1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 9

Пользуясь выведенной выше (стр. 49) формулой для скалярного произведения в ортогональном нормированном базисе, имеем: (х,у) =6у +6Ъ+" +1 Ъ С другой стороны, по определению скалярного произ- ведения в пространстве Л' (пример 2 2 2) имеем; (х 1у ) = с191 + с292 + ° + спал ° Таким образом, (х, у) = (х', у'), т.е. равенство скалярных произведений доказано. Теорема полностью доказана. У п р а ж н е н и е. Доказать зту теорему методом, аналогичным доказательсгв1 в и.

4 2 1. Из теоремы об изоморфизме можно вывести интересное следствие: любое геометрическое утверждение о двух или трех векторах достаточно проверить в известном из элементарной геометрии трехмерном пространстве '). В самом деле, линейная комбинация этих векторов образует подпространство нашего пространства не более трех измерений. В силу теоремы о изоморфизме это подпространство изоморфно обычному трехмерному пространству (либо его подпространству) Геометрической теоремой мы будем называть утверждение о векторах, которое может быть сформулировано в терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения. ~ 4) НИЛИННЙНЫН И КВЛЛРАТИЧНЫН ФОРМЫ 63 и, следовательно, наше утверждение достаточно проверить в последнем пространстве.

В частности, справедливость неравенства Коши- Буняковского (являющегося утверждением о паре векторов) следует из того, что оно верно в элементарной геометрии (см, пример 1, стр. 42). Мы получаем, таким образом, новое доказательство неравенства Коши Буняковского. Еще один пример. В ~ 2 мы доказали неравенство (7) ~ +Ы < И+М. В элементарной геометрии это неравенство означает, что длина диагонали параллелограмма не превосходит суммы длин двух смежных сторон, и доказывается в любом учебнике элементарной геометрии.

Следовательно, в силу сказанного ранее, это неравенство справедливо в любом евклидовом пространстве. Теорема о изоморфизме дает нам, таким образом, возможность получить, например, неравенство являющееся неравенством (7) Й 2 в пространстве функций (пример 4 ~2) как непосредственное следствие только что сформулированной теоремы из элементарной геометрии. ~ 4. Билинейные и квадратичные формы В этом параграфе мы будем опять заниматься аффинным пространством, а именно, будем изучать простейшие числовые функции от векторов в аффинном пространстве. (гл. ~ 64 п-мееное пгостглнство 1.

Линейная функция. Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция. Определение 1. Говорят, что в аффинном пространстве задани линейная функция (линейная форма), если каждому вектору х поставлено в соответствие число 1(х), так что при этом выполнены условия: 1' й + у) = П ) + 1(у). 2' 1'(Лх) = Лу(х). Выберем в и-мерном пространстве произвольный базис еы ег,..., е„. Так как каждыи вектор х можно представить в виде Х = С4Е4 + СгЕг + ... + Сяе„, то в силу свойств линейной функции имеем: 1(х) = 1(с1е1 + сгег +... + сиен) = =~11(е!)+~гу(ег)+... +~ 1(е ).

Итак: в и-мерном пространстве с заданным базисом линейная функция, может бьнпь представлена в виде 1(х) = и4рл + агсг +... + анс„, (1) еде а; = 1(е ) постоянные, зависящие лищь от выбора базиса, а сысг,....,сп координаты вектора в этом базисе. Таким образом, данное выше определение линейной функции совпадает, по существу, с принятым в алгебре определением линейной функции (линейной формы); надо лишь иметь в виду, что в нашем случае коэффициенты зависят от выбора базиса. Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим. Пусть емег,...,е„и е1,ег,...,е'„два базиса в Л.

