1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 4

Ввиду равноправности, в нашем построении, пространств Л и Л', каждому х' отвечает элемент из Л и притом только один. Из установленного закона соответствия сразу следует, что если х ~-> х' и у е+ у', то х+у <-1 х'+у' и Ах <-! Лх'. Изоморфизм пространств Л и Л', таким образом, доказан. Итак, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ~гл. с В 33 мы еще вернемся к понятию изоморфизма по другому поводу.

5. Подпространства линейного пространства. Определение 7. Подпростпранспсвом Л' пространства Л называетпся совокупноспсь элементпов из Л таких, что они сами образуют линейное простпранство относительно уже введенных в Л операций сложения и умножения на числа. Иначе говоря, совокупность Лс элементов я, у,... из Л образует линейное надпространство пространства Л, если из х б Л', у Е Л' следует г, + у Е Л', Лх е Л'. П р и м е р ы.

1. Нулевое подпространство, т. е. надпространство, состоящее из единственного элемента — — нуля. 2. Все пространство Л. Нулевое подпространство и все пространство называются обычно несобственными подпространствами. Приведем несколько более содержательных примеров надпространств. 3. Л -трехмерное пространство. Рассмотрим какую-либо плоскость в Л, проходящую через начало координат. Совокупность Лс всех векторов, лежащих в этой плоскости, есть подпространство. 4. В пространстве, векторами которого являются системы и чисел т = ф, ~з,...,~„), совокупность всех тех векторов т = 1сс,(в,...,~„), для которых (с = О, образует подпространство.

Более общо: совокупность векторов х = ф, ~з,..., ~„), удовлетворяющих усяовию ас(с + аз~э +... + аас„= О, где ас,аз,..., а„-- -какие-то фиксированные числа, образует подпространство. 5. В пространстве всех непрерывных функций совокупность многочленов степени ( и является подпространством.

'21) линейное (аэфиннов) и-мвгнок пространство 25 Очевидно, что во всяком подпространстве Л~ какого- либо пространства Л содержится нулевой элемент пространства Л. Поскольку любое подпространство само по себе является линейным пространством,то все такие понятия, как базис, число измерений пространства и т.д., которые мы ввели выше, применимы и к подпространствам. Так как в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов, чем во всем пространстве, то размерность любого надпространства не превосходит размерности всего пространства.

У п р а ж н е н и я. 1. Доказать, что если подпространство 11' пространства Я имеет ту же размерность, что и все пространство В, то оно совпадает с Л. 2. Доказать,что если Вг и Лг надпространства пространства й, и если Лг С Яг и размерности йг и йг совпадают, то Лг = Вг. В каждом пространстве Л можно строить надпространства следующим общим приемом: возьмем в Л произвольное (конечное или бесконечное) множество векторов е,у,д,...; тогда совокупность Л' всех линейных комбинаций выбранных векторов е,1,д,... есть надпространство пространство, Л. Действительно, складывая между собой и умножая на числа линейные комбинации векторов е,1",д,..., мы снова получим линейные комбинации векторов е, 1, д,..., т. е.

элементы из Л'. Полученное таким образом подпространство Л' называется подпространством, порожденным векпгорамгг е, у, д,... Оно является наименьшим линейным подпространством, содержащим данные векторы е,),д,... Подпространство Л', поронсденное линсейно независимыми векторами е1,еа,...,ея, является И-мерным и векторы еь, е2,...,еь образуют в нем базис. Действительно, в Л' имеется система й линейно независимых п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ~гл. ь векторов, именно, сами векторы е1, еч,..., Еь.

С другой СТОРОНЫ, ЕСЛИ Х1, Хч,...., Х1 — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНО НЕ- зависимые векторы из Л', то так как они являются линейными комбинациями векторов е1, ез,..., еь, то, согласно лемме п.2, 1 < к. Следовательно, Л' к-мерно и набор векторов е1, ез,..., еь есть один из возможных базисов в Л'. У п р а ж н е н и е.

Показать, что в и-мерном пространстве существуют подпространства всех меньших размерностей. Если исключить из рассмотрения не представляющее интереса нулевое подпространство, то самыми простыми являются одномерные подпространства. Ьазис всякого такого подпространства состоит из одного вектора е1. Таким образом, одномерное подпространство состоит из векторов вида сле1, где о - — произвольное число. Прибавим к каждому из векторов сле1 один и тот же вектор хе. Мы получим совокупность векторов вида х = хо+ сле1, где сл пробегает все числа, а е1 и хе фиксированные векторы.

