1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 5

1 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО одномерное подпространство 1прямая, по которой пересекаются эти плоскости). 11о двум подпространствам Л1 и Л2 можно построить еще одно подпространство,которое называется их суммой. Оно определяется следующим образом. Векторами этого подпространства являются всевозможные суммы вида (11) Х = Х1+Х2, где х1 Е Л1, х2 Е Л2. Легко проверить, что элементы вида (11) образуют подпространство. Это подпространство Л называется суммой подпространств Л1 и Л2 и обозначается Л1 + Л2 ° Заметим, что, в отличие от прямой суммы двух подпространств, запись элемента из Л в виде (11) может быть неоднозначной. У п р а ж н е н и е.

Показать, что сумма двух различных двумерных подпространств трехмерного пространства Л есть все это пространство. Имеет место следующая теорема: Т е о р е м а 4. Пусть заданы два Надпространства Л1 и Л2 пространства Л. Тоеда сумма размернощпей Л1 и Лз равна размерности их суммы плюс размерность пересечения.

Д о к аз атель ство. Выберем в пересечении Ла = Л1 П Л2 базис Е1,..., .ЕЯ. (12) Дополним этот базис с одной стороны до базиса в Л1.. Е1,...,Е.,Л, (13) и с другой стороны до базиса в Л2. (14) е1 выд1 д ~ 1) ЛИНЕЙНОЕ (АФФИННОЕ) в-МЕРНОЕ НРОСТРАНСТВО 31 Покажем, что векторы 11 Л с1 се д1 д (1б) образуют базис в сумме Л = Л1 + Лз. Сначала покажем, что эти векторы линейно независимы. Действительно, пусть А~Л +... +АЕ1~+р~е1+... +Ньеь+гчд1 +... +РРд,„= О, Тогда Л1У1+... + А~Л+ р~е1+... + Нясь = — 11д1 —...

— Р,„дво Левая часть этого равенства есть вектор из Лм правая из Лз. Таким образом, эта правая часть есть одновременно вектор из Л1 и из Лсо т. е. принадлежит Ло и, значит, выражается как линейная комбинация базиса ем .,.,еь подпространства Лсс — и1 д1 —... — Р,„д,, = с| е1 +... + сьеь. В силу линейной независимости векторов (14) это возможно только, когда все коэффициенты нули. В частности, м1 =... = иФ = О, т.

е. Л1~1 +... + Л~~~ + р|е1 +... + пьеь = О. Из линейной независимости векторов (13) получаем, что и все коэффициенты ЛМ..., Лб дп..., р;, равны нулю. Таким образом, линейная независимость системы (15) доказана. Покажем теперь, что всякий вектор х Е Л выражается как линейная комбинация векторов этой системы. По определению Л вектор х можно представить в виде: х = х1+хг, где х1 Е Лы хз Е Лз. Так как х1 е Лм то его можно представить как линейную комбинацию векторов (13). Аналогично хз Е Лз и хз можно представить как линейную комбинацию векторов (14).

Складывая, получим, (гл. г 32 п-МНРНОЕ ПРОСТРАНСТВО что вектор т представим как линейная комбинация системы (15). Итак мы получили, что векторы 1м...,уб еы...,еь, дм...,д с одной стороны, линейно независимы и, с другой стороны, всякий вектор из Л есть их линейная комбинация. В силу замечания на стр.16 отсюда следует, что эти векторы образуют базис в Л. Итак, мы имеем й векторов (12), образующих базис в Лп, А+1 векторов (13), образующих базис в Лм ге+ гп векторов (14), образующих базис в Л2, и й+ 1+ гп векторов (15), образующих базис в Л = Л1+Л2.

Утверждение теоремы обращается, таким образом, в тождество (Й + 1) + (й + т) = (Й + 1+ т) + гс. Теорема доказана. У п раж пение. Проверить теорему для случая, когда йг и Лз двумерные подпространства трехмерного пространства. Из доказанной теоремы следует, например, что двум 15-мерным подпространствам етесно» в 28-мерном пространстве . - - они пересекак>тся по крайней мере по двумерному подпространству (плоскости). Действительно, сумма их размерностей равна 30г а размерность суммы не может, конечно, превосходить размерности всего пространства, т.

