1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 2

Суммой матриц 9п,ь(( и )(Ь,ь)! называется матрица ()п,ь + 5;ь)), произведением матрицы ()а;ь)! На число Л вЂ”. матрица ((Ла,ь)!. Нулевым элементом при этом будет матрица, состоящая из одних нулей. Можно проверить, что все аксиомы линейного пространства здесь выполнены. 6. Совокупность всех многочленов степени, не превышая~щей натурального числа и, и имеющих положительные коэффициенты, не образует линейного пространства: есни многочлен Р(х) входит в эту совокупность, то — Р(ж) в нее не входит. п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (гл. ь 7. Не образует линейного пространства и совокупность непрерывных функций на сегменте [а,б] таких, что ~~(х)~ ( 1: из того, что ~~1(х)~ ( 1 и [)э(х)~ ( 1, не следует ~ (1 (х) + ~а(х) [ ( 1. Элементы линейного пространства мы будем называть векторами.

То обстоятельство, что это слово часто употребляется в более узком смысле (так, как в примере 1), не должно нас смущать. Геометрические представления, связанные с этим словом, помогут нам уяснить, а иногда и предвидеть, ряд результатов. Если числа Л, д,..., участвующие в определении линейного пространства, вещественны, то пространство называется веиьествснным линейным пространством. Если же эти числа Л, р,... берутся из поля комплексных чисел, то П называется комплексным линейным пространством. Более оощо, мы можем предполагать, что Л, р,... элементы произвольного поля ТС.

Тогда Я называется линейным пространством нод полем К. Многие понятия и теоремы, излагаемые ниже, в частности, все содержание этого параграфа, автоматически переносятся на линейные пространства над любым полем. Однако в главе 1 мы будем обычно предполагать, что Л воществонное линейное пространство. 2. Число измерений (размерность) пространства. Важную роль в дальнейшем будет играть понятие линейной зависимости и линейной независимости векто- ров. 0 и р е д е л е н и е 2. Пусть П линейное пространство. Векторы х, у, з,..., и называютея линейно зависимыми, если существуют такие числа сг,(1,'у,...,О, из которые хотя оы одно отлично от нуля, что ах+ Ду+ уз+...

+ 0и = О. (1) Векторы, не являкзщиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, ~ 1) линейное (аффиннов) и-мяснов пеостеаяство 11 векторы х, у, х,..., и называются линейно независимыми, если равенство стх + 1зу + ух +... + Ои = О возмозкно только при се = 1з' = у =... = 0 = О. Пусть векторы х,у,х,...,и линейно зависимы, т.е.

пусть они связаны соотношением вида (1), в котором хотя бы один из коэффициентов, например сх, отличен от нуля. Тогда ох = — 1зу — ух —... — Ои и, разделив на о и положив — — =Л, Р7 о о получим; х = Лу+ ух+... + ~и. (2) Если вектор х выражается через векторы у, х,..., о в виде (2), то мы будем говорить, что х есть линейная комбинация векторов у, х,..., и. Таким образом, если векторы х, у, г,..., о линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией осньальных.

Мы предоставляем читателю проверить, что верно и обратное, т.е. что векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линшЪно зависимы. У п р аж не пня. 1. Проверить, что если среди векторов х, р, з,..., е имеется нулевой вектор, то зти векторы обязательно линейно зависимы. 2. Показать, что если к линейно зависимым векторам х, у, х, .

добавить еще произвольные векторы и, е,..., то все зти векторы вместе также будут линейно зависимы. 3. Доказать, что если векторы у, х,..., е линейно независимы и вектор х есть их линейная комбинация (3) х = оу+,Зз+... + бе, то представление (3) единственно. 12 )гл. ~ и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО У к а з а н и е. Предположить, что ость другое представление: л = О1 У + ОЫ +... + е1е, и вычесть равенство (4) из равенства (3). Перейдем теперь к определению понятия чис.лп измерений (размерносгпи) пространства. В совокупности векторов на прямой всякие два вектора пропорциональны, т.е.

линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но уже всякие три вектора линейно зависимы. Если Л - совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в Л найти можно, но всякие четыре вектора линейно зависимы. Мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем., что в геометрии принято называть числом измерений прямой, плоскости, пространства. Естественно поэтому следующее общее О и р е д е л е н и е 3.

Линейное пространсчвво Л называется и-мерным, если в нем суи)ествует п линейно независимых векторов и нет больщеео числа,линейно независимых векторов. Если в пространстве Л можно найти любое число линейно независимых векторов, то Л называется бесконечномерным. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. Мы будем в этой книге заниматься в основном пространствами конечного числа измерений. Найдем в каждом из рассмотренных выше примеров 1ый размерность соответствуя>щего пространства. 1.

