1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 10

Таким образом, с1в, Сгь,..., фРкоординаты вектора Д, в базисе с1, ег,..., с„. Матрицу С11 С12 ... С н С21 С22 ° ° сгп с„1 с„г ... с „ ЬРР = А(Л;)г) = ~~, о ьсгсьт (б) Это есть искомая формула. Запишем ее в матричной форме. Для этого положим с„', = с;,„,; таким образом, с', являются элементами назовем матрицей перехода от базиса е1, ег,..., е„к базису 21,12, гп.

Пусть А = ~~а,ь~~ есть матрица билинейной формы А(х;у) в базисе е1,ег,...,е„, а .В = ~~Ь,Р~~ матрица той же билинейной формы в базисе гм 72,..., ~„. Наша задача состоит в том, чтобы по матрице ~~а11(~ найти матрицу ((Ь,ь)!. По определению [формула (4)) Ьрг — — А(гр, Д), т.е. Ьрг-- значение билинейной формы А(и; р) при с = ДР, у = Д, :для того чтобы найти его, воспользуемся фОРМУЛОй (3), ПОДСтаВИВ В НЕЕ ВМЕСТО ~1,(2,...,~я И 171, Уг,....Ц„кооРДинаты вектоРов гр и (г в базисе Е1, Ег,..., Ев, т.

Е. ЧИСЛа С1р, Сгр,..., С„р И С~ я, Сгг,..., Сщр Получим: з 4) Билинвйнын и НБАДРАтичныв ФОРмы 71 матрицы С|, транспонированной к матрице С. Тогда | Ьр — — лт С,а,Ась . |,А=1 В матричной форме зто означает *): .В = С'АС. Итак: если, А а В суть матрицы билинейной формы А(х; у) соответственно в базисах е1, е,, е„и ~1..6; ~у, то.В = С'АС, где С --матрица перехода от базиса е|, ез,..., ен к базису 71, ~а,..., 4в, а С' матриио, транспонированная к матрице С. 5. Квадратичные формы. О пред ел е ни е 4. Пусть А(х;д) --симметрическая билинейная форма. |Рункция А(х; х), которая получается из А(х; у), если положить у = х, называется квадратичной формой.

Произведение двух матриц определяется, как известно, так: элемент произведения матриц, стоящий на пересечении |-й строки и й-го столбца, равен сумме произведений элементов |- й строки первой матрицы на соответствующие элементы Ь-го столбца второй матрицы. Удобнее это правило записывать в виде формулы с,ь = ~ о, Ье|о где а, -- элементы первой матрицы, а Ь я — - элементы второй матрицы. Отсюда, применяя это правило дважды, можно получить, что произведение трех матриц вычисляется так: если 11 = АЮС, то д,л = ~ оыь„релю л=| Если А' матрица, транспонированная к матрице А, то эломенты матрицы А'БС' имеют вид ~ а„,Ь дсяю л=| (гл.

< 72 п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО А(х;у) называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х;х). Требование симметричности формы А(х;у) в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно. Полярная, форма, А(х:д) о<)нозначно определяелпся своей квадратичной формой А(х;х). Д о к аз а тел ь с т в о. Из определения билинейной формы легко следует, что А(х+у,:х+у) = А(х;х) +А(х;у) +А(у:,х) +А(у;д). Отсюда в силу симметрии (т.е.

равенства А(х;у) = А(у: х)) получаем: А(х: у) = — [А(х + у; х + у) — А(х: х) — А(у; у)'). 1 В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы: следовательно, мы доказали, что билинейная форма А(х; д) определяется своей квадратичной формой *). Выше мы уже доказали, что всякая симметрическая билинейная форма А(х; у) записывается через коорди- Функция .4(х;х), полученная из произвольной (не обязательно симметрической) билинейной формы А(х;у),может быть получена и из симметрической билинейной формой.

