1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 8

е. Оо,еь) = У,еь). (10) Подставляя ск1да вместо 1о его выражение (9), получаем систему т уравнений С1'1е1, еь) + сг(ег, еь) + ... + с (е~, еь) = (~, еь) (л = 1,2,...,ка) (11) относительно чисел сь п-МНРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (гл. ! 54 Рассмотрим сначала отдельно часто встречающийся случай, когда базис е1, е2,..., е --. ортогональный и нормированный. В этом случае задача решается особенно просто.

Действительно, система (11) превращается в таком базисе в систему равенств (12) с,=(Е,е), сразу определяющих нужные коэффициенты. Так как в каждом т-мсрном подпространстве можно выбрать ортогональный нормированный базис, то мы доказали, таким образом, что у каждого векп1ора Е существует, и притом только одна, ортогональная проекция Ев на подпрос1аранство Л1. Вернемся теперь к случаю произвольного базиса.

В этом случае система (11) также должна иметь единственное решение. Действительно, вектор Ео, по доказанному, существует и притом только один. В базисе е1, е2,..., е,„вектор Ев имеет вполне определенные координаты с1,ся,...,с,„. Так как зти числа удовлетворяют системе (11), то зта система имеет, следовательно, единственное решение. Система Рп уравнений с неизвестными может иметь единственное решение, лишь если ее определитель отличен от нуля. Отсюда следует, что определитель системы (11) (Е1, Е~ ) (Е2, Е1) ... (ЕП„Е1) (Е1 Е2) (Е2 Е2) ..

(Еп Е2) (Е1, Е„,) (Е2, Ет) .. (Ет, Ет) отличен от нуля. Этот определитель называется определителем Грома векторов е1,ег,...,е Итак, пусть задано подпространство И1 с базисом е1,...,еел и НРоизвольнь1й векп1ПР Е пРошпРонства Л. 13] изомоефизм квклиловых пгосзтляств 55 Ортогональная проекция Д вектора 1 на !С! имеет вид Д = с!е! +... + св,ет.

При этом, если базис е!,ез.....,е,„ортогон!!лен, то я=У: ). Если зке базис е!,...,ет произволен, то козу!фициенты с; определяются как решение системы (11). Пример 1. Способ наименьших квад р а т о в. Предположим, что величина у есть линейная функция величин х!,...,х ,т.е.что ув — с!х! +... + отход~ где с!,..., с,„постоянные, неизвестные нам коэффициенты. Часто коэффициенты с!,..., с определяются экспериментально.

Для этого производится ряд измерений величин х!,...,х и у. Обозначим результаты Й-го измерения через х!ь,...., х я и, соответственно, уя. Коэффициенты с!,...,с можно было бы попытаться определить из системы уравнений хыс! + хшсз +... + х„,!с. = уп х!2с! + х22с2 + ° ° ° + хтпзст = у2~ (13) х!лс! + .'гзвеэ + ° ° + хпшеьп уп Здесь число уравнений и равно числу произведенных измерений и обычно превосходит число неизвестных (т! > т). Так как измерение величин:г!,..., хт, у неизбежно связано с погрешностями, то система (13), вообще говоря, противоречива и о ее точном решении говорить бессмысленно. Поэтому уравнениям (13) можно удовлетворить лишь приближенно. Таким образом, ставится задача разыскать такие значения неизвестных с!,..., ст, при которых левые части уравнения (13) (ГЛ.

1 п-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО были бы возможно более близки к соответствующим правым частям. В качестве «меры близости» берется так называемое коодрогоичное уклонение левых частей уравнений от свободных членов, т. е. величина (х1ьс1 + ж2ьс2 + ° ° + хевистп Уи) . (14) Ь=1 Нам нужно нанти числа с1, с2,..., с, при которых квадратичное уклонение имеет наименьшее значение. Эту задачу на минимум можно решить непосредственно. Однако се решение можно сразу получить из результатов, изложенных выше. В самом деле, рассмотрим п-мерное евклидово пространство и в нем векторы е1 = (х11,л12, .,ж1 ), Е2 = (Х21 ~ ° ° ° ~ тва ) ~ ° ° ° 1 Ет — (Лт1 ~ ° ~ Толп ) (у1,, .., у„).