Пусть, далее, векторы е', выражангтся через базис еы 14] Билиннйнын и кнлдРлтичныв ФОРмы 65 Е2,..., Еп фОРМУЛаМИ ! Е, = апс1+ а21Е2+ + атсп, / Е2 а12Е1 + а22Е2+ ° ° + ап2сп~ / Еп — а1пс1 + О2пс2 +... + аппсп. Пусть в базисе е1, е2,..., еп линейная функция выража- ется формулой 1(х) = а16 + а2С2 +... + апС„, а в базисе е1, с~2,..., еп - - - формулой 2 (х) = а1Б1 + азч2 + + а ь Так как а, = 2 (е,), а а~И вЂ” — ~(е~,), то а~ — — ~(а1ЬЕ1 + а2ЬЕ2 +... + ОНЬЕН) = = аИ1(Е1) + а2ЬПЕ2) +...

+ апе1(Е„) = = а1ла1+ азеа2+... + апьап. Мы видим, следовательно, что коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так лсе, кан векторы базиса (или, как иногда говорят, когредиентно векторам базиса). П р и м е р 1. В пространстве, векторами которого являются непрерывные функции у(4), заданные на от- резке (оп 6], рассмотрим функцию ~(у), заданную фор- мулой П~р) = р(4) д4.

а Эта функция линейна, так как выполняются условия 1' и 2'. Действительно, первое из них означает, что инте- грал суммы равен сумме интегралов, а второе означа- ет. что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. (ГЛ. 1 п.-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО П р и м е р 2. В том же пространстве рассмотрим функцию 1'(~р), определенную следующим образом. Выберем на отрезке [а, *о~) некоторое значение 1 = 1В и по- ложим У(р) = 'р(10) А(х1 + хг; у) = А(т1, у) + А(х2, у), А(Лх; у) = ЛА(х; у).

А(х; у1 + у2) = А(х; у1) + А(х; уг), А(х;уу) =рА(х;у). 1о 2о П р и м е р ы. 1. Рассмотрим н-мерное пространство, в котором вектор есть совокупность и чисел. Поло- жим А(х; у) = а11~1у11 + о12б1ц12 +... + О1Д1 у1п + + а21~2111 + а22~2112 + ° ° ° + а2пС211п + + Оп1спц1 + а~2СВГ12 + ° + аппспцп~ (2) где х есть вектор (~1, (2,..., ~„), а у вектор (у1, ца,..., у„) . Формула (2) определяет билинейную функцию.

В самом деле, если зафиксировать у, Проверьте, что эта функция ((у) также линейна. 2. Билинейные формы. Существенную роль в дальнейшом будут играть бияинейные и квадратичные функции (формы). О и р е д е л е н и е 2. Мы говорим, нгпо А(х; у) есть билинейная функция (билинейная форма) от векторов х и у, если: 1' при фиксированном у А(х:у) есть линейная функция от х, 2' при фиксированном х А(х; у) есть линейная функция от у. Иными словами, в силу определения линейной функции условия 1' и 2' означают соответственно Ь41 нилинвйньш и кнлдРлтичныи ФОРмы б7 т.

Е. СЧИтатЬ г)г, Г)З,... г да ПОСТОЯННЫМИ, тО 2, ГЛгсгегт)Ь НЬ=1 зависит от С; линейно, т.е. есть линейная функция от х = ф,сх,...,св), а при постоянных сч,сх,... г(„ форма А(х;у) - линейная функция от у. 2. В пространстве, в котором векторами являются непрерывные функции ) (с), рассмотрим следующий пример билинейной функции. Пусть К(в, Ь) --- некоторая непрерывная функция переменных в и Ь.

Положим Ь Ь А()"; д) = К(вг 1)((в)д(Ь) сЬ с)г. а а А()'; д) есть билинейная функция векторов )' и д. Действительно, условия 1' и 2' проверяются так жег как и в примере 1 предыдущего пункта. Если К(в, Ь) = 1, то Ь Ь Ь Ь А(у;д) = 1(в)дЯ сЬс1с = 1(в) сЬ д(Х) й, т. е. А(у'г д) есть произведение линейных функций Ь Ь ) (в) сЬ и д(с) с)с. у п р а гк н е н и е. Показать, что если 1(л) и у(у) линейные функции, то их произведение 1(х) у(у) есть билинейная функция.

