейчас мы покажем, что, как и в элементарной геометрии, перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от точки до подпространства.

Другими словами, покажем, что если 11 есть отличный от, го вектор из Л1, ьчо !У вЂ” Х!1 > ~У вЂ” Уо! Действительно, вектор 1о — 11, как разность двух векторов из Л1, принадлежит Л1 и, следовательно, ортогонален вектору 6 = г — го. По теореме Пифагора имеем: ~У вЂ” Уо~' + ~Уо — Л ~' = ~У вЂ” Уо + Уо †,)1~' = ~У вЂ” Л ~' и, зна 1ит, !У вЂ” У1~ > ~У вЂ”.)'о!. Покажем теперь, как фактически вычислить по 1 его ортогональную проекцию 1о на подпространство Л1 (т. с. опустить перпендикуляр из г' на Л1). Пусть базис подпространства Л1 состоит из векторов е1, ег,..., е Будем искать вектор А в виде (9) УО = С1Е1+ СгЕг +... + Ствт, где коэффициенты сь найдем из условия ортогонэльности г — г'о к Л1. Для того чтобы эта ортогональность имела место, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ка равенств (~ — г"о, еь) = 0 (й = 1., 2,..., п1), т.