Правые части уравнений системы (13) являются компонентами вектора 1, левые части ---вектора с1е1+ с2ез+... + с,е, . Выражение (14) есть, следовательно, квадрат расстояния вектора с1Р1+сзе2+...+с е от вектора (. Таким образом, условие, чтобы квадратичное уклонение было минимальным, равносильно следующей задаче: выбрать числа с1, с2,..., сга так, чтобы расстояние от вектора 2' до вектора Д = с1е1 + с2е2 +...

+ с,ве~ было наименьшим. Ксли обозначить через Л1 подпространство н-мерного пространства, состоящее из линейных комбинаций векторов е1, е2,..., е~ *), то задача состоит в нахождении проекции вектора ( на зто подпространство. как мы видели (формула (11)), числа с1, с2,..., с Мы предполагаем,что ранг матрицы системы (13) равен т и, следовательно, векторы еь ем..., е, линейно независимы. 33) ИЗОМОРФИЗМ ВВКЛИДОВЪ|Х ПРОСТРАИСТВ 57 решающие эту задачу, находятся из системы уравнений (е|, е|)с|+(е2, е| )са+...+(е, е| )сш = ((', е|), (Е|, Е2)С|+(Е2, Еа)СВ+...+(Ео,, Е2)еш = ((', Е2), (15) (Е|, Ет)С|+(Е2, Еш)СИ+...+(Епм Е,п)ся„— (Ут, Ет) где (у,еь) = ,'| хь,уу; (еоеь) = ~| хцхь .

Система (15) называется в этом случае системой нормальных уравнений. Итак, приближенное решение системы (13) состоит в замене ее нормальной системой (15) т, уравнений с т неизвестными. Изложенный метод называется способом наименьших квадратов. У и р а ж н е н и е. Решить по способу наименьших квадратов систему уравнений 2с = 3, Зс = 4, 4с = 5. Р е шеи и е. е| = (2,3,4), 7" = (3,4, 5). Нормальная система сводится в этом случае к одному уравнению: (е|, е|)с = (е|, 7), т. е.

29с=40; с= —. 40 29 Для случая, когда система (13) есть система и уравнений с одним неизвестным х|с = у|, хзс = У2, (13') х„с = у„, ~з) ИЗОЬЕОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ВРОСТРЛВСТВ 59 Р(1) = ~сьев, ь=о сь = (1, еь), (18) где т.е.,вспоминая определение скалярного произведения, имеем: 2 со = э(1)д1 сгь — 1 = э(1)согИд1 1 /' /' сэь = — / э(1)в!ВИЛ (й= 1,...,7ь).

,уд l Подставляя сь и ея (й = 1,..., п) в формулу (18), мы приходим, таким образом., к следующеььу результату: для того чпзобы опре- делит~ тригонометрический многочлен Р(1) = —" -1- Я(аь сог И -~- Ьь сйпй1), 2 ь.=1 квадратичное уклонение когпорого от заданной функции Э"(1) ми- нимально, надо определить коэффициенты аь, Ьь по формулам ао = — ~ Э'(1) д1, аь = — ( )(1) сов Ид1, Ьь = — ( Э'(1) ейпИЖ. о о о Так определенные числа аь,Ьь называются коэффициентами Фурье функпии э (1). и следовательно, квадратичное уклонение (16) есть в нашем пространстве просто квадрат расстояния от ф(1) до 1'(1).