е. 28. У п раж пения. 1. Каково наименьшее число измерений пространства, в котором две плоскости могут пересечься в точкеу 2. Доказать,что если Лг П йе есть нулевое подпространство, то В = йг -Р Лг есть пряглвя сумма гсг и Лг,т.е. В = Нг Рл Дг. Из результата этого упражнения видно, что теорема 3 этого пункта есть частный случай теоремы 4. г 1) линкйнОк (АФФиннок) 'и-мкРнОН ИРОстРАнстВО 33 У и р а >к н е н и е. Показать, что ес.зи имеется разложение Е в прямую сумму В=22! Н!Яз, то пересечение Л! и Вз равно нулю и, следовательно, сумма размерностей этих подпространств равна и. 7. Преобразование координат при изменении базиса.

ПУсть е1, ег,..., еп и е!1., е!г,..., е!„Два базиса и-меРного пространства. Пусть, далее, каждый вектор е'; выражается через векторы первого базиса формулами ! Е, = аЫЕ1+ а21Е2 +... + ап1Е„., ! Р2 а12е1 + а22Р2 + ° + ап2еп (16) ! Е„= азпЕ! + агпЕ2 +... + аппЕ„. Тогда переход от первого базиса ко второму задается матрицей А = '3агя~~, определитель которой отличен от нуля *). Обозначим через С! координаты вектора х в первом базисе, а через С,' его координаты во втором базисе. Найдем, как выражаются координаты С,; 'через Сд. Мы имеем: и = С1Е1 + Сгсг+ .. + Созсп ~1Е! + Сдгсг + ° + (~Е~ ° Подставив в это равенство вместо е,', их выражения через еб получим: *=6Е1+6сг+... +Сосо,= С! (а1! Е1+а21Ег+ ..

+а„„сп)+ +Сг(а12Е1+аггсг+...+Нпгс„)+ +Со(а1пс +аг„с +...+апаса). Так как е; линейно независимы, то коэффициенты при них в правой и левой частях равенства одинаковы. Ес !и бы определитель матрицы А был равен нулю, то векторы е!., еь..., е'„были бы линейно зависимы. (ГЛ. 1 и;МВГНОН НГОСт1ЛНСтВО Получаем: С1 = аПС1 + а12С2 + " + а1пС', С2 = аЫ1 + аЫ2 + + С', (17) б,„ = ап1С'1 + ап2б2 + . . + Оп С„'. Сравним формулы (16) и (17). Между ними есть два существенных отличия: во-первых, поменялись местами штрихованные и нештрихованные буквы и, во-вторых, в формулах (16) при суммировании меняется первый индекс, а в формулах (17) второй.

Таким образом, .координатны С, вектора и в первом базисе выражаются через координаты того же вектора и во втором базисе с помощью моп1рицы А', транспонированной к А. Этот результат можно представить и в другой форме. Решим уравнения (17) относительно (1пц2,...,(„'. Получим: 11 = 6пб + 6126+ . + 61п1п, с2 — 621ч1 + 622с2 + ° ° ° + 62пчп~ 1„' = 6п16+6п2Ь+... +6пп1„ где 61ь являются элементами матрицы, обратной к матрице А'. Таким образом, мы видим, что координаты вектора преобразуются с помощью матрицы Ю = = ((6,ь((, являющейся обратной к А', где А' матрица, транспонированная, к матрице А, задающей преобразование базиса.

2 2. Евклидова пространство 1. Определение евклидова пространства. В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) 12) евклидова и осп листве с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения. С помощью этих операций можно сформулировать, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, чтб такое параллельные прямые и т, д. Однако этих понятий недостаточно, чтобы охватить все многообразие фактов, составляющих содержание так называемой евклидовой геометрии. Например, в одних терминах сложения и умножения на число мы не сможем дать определение длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения векторов и т.д.

Ввести эти понятия проще всего следующим образом. Выберем в качестве основного понятие скалярного произведения, которое определим аксиоматически. В терминах сложения векторов, умножения их на числа и скалярного произведения векторов мы сможем развить всю евклидову геометрию. О пред ел е ни е 1. Будем говорить, что в вещественном пространстве В определено скалярное произведение, если каждой поре векторов х.,у Е Л поставлено в соответсгпвие действительное число, которое обозначим через (х,у) причем зто соответствие обладает, слесдующими свойствами (удовлетворяет следующим аксиомам): 1' (х,у) = (у,х), т.

