1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu)

ББК 22.143 я 7 Г 27 Гельфанд И. М. Г 27 Лекции по линейной алгебре. 5-е изд., исправленное.-- Мл Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 1998. 320 с. 1ЯВг1 5 — 7913 — 0016 — 6 1ЯВ51 5 †7913 †0016 © Гельфанд И. М., 1998 © Добросвет, 1998 Читателю предлагается пятое, исправленное издание курса лекций И, М. Гельфанда, читавшихся автором в Московском государственном университете на протяжении ряда лет. Для студентов-математиков и широкого круга специалистов, исцользуюших методы линейной алгебры.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к пятому изданию... Предисловие к четвертому люданию Предисловие к третьему изданию .. Предисловие ко второму изданию Предисловие к первому изданию Глава 1 лл-мерное пространство. Линейные и билинейные формы .. 7 1. Линейное (аффинное) и-мерное пространство ..... 7 2. Евклидово пространство .................. 34 3.

Ортогональный базис. Изоморфизм евклидовых пространств 44 4. Билинейные и квадратичные формы........... 63 5. Приведение ква,дратичной формы к сумме квадратов . 74 б. Приведение квадратичной формы к сулслле квадратов треугольным преобразованием ..............

79 7. Закон инерции . 92 8. Комплексное п-мерное пространство........... 98 Глава П Линейные преобразовании 110 9. Линейныо преобразования и операции над ними.... 110 3 10. Инварнантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного преобразования .. 130 3 11. Линейное преобразование, сопряженное к данному .. 144 312. Саллосопряженные (эрмитовы) преобразования.

Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов, . 154 огллвлннин 3 13. Унитарные преобразования 314. Перестановочные линейные преобразования. Нормальные преобразования 168 3 15. Разложение линейного преобразования в произведение унитарного и эрмитова . 173 316. Линейные преобразования в вещественном евклидовом пространстве .. 178 3 17. Экстремальные свойства собственных значений .... 193 162 Глава П1 Глава 1У Понятие о тензорах 3 23.

Сопряженное (двойственное) пространство 324. Тензоры . 3 25. Тензорное произведение 260 260 272 293 Добавление Теория возмущений 311 3 1. Случай некратных собственных значений . 3 2. Случай кратных собственных значений 311 317 Канонический вид произвольных линейных преобразований . 200 818. Нормальная форма линейного преобразования..... 200 319. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме 207 320.

Другое доказательство теоремы о приведении к нормальной форме . 223 321. Инвариантные множители...........,.... 230 3 22. Л-матрицы 240 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее пятое издание отличается от предыдущего четвертого исправлением рлда погрешностеи и опечаток. Автор благодарит В.Ю. Радианова и редактора книги В. В. Ященко за полезные замечания. Сентябрь 1998 г. И. Гельфанд ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ В настоящее четвертое издание добавлен новый параграф «Тензорное произведение» Я 25), написанный совместно с М, И. Граевым.

Добавлены также п, б в З 9 и текст, напечатанный мелким шрифтом, в конце п.2 2'23. Автор благодарит читателей А.Г. Карновского (г. Каунас) и Ю. Г. Шмелакова (г. Москва) за замечания, позволившие исправить рлд опечаток и погрешностей. Декабрь 1970 г. И. Гельфанд ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Настоящее третье издание отличается от второго рядом переделок и добавлений в различных местах книги.

Наиболее существенное добавление -- новое доказательство теоремы о приведении матрицы к жордановой нормальной форме 12 19). За помощь в переработке книги я благодарю В. Пономарева и 3. Я. Шапиро. Благодарю также редактора книги Н.Я. Виленкина за ряд ценных советов. Декабрь 1965 г. И. Гельфанд б ПРЕДИСДОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание отличается от первого рядом сущоственных изменений и дополнений. Наиболее крупными из них являются следующие: включены два добавления, помещенные в конце книги: о вычислительных методах линойной а.чгобры и о теории возмущений, добавлен параграф, посвященный экстремальным свойствам собственных значений, и параграф о Л-матрицах (И 17 и 22), заново написана глава о жордановой нормальной форме линейного преобразования, переработана четвертая глава.

