1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 6

а Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы 1' — 4' выполнены. 5. Будем считать векторами многочлены от 1 степени не выше п — 1. Скалярное произведение двух много- членов определим как и в предыдущем примере: (Р, Я) = Р(1) сьев(1) ~й. а Аксиомы 1' — 4' проверяются как и в примере 4. 2. Длина вектора. Угол между векторами. Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами. Определение 2. Длиной векторах в евклидо- в 2) 39 ИВКЛИдово НРОСТРАНС'ГВО вом пространстве называетсл число (4) Ъ(х, ). Длину вектора х будем обозначать через ~х~.

Естественно пожелать, чтобы угол между векторами, длина вектора и скалярное произведение были связаны обычным соотношением: скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как в этой фразе смысл всех слов, кроме слов «угол между векторамие, нам уже известен, то этим предписывается следующее Определение 3. Углом между векторами х и у мы назовем число 9з = атосов „, (х,у) 1хЬ!' т. е. положим сов ~р = ', 0 < у < я. (х,у) ИЬ~' Векторы х и у называются орепоеональными, если угол между ними равен —, т. е. если (х,у) = О. С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии *).

Рассмотрим один пример. Если х и у- — ортогонэльные векторы, то х+ у естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у. Докажем, что ~х+ Ыв = ~х!'+ Ъ!' Можно бьыо бы, конечно, определить евклидово пространство иначе, чем в п. 1, введя аксиоматически понятия длины вектора и угла между векторами (а не скалярное произведение). Однако соответствующая система аксиом была бы более сложной. П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО т.е. квадрат длины диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон [теорема Пифагора).

Д о к аз а т ел ь с т в о. По определению квадрата длины вектора [ +у[2 = [ +д *+д). В силу дистрибутивности скалярного произведения [аксиома 3') [х + у,.х + д) = [х,х) + (х, у) + (у,х) + [у, д). В силу ортогональности векторов х и у (х, у) = (д, х) = О. Следовательно, [х+у[ = [х,х) + [д,у) = [х[ + [у[, что и требовалось доказать. Эту теорему можно обобщить: если векторы х,д,г,... попарно ортогональны, то [х+ у+ г+...

! = [х[ + [у[ + [г! +... 3. Неравенство Коши — Буняковского. В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол у между векторами х и у формулой [х.у) СОВ~Р = [х[ [у[ Для того чтобы можно было определить у из этого равенства, нужно доказать, что 1< [ху) <1 [х[[у[ или, что то жс самое, что , )2 [, [2[, [2 з 2) 41 ввклидово пгостгянс'ГВО т, е. (х,у) < (х,х)1у,у) (б) Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Итак, для того чтобы иметь право опреде.лить угол между двумя векторами формулой (5), мы должны доказать неравенство Коши — Буняковского '). Чтобы доказать его, рассмотрим вектор х — Ху, где произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4' скалярного произведения (х — 1у,х — 1у) > О, т.е, для любого 1 12(у, у) — 21(х, у) + (х, х) > О. Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно б трехчлсн принимает лишь неотрицательные значения.

Следовательно, дискриминант уравнения 2(у у) — 2Цх, у) + (х, х) = О не может быть положительным, т. е. (::, у) — (х, хну., у) < О, что и требовалось доказать. У краж пение. Доказать, что знак равенства в (б) имеет место тогда и только тогда, когда векторы т и у линейно зависимы, П р и м е р ы. Мы доказали неравенство (б) для аксиоматически заданного евклидова пространства. Разберем, как выглядит В примере 1 п.1 этого параграфа нет надобности доказывать зто неравенство. Действительно,там в силу принятого в векторном исчислении определения скалярного произведения ве- Р,ч) личина ' есть косинус некоторого уже заранее определенного Ия угла между вокторами и поэтолсу она по абсолютной величине не превосходит 1.

)гл. ! 42 и-мкгнон нгостглнство 1х,У) = ~ ~6У, =1 то 1х,х) =~ б,, 1у,у) =~ у,.; поэтому неравенство 1б) имеет здесь вид: Еб - 'Еб' Е' 3. В примере 3 скалярное произведение имеет вид: 1х,у) = ~ ~а,вч,уа, я=1 где 12) и,ь =ам ~ а,.ив >О ив=с 13) для любых б,. Поэтому неравенство 1б) означает: Если чивли а,в удовлетворяют условиям 12) и 13), то имеем место неривеннпво ~ а вб уь ( ~ а,ьб бь ~~ а,вч,уь Упр аж не ние. Показать, что если числа а,ь удовлетворяют условиям 12) и 13), то а~„( а„аьы ( У к а з а н и е. Выбрать в только что выведенном неравенстве специальным образом числа См...,С и ум уз,..., с1 .) 4.