Тригонометрические многочлены вида (17) образуют в )ь надпространство йь размерности 2п -Р 1. Нам нужно найти элемент из йы находящийсл на минимальном расстоянии от 7" (1). Эта задача снова решается опусканием перпендикуляра из точки 7" (1) на надпространство 1ьь Так как функпии 1 сове иве сог ш в1в п1 ео = , еь = ., еэ = ' , ..., ег э = ' , ег образуют ортогональный и нормированный базис в этом подпространстве (см. пример 2 предыдущего пункта), то решением этой задачи служит линейная комбинация базисных векторов (гл. с во и-ь«егное пгостглнство 3. Изоморфизм евклидовых пространств. Мы рассмотрели ряд примеров п-мерных евклидовых пространств.

Эти пространства отличались одно от другого во всяком случае способом задания векторов (так, в примере 2 32 вектор есть совокупность п чисел, в примере 5 '3' 2-"- многочлен и т. д.). Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и для каких различие является лишь чисто внешним, т.е. различны лишь способы задания этих пространств? Для того чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два евклидовых пространства мы будем считать липсь несущественно различающимися (изоморфными). О п р е д е л е н и е 3. Два евклидовых пространства Л и Лс называются изоморфными, если между их злеменлпамп можно уетановисть взпимно однозномное.

соответствие х «-с х' (х е Л, х' е Л') таь, нто: 1' Если х с-~ х' а д «э у', гссо х + у «-с х' + у', т. е. если вектору х б Л сооспвепсствует вектор х' Е Л', а вектору д Е Л соответствует, вектор дс Е Лс, то ссдмме х+ у сооспветепсвуесп сумма х + у . 2' Если х «э х', то Лх «-с Лх'. 3' Если х «-с х' и у ~-~ у', то (х, у) = (х', у'), т. е.

скалярные произведения соопсветепсвуюисих пар векторов равны между собой. Таким образом, евклидовы пространства Лс и Лз изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства и этот изоморфизм таков, что он сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов. Если в каком-нибудь и-мерном евклидовом пространстве Л доказана теорема, сформулированная в терминах сложения, умножения на числа и скалярного произведения векторов, то эта же теорема верна и в любом изоморфном ему пространстве. В самом деле, если как 1з) изомОРФизм евклилоных ВРОстРлнств б1 в формулировке, так и в доказательстве такой теоремы заменить векторы из Л соответствующими им векторами из Л', то в силу свойств 1', 2', 3' определения изоморфизма все рассуждения останутся справедливыми, т.

е. соответствующая теорема верна и в Л'. Вернемся к вопросу, поставленному ранее. Оказывается, что имеет место следующая Т е о р е м а 2. Все евнлидовы пространства данной размерности изоморфны между собой. Доказательство. Докажем, что все и;мерные евклидовы пространства изоморфны специально выбранному «стандартному» п-мерному пространству. Тем самым будет доказано, что все и-мерные евклидовы пространства изоморфны между собой. В качестве такого стандартного и-мерного пространства Л' мы возьмем рассмотренное в 2 2 (пример 2) пространство, в котором вектор определяется как со- ВОКуПНОСтЬ дЕйетВИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Х = (Ь1, С2,, Св) а скалярное произведение векторов х' = (С1,С2,..., С„) и у' = (т11, т12,..., т1„,) задаемся формулой (х, у ) = ~1111 + (2тт2 +...

+ сатйт. Пусть нам дано какое-либо и;мерное евклидово пространство Л; выберем в нем нормированный ортогональный базис е1, е2,...., е„(мы доказали ранос, что во всяком евклидовом пространстве такой базис существует). Поставим в соответствие вектору х = С1е1+ сзе2+... + С,„е„, совокупность п чисел С1, С2,..., С„, т. е.

вектор — (6 6 ° ° ьо) из Л'. Покажем., что установленное соответствие есть изоморфизм. п-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (ГЛ. 1 62 Это соответствие взаимно однозначно. Нужно проверить, что выполнены условия 1' — 3' определения изоморфизма. Свойства 1' и 2' очевидны. Проверим свойство 3', т.е. равенство скалярных произведений соответствующих друг другу пар векторов.