Действительно, пусть А(х; у) — — произвольная билинейная форма; тогда А<(хеу) = — (А(х; у) + А(у; х)) есть снова билинейная форма и притом, как можно видеть, сим- метрическая. Но А, (х; х) = — (А(х; х) -Р .4(х; х)) = А(х; х), т.е. А<(х; у) приводит нас (при у = х) к той же квадратичной форме, что и А(х; у). в 4) БилинБЙные.

'и кБААРАтичныв ФОРмы 7З наты векторов х и у в виде А(х; у) = ~ а,ь(1уь, ьь=1 где а,ь = аы. Поэтому: всякая квадратичная форма А(х;х) при заданном базисе выражается формулой и А(; )=~;тц, Йь=! где а1ь = аы. Введем еще одно важное О п ре деление 5. Квадрап1ичная форма А(х;х) называется положитпельно определенной, если для лю- бого веьипора х ~ О А(х;х) > О. П р и м е р. А(х; х) = (1~+ Я+... + ~~а является, оче- видно, положительно определенной квадратичной фор- мой.

Пусть А(х; х) положительно определенная квадра- тичная форма и А(х;у) ее полярная форма. В силу сформулированных выше определений это означает: 1' А(х; у) = А(у;х). 2' А(х1 + х.; у) = А(х1, .у) + А(ха; у). 3' А(Лх; у) = ЛА(х; у). 4' А(хб х) > О и А(х; х) > О при х у'= О. Мы видим, что эти условия совпадают с аксиома- ми скалярного произведения, сформулированными в ~ 2. Следовательно, скалярное произведение есть билинейная форма, со- ответствующая положительно определенной квадра- тичной форме, и любая, такая форма, может быть принята за скалярное произведение.

Поэтому мы можем определить евклидова простран- ство следующим образом. (Гл. ! 74 и-мвеное пеостнлнство Евклидовым пространством называется аффинное простпранство, в котором выбрана какая-нибудь фиксированная полоэкительно определенна квадратичная форма А(х;х).

Значение А(х:, у) соответствующей *) ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением *') векторов х и у. й о. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов Мы знаем уже, что выражение квадратичной формы А(х; х) через координаты вектора х зависит от выбора базиса. В этом параграфе будет показано, как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т. е. выбрать такой базис (систему координат), в котором квадратичная форма имеет простой вид А(х; х) = Л1~1~ + Лг~2~ +... + Лп~~~з.

(1) Пусть в некотором базисе 7'ы ~з...., 7"„имеем равенство А(х,х) = ~ а,утйць, (2) г,у=1 где т~ыт~з,...,уя . координаты вектора х в этом базисе. Будем постепенно преобразовывать базис так,чтобы в формуле (2) пропадали произведения координат с различными индексами. Так как каждому преобразованию базиса отвечает определенное преобразование координат (см. ~ 1, п.

6) и обратно, то мы можем писать формулы преобразования координат. Для приведения формы А(х;х) к сумме квадратов нам нужно будет, чтобы хоть один из коэффициентов Мы ужо доказали, что билинейная форма А(лч у) однозначно определяется своей квадратичной формой А(х:т). Выше оно обозначалось (я,у), а не А(т:,у). 25) неиввдвник квлделтичной фаены к сумме квадратов 75 аль (коэффициент при цл2) был отличен от нуля. Этого всегда можно добиться. Действительно, предположим, что форма А(х; х), не равная тождественно нулю, не содержит ни одного квадрата переменного: тогда она содержит хотя бы одно произведение, например, 2а ~2цуц2.

Заменим координаты ц1 и ц2 по формулам / / Ц1 Ц1 + Ц2~ / ! Ц2 Ц1 Ц2~ не изменяя остальных переменных. При этом преобразовании член 2и12цуц2 перейдет в 2а12(ц~1~ — л2 ), и так как, по предположению, а11 = а22 = О, то он ни с чем не может сократиться, т.е. коэффициент при ц~ отличен от нуля. Будем теперь считать, что уже в формуле (2) коэффициент аы ф О *). Выделим в нашей квадратичной форме члены, содержащие ц11 а11ц1+ 2а12ц1цз+...