Эту совокупность векторов естественно, по аналогии с трехмерным пространством, назвать прямой в линейном пространстве Л. Аналогично, векторы вида суе1+ Дез, где е1 и ез-— фиксированные линейно независимые векторы, а сг и 1з произвольные числа, образуют двумерное подпространство. Совокупность векторов х = хо+ ые1+ фее, где хо -- фиксированный вектор, мы называем плоско- спгью (двумерной). У п раж пения. 1. Показать, что в пространстве, где векторами яьшяются системы и действительных чисел 1см сз,..., с,П, совокупность векторов, удовлетворяющих соотношению а1с1 -Р ассе +... -1- а„(„= О з Ц линнйнОИ (АФФинноед 'и-мнРнОБ ИРОстРАнствО 27 (о!, ое,..., о — фиксированные числа, не все равные нулю), образует подпространство размерности и — 1. 2.

Показать,что если два подпространства й! и Ягпространства 77 имеют общим лишь нулевой вектор, то сумма их размерностей не превосходит размерности Л. 3. Показать.что размерность подпространства,порожденного векторами е, 7, д,..., равна максимальному числу линейно независимых векторов среди них. 6. Разложение пространства Я в прямую сумму надпространств. Сумма и пересечение надпространств.

Пусть заданы два подпространства и-мерного пространства Л. Обозначим их В! и Л2. О пр е деление 8. Ьслн каждьпй вектпор х пространства Л можно, и притом единственным образол1, представить как сумму двух векторов З1 + Х2~ где х! Е Л1, а х2 Е В2, то говорят, что пространство Л разложено в прямую сумму подпространств В! а Л2. Это обычно записывают так: В = Л163Л2. Творе ма 3. Для того чтобы пространство Л разлагалось в прямую сумму надпространств Л! и В2, достаточно, чтобы: 1. 11одаространства Л1 и Л2 имело только один обо!ий вектор х = 0 (нулевой вектор1, 2. Сумма размерностей з!пих подпространств была равна размерности просп!ранства Л.

Д о к аз а тел ь с т в о. Выберем некоторый базис е1,..., еь в подпространстве Л! и базис 11,..., у! в подпространстве Л2. Поскольку сумма размерностей Л! и В2 есть и, то общее число этих векторов к + 1 = и. Покажем, что векторы е1,...,еь, 2'1,..., 7! 28 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО линейно независимы, т. е. образуют базис пространства Л. Действительно, пусть Л1 е1 +...

+ ЛЕЕР + р. ~Л +... + 10~~ = 0; отсюда Л1е1 +... + Льеь = — для —... — 1ТСЛ. Левая часть этого равенства есть вектор из Лм а правая из Лз. Так как, по условию, единственный общий вектор Л1 и Лз есть нулевой вектор, то л1е1 +... + льеь = О, (10) р Л+" +рсА =О 11о каждый из наборов ем..., еь и 1м..., ~~ состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в Л1 и Лз. Поэтому из первого равенства (10) следует. что л =...=л„=о, а из второго следует, что р,=...=р,=о. Следовательно, система ем..., ЕР,1д,..., ~с состоит из п линейно независимых векторов, т. е. это есть базис в пространстве Л. Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые А векторов которого образуют базис в Лм а последние 1 -базис в Л:.

Произвольный вектор и из Л можно разложить по векторам этого базиса т = алел+... + Оьеь+ рл1л+... + Ыь При этом жл = сллел +... + Оьея Е Лл те = А Л + + РЕЛ е Лз. 2 !1 линейное Р!ФФинное) и-!!егное ИРОстРлнство 29 Таким образом, Х = Х!+Х2, где х! е Л! и т2 е Л2. Покажем, что это разложение единственно.

Предположим, что существуют два разложения; х =х!+х2, гДе х! ЕЛ!, .х2 е Л2, т1+ Р2 !де х1 ~ Л! Т2 ~ Л2 /, I I I Вычитая второе равенство из первого, получаем: О = х! — х! + х2 — х2, откуда / / Х1 Х! Х2 Х2 Так как вектор, стоящий в левой части равенства, принадлежит Л1, а вектор, стоящий в правой части, принадлежит Л2, то каждый из этих векторов равен нулю, т. е. I Х! =Х1, Р Х2 = Х2. Единственность разложения доказана. Допустим, что нам задано два произвольных подпространства Л» и Л2 линейного пространства Л. Легко проверить, что совокупность векторов, принадлежащих обоим этим подпространствам, также есть подпространство Лз пространства Л. Это подпространство называется пересечением Л! и Л2 и обозначается ЛО = Л! !! Л2 ° Например, если Л! и Л2 два двумерных подпространства трехмерного пространства (две плоскости, проходящие через начало координат), то Л! П Л2 есть ~ГЛ.