Кролю того, сделано много более мелких добавлений и изменений. Новый текст написан мною совместно с 3. Я. Шапиро. Выражаю благодарность А.Г. Курошу, предоставившему в мое распоряжение записи своих лекций по тензорной алгебре. Эа ряд ценных замечаний благодарю С. В. Фомина. Благодарю также 5Е зБ Цетлнна за помощь при оформлении рукописи и ряд советов. И. 1 еаьфанд Сентябрь 1950 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В основу настоящей книги положен курс линейной алгебры, читанный автором на механико-математическом факультете 51осковского государственного университета н в Белорусском государственном университете. В написании этой книги принял значительное участие Сергей Васильевич Фомин.

Его помощь была настолько существенна, что без нее эта книга вряд ли могла быть написана. Автор выражает благодарность доценту БГйн А. Е. Турецкому, предоставившему в его распоряжение обработанные записки лекций, читанных автором в 1945 г., а также Д. А. Райкову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему ряд пенных замечаний. Некоторые места в тексте напечатаны мелким шрифтом. Эти разделы не используются в основном тексте и при первом поверхностнолс чтении могут быть пропущены. И. Гельфанд Январь 1948 г. ГЛАВА 1 и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.

ЛИНЕЙНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ ~ 1. Линейное (аффинное) и-мерное пространство 1. Определение линейного пространства. '1асто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения н умножения на числа. Приведем несколько примеров. 1. В г е о м е т р и и объектами такого рода являются векторы в трехмерном пространстве, т.

е. направленные отрезки. При этом, если два направленных отрезка можно совместить параллельным переносом, то считается, что они опродсляют один и тот же вектор. Поэтому удобно все эти отрезки откладывать от одной какой-либо точки, которую мы будем называть началом координат. Операция сложения векторов, как известно, определяется следующим образом: суммой векторов и и р мы считаем диагональ параллелограмма со сторонами и и р. Известным образом вводится также умножение на числа. 2. В а.л г е б р е мы встречаемся с системами и чисел т = ф,~з,...,С„) (например, строки матрицы, совокупность коэффициентов линейной формы и т. д.).

Для таких систем операции сложения и умножения на числа обычно определяются так: суммой систем ((ы(з,...,(„) н р = (сд,гсз,...,гсв) ~аз~~ае~ся И-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (гл. 1 система х + у = (с1 + Ом ~г + пг,..., („+ и„). Произведением системы х = ф, ~а,..., Рв) на число Л мы считаем систему Лх = (Л6, Л~г, Лча).

3. В а н а л и з е определяются операции сложения функций и умножения их на числа. В дальнейшем мы для определенности будем рассматривать совокупность всех непрерывных функций, заданных на сегменте [а, 61. В приведенных примерах одни и те же операции сложения и умножения на числа производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, мы введем понятие линейного, или аффинного, пространства. О и р е д е л е н и е 1. Множество Л элементов х, д, г,... называется линейным (аффинным) пространством, если: а) каждым двум элементам х и у поставлен в соответпствие элемент, я, называемый суммой элементов х и у, сумма элементов х и у обозначается через х+ у, Ь) каждому элементу х и каждому числу Л оз некоторого поля поставлен в соответствие элемент Лх, называемый произведением элемента х на число Л.

Эти операции должны удовлетворять следунпцим требованиям (аксиомам): 1. 1 х+у=у+х (комм у тат ив ность) . 2' (х + у) + з = х + (у + г) (ассоциативность). 3' Существует э,лемент О такой, что т+О = х для любого х. Элемент О называется нулевым элементом.

4' Для каждого х существует элемент, обо- значаемый через — х, такой, что х + ( — х) = О. П. 1'1 х=х, 2' о(дх) = ор(х). П1. 1' (о+ Ях = ох+)3х, 2' ст(х+ у) = ох+ оу. ~ 1) ЛИНБЙНОН (АФФИННОБ) в-ЫБРНОВ ПРОСТРЛНСФВО 9 Мы не случайно не сказали, как именно определяк~тся операции сложения и умножения на числа. От этих операций требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы.

Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяютцими перечисленным выше условиям, мы вправе считать их операциями сложения и умножения на числа, а совокупность элементов, для которых зти операции установлены, линейным пространством. Предоставляем читателю проверить, что в приведенных примерах 1 — 3 эти аксиомы выполнены.

Поэтому 1.-3 являются примерами линейных пространств. Рассмотрим еще несколько примеров. 4. Совокупность всех многочленов степени, не превышающей натурального числа и, с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа образует линейное пространство. Заметим, что множество многочленов степени и не образует линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени и может оказаться многочленом более низкой степени: например (~в+~) ~ ( ~П+~) 5. Элементами пространства Л являются матрицы порядка п.