1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 44

Мы видели, что1 для того чтобы найти собственное значение в первом приближении [формула (2)), достаточно было знать собственный вектор в нулевом приближении. Аналогично, для того чтобы найти второе приближение к собственному значению, нам достаточно будет знать собственные векторы в первом приближении. Мы имеем (А+сВ)еь(а) = Ль(е)еь(с). Так как векторы е),...,е„ линейно независимы,то опредслитоль этой системы отличен от нуля, и числа (1, (2,..., („ определяются износ однозначно. ДОБАВЛЕНИЕ Подставим в это равенство: е,(а) = е, +-.,'"+Б2е(.2)+..., Луг(е) = Ль + ЕЛЕ( ) + Е~ЛБ( ) +...

и сравним члены при Е2. Получим Ве, +Ае =Л, егг+Ля е +Л1ге . (6) гЦ 12) 12) гЦ гЦ 12) 12) Для того чтобы найти Л, умножим скалярно обе части этого Равенства на еь. УчитываЯ, что (Аея, е1г) = 12) 12) 12) = (е„г Аегг) = Ля(е, еь), мы получим (Ве,, ее) = Л, + Л (е, еь). гЦ 12) гЦ гЦ Так как, в силу (5) (еь, ЕЬ) = О, то (Ц Л1( ) = (Веь(),еь).

Но еь —— ~, с;ег. Подставляя, получаем в силу формулы рц (3) для первого приближения (2) ч г В ч ~ (Вся ег)(Вег;еь) г=1 г=1 ггь. а так как (Веь, е1) = (Ве;, е1г), то окончательно имеем Л(2) ~ г г(ВЕ1г Ег)г г=1 гф1г где еь собственные векторы, а Лл собственные значения преобразования А,или Л = "' ~'!2 ~- Л„- Лг г=1 гфь ))2) случай кглтных совственных значений 317 3 а д а ч а.

Найти поправки дяя собственного вектора во втором приближении, умножая скаяярно обе части равенства (6) на е,. Ответ. ь.,ь,ь <л, — ль Кл, — л„) '* фь зде Кроме указанных уравнений надо воспользоваться также условием нормировки,т.е. равенством (еь + есь + е еь + ..., Еь + ееь -)- е сь + ...) = К зн) О) е)з) й 2. Случай кратных собственных значений Рассмотрим теперь случай, когда Л есть г-кратное собственное значение преобразования А. Обозначим через какие-либо г попарно ортогональных собственных векторов преобразования А, отвечающих этому собственному значению Л.

Заметим, что, так как е, (1 = 1, 2,..., г) отвечают одному и тому же собственному значению Л, то линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, отвечающим этому собственному значению. Этими линейными комбинациями исчерпываются все собственные значения преобразования А, отвечающие собственному значению Л. При замене преобразования А на А + еВ собственное значение перестанет, вообще говоря, быть кратным, и вместо Л мы получим г различных собственных значений Л) (е), Л2(е),..., Л„(е).

Соответствующие нормированные собственные векторы обозначим через Е) (Е), Е2(Е),..., Ег(Е). Например, есаи А единичное преобразование, т.е. А = Е, в и-мерном пространстве, а В произвольное самосопряженное 318 ДОБАВЛЕНИЕ Аналогично случаю простых собственных значений Ле(е) и ег(е) являются непрерывными и дифференцируемыми функциями от е. При е — 1 0 Лс(е) стремятся к собственному значению А, т.е. к Ль Мы имеем Ле(е) = Л, + БЛ(Н +.ВЛ,"'+ .. (2) Для собственных векторов е;(е) преобразования А+ ЕВ мы имеем аналогичное равенство ег(е) = е; + ее~ ~ + е~е~ 1 + .. (3) е, = 1пп ег(е), и значит, е, есть собственный вектор прес — ге образования А, отвечающий собственному значению Л.

Следовательно, е, есть какая-то, заранее нам неизвестная, линейная комбинация векторов (1). Таким образом, в отличие от случая некратных собственных значений, сами е, также подлежат определению. Подставим в равенство (А + БВ)е,;(е) = Лс(е)е,(е) выражения (2) и (3). Сравнивзяг как и в предыдущем случае, коэффициенты при е, получаем Ве +Аег =Ле; +Л,, ег, 1=1,,г. (4) Здесь вектор е; является, как было указано, линейной КОМбИНацИЕй СОбСтВЕННЫХ ВЕКтОрОВ 1"1 г... г 1",.: Ег гц21 + г1222 + ° ° + га1г. Наша цель найти число Л, и вектор е„т.е. числа (1) 7/1г г Ъ Умножая обе части (4) скалярно на ~ы получим (Вег, Я+ (Ае;,1я) = (Ле,Его) + Л, (ег Уа) преобразование с попарно различными собственными значениями Лг,..., Л„, то А = Е имеет и-кратное собственное значение 1, а А-ЬсВ = ЕН-сВ имсот и различных собственных значений 1Д-Лг с, 1 -~- Лзс,..., 1 -~- Л с. 22) слУчАЙ кглтных совстнвнных зняченнй 319 или, так как (Ае,, ~;,) = (е,", АЯ = Ль(е, ~, ~н), (Ве;, ~ь) = Л, (е,, )л).

Подставляя в левую часть этого равенства вместо е; его выражение и замечая, что (е,;, ~ь) = т1в, получим т ~<В 1, 1,.)~, = Л,"~,, р=1 (5) бьрт1р — — Л, т1ь, Ю Р=1 где ПеФ )(Ьть — Лтт,ь!) = О, а вектор е, определяется формулой ет = 11Л+" +ЬИ где числа т11 находятся из уравнений (1).

Аналогично можно было бы найти поправки к собственным векторам, т. е. еь, еь, и следующие поправ- (П (21 ки к собственным значениям, т. е. Л, (2) (ВЛ, Ь) = БЛР. (П Итак, числа Л,. являются собственными значениями матрицы ~~оьр~(, й.,р = 1,2,....,г., т.е. определяются из уравнения Израиль Моисеевич Гельфанд ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ пятое издание Редактор В. В.

Ищенко Технический редактор В. Ю. Радианов Художник Ю. Винеиний Оригинал-макет подготовлен МЦНМО Набор Ю. Е. Галлмина ООО „Добросвет" Редакция: тел. (095) 238.-23- 33 ЛР № 064934 Подписано в печать 22.09.98 Формат 84 х 108/32. Бумага офсетная № 1 Печать офсетная. Объем 10 печ. л Тираж 5000 экз. Заказ № Цена договорная По вопросам закупок обращаться в ТОО „Че1ьо". Отдел реализации: тел. (095) 939 — 34 — 39, (095) 939 47-09 Отпечатано с готовых диапозитивов Самарский дом печати. Просп. Карла Маркса, 201 .