+ 2ип„ц1ц„. 2 Дополним эту сумму до полного квадрата, т. е. запишем ее в виде а1 1 ц, + 2а12ц1 ц2 +... + 2аув ц1 ц„= 2 1 = — (и11ц1 +... + ашц„) — В, (3) 2 иы где через В мы обозначили члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов ашц2,, .. ..., а1вцп. После подстановки выражения (3) в (2) рассматриваемая квадратичная форма примет вид 1 2 А(х;х) = — (аыц1 +... + ауот1в)' +..., а11 Если аы = О, но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты,ток рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы ем ее,..., е„, что также является некоторым преобразованием этого базиса.

)ГЛ. 1 П-А!ЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО где невыписанные члены содержат только переменные 7!2~... ~ Цп. Положим ц! = О11ц! + П12ц2 +... + О1пцв~ Цг = Ц2 Тогда квадратичная форма примет вид А(х; х) = — ц,* + 77 а,*яц,*ц~. ам Ей=2 П Выражение 2, а,*~ц,*ц~ вполне аналогично правой 1,1=! части формулы (2) с той только разницей, что оно не содержит первой координаты. Предположим, что коэффициент агг ф О (этого, как мы видели., всегда можно добиться простыми вспомогательными преобразованиями). Тогда можно произвести новое, аналогичное первому, преобразование переменных по формулам ц! =ц! 7Ь = ОггЦ2+пгзЦз+ +О2„71ш 7!з* = цз ц В новых переменных форма примет вид и А(х х) = — ц 2+ — ц 2+ ,'7 а.

ц ц а11 П22 ,ь=з Продолжая этот процесс, мы после конечного числа шагов придем к переменным С1,(2,...,С7О в которых 25) ПРИВЕДЕНИЕ КВЛДРЛТИЧНОЙ ФОРМЫ К СУММЕ КВЛДРЛТОВ 77 форма А(х; х) будет иметь вид А(х; х) = Л1с1+ Л2с, +... + Л причем т < и. Мы предоставляем читателкл выписать преобразование базиса, отвечающее каждому из произведенных преобразований координат (см. п.б 81), и убедиться, что наши преобразования действительно переводят базис снова в базис, т. О. что полученные из базиса в результате преобразования векторы снова линейно независимы. ПОЛаГая В СЛуЧаЕ т < И, Чта ЛшР1 = ... = Л„= О, мы приходим, таким образом, к следующей теореме: Т е о р е м а.

Пустпь в п-мерном пространстве задана произвольная квадратичная форма А(х; х). Тогда в Л суилествует базис е1,е2,...,Р„, в котором эта квадратичная форма имеет. вид А(х; х) = Л1~1 + Л242 +... + ЛлД,, где с1, (2,...., Св координатсч вектора х в базисе Е1,Е2,...,Е„. Приведем пример приведения квадратичной формы к сумме квадратов по описанному методу. Пусть в трехмерном пространстве с некоторылл базисом ум 1м ул задана квадратичная форма А(х;х) = 2ЦлЦ -~- ДЦлЦз — Цел — ВЦл, Положим ! ьв Це ц2 = ц! Цз = '1з Тогда получим: А(х; х) = — Ц', -Р 2Ц',лй М 4Цзуз' — ВЦл . Дальше, полагая л1л 1 Цз цз 1 цз, ~ГЛ. 1 78 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО мы Получим новое выражение длн квадратичной формы: А(х;х) = — Пз +Нз -Рлзьчз — 8лз Преобразование 6 =Пз, ~з = и' -Р 2Пз, чз = Пз выделит из нашей квадратичной формы еще один полный квадрат, после чего форма примет канонический вид: .4(х1х) = — Сз + (зз — 12С,.