В примере 4 скалярное произведонне задается интегралолс Дс)уф Ж, поэтому неравенство 1б) имеет вид: это неравенство в приведенных выше Сп. 1) примерах евклидовых пространств. 1. В примере 1 неравенство 16) не означает ничего нового 1см. сноску на стр. 4Ц. 2. Так как в примере 2 скалярное произведение задается фор- ксулой 22) 43 ЕВКЛИДОВО НРОСТРАНС'ГВО < Ь 3 Ь У " -Г' " 1з()" Это неравенство играет важную роль в разных вопросах анализа. Приведем пример неравенства, являющегося следствием неравенства Коши — Буняковского. Для любых векторов х и у в евнлидовом пространстве Л имеет место неравенство М+Ы < И+Ь~ Доказательство.

~х + у~~ = (х + у, х + у) = (х, х) + 2(х,, у) + (у, у); так как (в силу неравенства Коши — Буняковского) 2(х,у) < 2~хйу(, то /х+у! = (х+у,х+у) < (х.,х)+2!х/!у!+(у,у) = (!х/+!у!), т.с. /х+у! < !х/+/у!, что и требовалось доказать. (См. также 2 3, стр.

63.) У п р а ж н е н и е. Написать неравенство (7) в каждом из примеров евклидовых пространств, разобранных в начале этого параграфа. В геометрии расстояние между двумя точками х и у*) определяется как длина вектора х — у. В общем случае и-мерного евклидова пространства определим расстояние между х и у формулой д = (х — у!. Мы будегн обозначать одной и той же буквой вектор и точку, являющуюся его концом (векторы мы проводим из начала координат, см. стр. 7). (гл. ~ и-МВРНОВ ПРОСТРЛНСтве ~ 3.

Ортогональный базис. Изоморфизм евклндовых пространств 1. Ортогональный базис. В ~1 мы ввели понятие базиса (системы координат) аффинного пространства. В аффинном пространстве у нас нет оснований предпочитать одни базисы другим там все базисы равноправны *). В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно ортогональные базисы. Онн играя>т здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии. О п р е деленно 1. Будем говорить, .что и вектоуов е1, ег,..., ено ни один из коп1оуых не Ровен нУлю, образуют ортогона,яьньрй базис в и-мерном евклидовом пространстве Л, если они попарно орпьогональньь ВектОРЫ Е1,гг,...,Ея ОбРПЗУЮт ОРтОРОНаЛЬНЫй НОРМиРО- ванный базис, если они попарно ортогональны и имеют каждый длину 1, т.

е. если 1 при 1=1, (е„еь) = 0 при 1ф а. Для того чтобы данное нами определение ортогонального базиса было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы е1, ег,..., е„ Точный смысл этого утверждения таков. Если внимательно посмотреть приведенное в 11 доказательство изоморфизма аффинных пространств, то легко заметить, что там доказано несколько больше, чем сформулировано, а именно, доказано, что между двумя п-мерными пространствами можно установить иэоморфное соответствие так, чтобы заданный базис одного пространства перешел в заданный базис другого пространства. В частности, если в Л заданы два базиса ем ее,..., е„и е',,еь..., е'„, то существует изоморфное отображение пространства Д на себя., при котором первый базис переходит во второй.

1з) ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИЛОВЫХ ПРОСТРЛИСТВ 45 действительно образуют базис,т.е.линейно независимы. Докажем это, т.е. покажем, что равенство Лдед + Лзез + .. + Л„,е„= О (2) возможно лишь, если Лд = Лз = ... = Л„= О. Умножим обе части равенства (2) скалярно на ед.

Получим: Лд(ед, ед) + Лз(ед, ез) + ... + Л (ед, .е~) = О. Но по определению ортогонального базиса (ед,ед) ф О, (ед,еь) = О при л ф 1. Следовательно, Лд = О. Аналогично, умножая (2) скалярно на ез, получим, что Лз = О и т.д. Мы доказали, таким образом, что ед, ез, ..,, е„линейно независимы. Чтобы доказать существование ортогональных базисов, воспользуемся так называемым процессолд ортоеонализации, который часто встречается в геометрии. Он состоит в том, что из данных линейно независимых векторов ~д,..., (,„Строятся т попарно ортогональных векторов ед,..., е„,. Опишем этот процесс. Пусть даны ш линейно независимых векторов 1д,..., ( По этим векторам мы построим процессом ортогонализации ш попарно ортогональных векторов.

Положим ед = дд. Вектор ез будем искать в виде; ез = (э+ сдед. Число о подберем так, чтобы (ею ед) = О, т. е. ((з + мед, ед) = О. Отсюда ((з, ед) (ед, ед) Предположим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы ед,ез,...,еь д уже построены. Вектор еь ищем в виде: еь = Б + Лдед + ... + Ль деь (2) (ГЛ, 1 46 и-меднов пеос 1тлнство т.е. вектор еь мы получаем из вектора (ь «исправлением1 его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов е1, е2,..., еь — 1. Коэффициенты Л1.,Л2,...,Ль 1 находим из условия ортогональности вектора еь = ~д + Л1е1+... + Ль 1еь к векторам е1, ез,..., еь (~ь + Л1е1+... + Ль 1еь 1, е1) = О, (~ь + Л1е1 +... + Ль 1ея 1, ег) = О, (Уа + Л! е1+ ..