Как мы уже указали, в пространстве Л примера 1 имеется три линейно независимых вектора, .а всякие четыре вектора линейно зависимы. Поэтому Л трехмерно. з 1) линкйнОк (АФФиннок) 'и-мкРнОН 7!РОстРАнствО 13 2. Л пространство, векторами которого являются системы п действительных чисел. В этом пространстве можно указать и линейно независимых векторов, например х1 = (1,0,...,0), хз = (0,1,...,0), х„= (О, Ог, .., 1) (мы предоставляем читателю доказать, что эти векто- ры действительно линейно независимы). У п р а ж н е н и е. Показать, что векторы хг = (77гг, Огг,..., Ш ), хг = (О, 7722, ...,77г ), хг=(0, О, ...,г7г ), х = (О, О, ..., П„ ) в пРостРанстве й также линейно независимы (77пг7гг ., 77 а ~ 0). 3.

Л пространство непрерывных функций. Пусть Х произвольное целое число. Тогда функции 77(1) = = 1, 1з(1) = 1, ..., 7А711) = 7~ образукзт совокупность 717 линейно независимых векторов (доказательство предоставляем читателю). Мы видим, что в этом пространстве имеется произвольное число линейно независимых функций, т. е. Л бесконечномерно. 4.

Л пространство многочленов степени ( и — 1. В нем и многочленов 1, ге..., 7в ' линейно независимы. 5. В пространстве квадратных матриц Оаев~~ порядка и все матрицы, у которых на одном каком-либо месте стоит единица, а на остальных местах нули, линейно независимы. В примерах 1, 2., 4 и 5 мы нашли систему таких линейно независимых вектоРов )7,..., 1в, что кажДый ~гл. г п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО вектор д есть их линейная комбинация.

Чтобы установить, что размерность каждого из этих пространств Равна числУ вектоРов Уг,..., 1„, нам остаетсЯ Доказать, что в этих пространствах нельзя найти другой системы линейно независимых векторов дг,...,дг в количестве, превосходящем н. Этот факт можно вывести из следующей полезной леммы, которой мы неоднократно будем пользоваться и в дальнейшем. Л е м м а. Пусть в линейном пространстве задана система из векторов Пусть, далее, каждый из векторов дг дг ешпь линейная комбинация векторов з"г,...,~ь. Тогда, если векторы дг,..., дг линейно независимы, то 1 < ул Другими словами, среди линейных комбинаций А.

векторов 1г,..., ~ь не может быть больше чем й линейно независимых. Д о к аз а т ел ь с т в о леммы проведем по индукции. Нри А = 1 она очевидна. Предположим, что лемма верна для Й вЂ” 1 векторов гг.....,1ь г, и докажем при этом, что она верна для Й векторов. Итак, пусть среди линейных комбинаций векторов лг~ ~Лс есть линейно независимые векторы дг,..., дг: дг = оггА+ + еггьЬ, д2 сг21зг + + еггьзя~ дг = огг Л + " + сггь й. Нам надо показать, что 1 < к.

Если все коэффициенты при 1ь равны нулю, лемма доказана, так как в этом Х Ц ЛИНЕЙНОЕ (СсФФИННОЬ) И-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 15 случае, по предположению индукции, имеет место равенство 1 < Й вЂ” 1, а значит, и подавно, 1 < Й. Пусть хотя бы один из коэффициентов при 1ы например схно не равен нулю. Чтобы провести индукцию, мы построим 1 — 1 новых линейно независимых векторов, которые будут линейными комбинациями векторов ~п... с )ь Для этого из последнего равенства выразим )ь: 1 ОП ОЙЬ вЂ” Х Ь = — дс — — Л вЂ” "— ' Ь-х сия оссс ас ь Это выражение для ~ь подставим теперь в каждое из первых 1 — 1 равенств (5) и соберем подобные члены.

Мы получим равенства следующего вида: дх — дс = ()ххах+. + Я,ь-хБ-п охь '-"и СХ2Ь 92 УС Сх21,С1 + + Сх2,Ь вЂ” 1Ь вЂ” П ос/с (6) ос — х,ь Ус-~ — ' Ун = А-цх.Б+ +Й-ць-хй-х ОС/с Эти равенства означают, что каждый из 1 — 1 векторов ои с сч-ць Ух = Ух дс дс — х = Уь-с Уп ось ом есть линейная комбинация векторов (и ...,~ь и Если мы докажем, что они линейно независимы, то, по предположению индукции, отсюда будет следовать, что 1 — 1 < Й вЂ” 1, т. е.

1 < Й. Таким образом, нам осталось показать, что векторы д~х,...,У1 х линейно независимы. Но это почти очевидно. Действительно, предположим, что Лм... с Лс такие числа,что Л,д',+...+Л,,д,', =Ос )гл. ~ п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО т. Р. что О1ь '1 ( ~~ — ць л, д,— д, +...+л,, д,,— д, =о. ои ом Раскрывая скобки, получаем: л,д,+л,д,+...+л,,д,,— — л, "+...+л,, ' ':" д,=о. Так как векторы ды..., дс линейно независимы, то все коэффициенты в последнем равенстве равны нулю. В частности, Л1 = Лз =... = Л~ 1 = О, а это означает, лто векторы дт,..., д~ линейно независимы.,Лемма полностью доказана.