е. скалярное произведение симметричн,о. 2' (Лх, у) = Л(х, у), где Л вЂ” — дейсгавительное число. 3' (хь + хз, у) = (хы у) + (х2, у) (дистрибутивность скалярного произведения) . 4' Скалярное произведение вектора с самим собой нсотрииатсльно; (х,х) > О, и обращается в нуль, лииьь если х = О. Аффинное пространство, в котором определено скалярное произведение, .удое.летворяющее условиям 1' -4', мы называем евклидовым.

(ГЛ. 1 и-мяснов нгостгпнство П р и м е р ы. 1. Под векторами пространства Л мы будем понимать векторы изучаемого в элементарной геометрии трехмерного пространства (пример 1 21). Скалярное произведение векторов определим как произведение их длин на косинус угла между ними. Можно проверить, что аксиомы 1'-4' действительно выполнены. Мы предоставляем эту проверку читателю. 2. Векторами пространства й мы назовем всякую сиСтЕМу П дЕйетВИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Х = (С1, С2,..., Сп). СЛО- жение векторов и умножение их на число определим так (пример 2 2 1): х + У = ф + Ч1., ~2 + Ч2,..., ~„+ Ч,), Лх = (ЛС1, Л(2,..., ЛС„), где (с1~ с2~ .

~ сп)~ У (Ч11Ч2~ .. ~ Чп) Скалярное произведение векторов х и у определим формулой (х~ У) с1Ч1 + с2Ч2+ ° ° ° + спЧп. Легко проверить, что аксиомы 1'-3' действительно выполнены. Аксиома 4' также справедлива, так как (х,х) = 2 С2 ) О и (х,х) = 2С2 = О только при ь1=ьз= ° ° ° =с =О. 3. Рассмотрим пример более общий, чем пример 2. Вектор по-прежнему определим как совокупность и действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на числа определим так же, как в примере 2.

Зададимся некоторой матрицей ~)а1ь ~~. Скалярное произведение векторов х и у определим формулой (Х У) = а11С1Ч1 + а12С1Ч2 +... + а1пС1Чп + + а21(2Ч1 + а22~2Ч2 + ., + а2 ЬЧ + + ап1спЧ1 + ап2СпЧ2 + .. + <1ппСпуп. (1) 22) ВВКЛИДОВО НРОГТРАНСТВО (2) агт = аь„ т.е. чтобы матрица ((а;ь~~ была симметричной. Аксиома 4' требует, чтобы выражение (х,х) = ~~г н,ьЯь г,гг=1 (3) было неотрицательно для лк>бых с1, С2,..., ~„и обращалось в нуль, лишь если ~1 = ~2 =... = ~п = О. Однородный многочлен (гквадратичная формаг) „ определяемый формулой (3), называется положительно оггределеиным, если он принимает лишь неотрицательные значения и обращается в нуль., лишь когда все с; равны нулю. Аксиома 4' требует, следовательно, чтобы квадратичная форма (3) была положительно определенной.

Итак, всякая матрица 2а,;я~~ задает скалярное произведениег определяемое формулой (1), если только зта матрица симметрична [условие (2)) и соответствующая ей квадратичная форма -- положительно определенная. Если в качестве матрицы ~~а;ь(( взять единичную матрицу, т.е. положить ан = 1 и агг = О (г ф а), то скалярное произведение (х, у) примет вид и (*,у) =,'г 1гуг г=1 Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу ~~а1ь~~, чтобы выражение, опредетяемое формулой (1), действительно удовлетворяло всем аксиомам скалярного произведения.

Непосредственной проверкой убеждаемся в томг что аксиомы 2' и 3' выполнены для всякой матрицы ~~а,ь~~. Для того чтобы была выполнена аксиома 1', т. е. чтобы выражение (хгу) было симметричным относительно х и у, необходимо и достаточно, чтобы (гл. ~ и-МВРНОЕ ПРОСТРАНСТВО и мы получим евклидово пространство, определенное в примере 2. 1'О й У п раж пение. Показать, что Рлатрица ~ ) непригодна длл построения скалярного произведения (соответствующал ей квадратичная форма не является положительно определенной), а й й матрица ( ц определяет скалярное произведение, удовлетворяющее аксиомам 1* — 4'.

В дальнейшем (з б) будут указаны простые условия, дающие возможность проверить, будет ли данная квадратичная форма положительно определенной. 4. Векторами пространства Л мы будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а, 6); скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения 6 1(т)д(т) Ж.