О п р е д е л е н и е 3. Билинейная, функиия, (форма) называется симмегтгринеской, если для любых векторов х и у имеепг место равенство А(х; у) = А(у; х). В приведенном выше примере 1 определенная формулой (2) билинейная форма А(х; у) симметрична тогда и только тогда, когда сггь = аул для любых с и гз (гл. ! 68 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Скалярное произведение (х,у) в евклидовом прост; ринси!ве является примером симметрической билинейной формьс. В самом деле, аксиомы 1', 2', 3' скалярного произведения Я 2) как раз и означают, что скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма.

3. Матрица билинейной формы. Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в и-мерном пространстве какой-либо базис е!, ез,..., е„и выразим билинейную форму А(х; у) через координаты С!, ~2,..., С„и !1!., уР,..., у„векторов х и у в этом базисе. Мы имеем: А(х;у) = А(с!е!+~ае2+...+~„е„: у!е!+угеа+...+у„е„). В силу свойств 1' и 2' билинейной формы А(с! е! + бзеа +... + ~„е„; П!е! + !!ае2 +... + у„е„) = = (!!1!А(Е!, Е!) +С!у2А(Е!, Еа) + + ~!П~~А(Е!, Еи) + + сяу!А(ез, е!) + бзг!гА(е2, еа) +... + (Еу„А(ез, е„) + + с„,т1!А(е„; е!) + с„трА(е„; е2) +...

+ с„пмА(е„: е„), или,короче А(х, у) = ~ А(ег' еь)~ьуь. Обозначим постоянные А(е;; еь) через а;ь. Тогда имеем: при заданном базисе е!, ез,..., е„всякая билинейная форма в п-мерном г!ространстве может бьппь записана в виде А(х; у) = ~~! а!А~!уь, ну=1 где с!, (з,..., ~„--. координаты вектора х, а у!, па,... ..., г! — — координаты вектора у в данном базисе.

3 4) Билинвйнын и квлдРАтичныв ФОРмы 69 Писла аеи зависят от выбора базиса и вычисляются ио формулам оть = А(е,",еь). (4) Матрица А = Йа;у6 называется матриией билинейной формы А(х; у) в базисе еы е2,..., е„. Таким образом, в каждом базисе билинейная форма А(х; у) определяется своей матрицей А = ~~а,ь'6. П р и м е р. Пусть гс — трехмерное пространство, векторами которого яюгяются тройки чисел ф, бз,ез). Зададим в В билинейную форму А(х; у) формулой .4(х; у) = бг гв + 26зуз + 36зуз.

Возьмем в Л в качестве базиса три вектора = (1 1 Ц~ ез (1;1; Ц! ез (1 1 Ц. Найдем матрицу А билинейной формы А(х; у) в этом базисе. В силу (4) получим: оп=1-14-2.1 14-3 1.1=6, агг =ам =1 1+2 1 1+3 1 ( — Ц=О, огз=1 1~2 1 1~3 ( — Ц ( — Ц=б, огз = азг =1 1+2 1-(-ЦЧЗ 1 (-Ц = -4. огз = азг = 1 1+ 2 1 ( — Ц+ 3 ( — Ц ( — Ц = 2, озз=1 14-2 ( — Ц ( — ЦФ3 ( — Ц ( — Ц=б, А= О 6 2 Таким образом, если обозначить через (сг сз: ьз) и В(, Ъ: Нз координаты векторов х и у в базисе ег, ез, ез, то А(х~ у) = бьсгг1г 4ье(г1з 1 безог Ч 2ьег гз 4~зггг Ч- 2ьезуг + б~зЦ1з. 4.

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Пусть даны в п-мерном пространстве два базиса; е1,е2,...,с„и у"1,2"2,...,~„. Пусть векторы 2"1,2'2,..., („выражаются через векторы базиса (ГЛ. 1 70 П-14ЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО е1, ег,..., е„формулами (~ = с>1е1 + с21ег +... + с„1е„, гг = с12е1 + сггег +... + с ге„, (5) ~„ = с1„е1 + сг„ег + ... + с„„е„.