1611141286-a616587545d6a5af2949604b5f629cc7 (Гельфанд 1998 Лекции по линейной алгебреu), страница 3

Из доказанной леммы вытекает следующий, часто оказывающийся полезным результат: если в пространстве Л существуют к линейно независимых векторов ~ы..., ~ь таких, что ктжоый вектор из Л есть их линейная комбинация, то пространство Л а-мерно. Доказательство этого факта ввиду его простоты мы оставляем читателю. В каждом из примеров 2, 4 и 5 такая система была выбрана. Таким образом показано, что в примерах 2 и 4 размерность пространства равна и, а в примере 5 размерность пространства равна и . У и р а ж н е н и е.

Показать, что если векторы Л,..., ~е, входящие в условие леммы, линейно зависимы, то 1 < й (а не только 1<к). 3. Базис и координаты в ть-мерном пространстве. О и р е д е л е н и е 4. Совокупность п линейно независимых векторов еы ез,..., е„п-мернозо пространства, Л называется базисом в Л.

Например, в пространстве Л, рассмотренном в примере 1 (трехмерном пространстве), базис обра- в 1) линнйнОН (АФФиннОР) 'а-мнРнОБ ИРОстРАнствО 17 зуют любые три вектора, не лежащие в одной плоскости. По определению п-мерного пространства в нем существует и линейно независимых векторов, т. е. существует базис. Покажем, что произвольную систему из й линейно независимых векторов 1ы...,~ю где Й < и, можно дополнить до базиса в и-мерном пространстве П,.

Пусть е1,,..,е„, какой-либо базис в В. Если бы каждый из векторов е1,..., е„был линейной комбинацией векторов 1';, то, согласно лемме., мы имели бы, что и < к, в то время как, по предположению, й < и. Значит, среди векторов е1,..., е„есть хотя бы один, например ер„не являющийся линейной комбинацией векторов з'1,..., 1ь. Добавив вектор е„, к 1"1,..., ~ю мы получим систему из к+ 1 векторов, которые по-прежнему линейно независимы 1почему?).

Если к + 1 < и, то среди векторов е1,...,е„снова есть вектор ер„не являющийся линейной комбинацией векторов 71,..., 1ы е„,. Добавим и этот вектор к системе. Этот процесс можно продолжить до тех пор, пока мы дойдем до и линейно независимых векторов, т.с. до базиса. Этот базис содержит 11,..., 1ь, и тем самым наше утверждение доказано.

Т с о р е м а 1. Каждый вектор х из и-мернозо пространства П можно представить, и при том един; ственным образом, как линейную комбинацию векгпоров базиса. Д о к аз а т ел ь с т в о. Пусть векторы е1.,ез,...,ео образуют базис в П. Присоединим к ним произвольный вектор х из гь. Векторов х, е1, ез,..., е„уже и+1. Поэтому по определению и-мерного пространства они должны быть линейно зависимы, т. е.

глох+ О1е1+ Озез +... + О е„= О, (7) (ГЛ. 1 18 П-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО где не все Ои равны нулю. Число ссо заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов е1, е2,..., е„. Выразим из (7) вектор яс О1 о2 оо Е1 Е2 .. Еп. ОО ОО ОО ' Мы доказали, что каждый вектор х Е В *) есть линейная комбинация векторов е1, е2,..., е„. Докажем теперь единственность полученного разложения. Предположим, что существуют два разложения; т = бе~ + 6е2+ + 1ае . и х = 11е1+42е2+" +с..'е' Вычитая, получим: О =(6 — йе + Ы2 12)е2+" + Ы -1'.)е . Так как е1, е2,...,е„линейно независимы, то это воз- можно лишь, если 6 — (1 =6 — ~2= =~ — ~„'=О.

т. е. ь1 ь1 ь2 ь2 Единственность разложения доказана. Определение 5. Если ес,е2,...,е„есть базис в п-мерно,м пространстве и х = (1е1+ ~2е2 +... + С„есо (8) то числа (1,~2,...,с,„называются координатами вектора, х в базисе е1, е2,..., е . Теорема 1 означает, что при заданном базисе ес, е2,..., е„калсдый вектор имеет координаты и притом однозначно определенные. Запись х Е Л означает, что х принадлежит й. в 1) линкйнок (АФФиннок) н-мкРнок ИРОстРАнство 19 Если вектор х имеет в базисе е1, еа,, .., е„координаты ~1,(ю...,~н, а вектор у -- координаты Щ,71Р,...,7КО т.е. если х = 6е1+ бек + . + с„е, у = 01е1 + пРеэ +...

+ унеен то х+ у = ф + ц1)е1+ (Са+ уз)еа+... + (~~ +ц~)е~, т.е. вектор х + у имеет координаты 1,1 + 01, (к + ца,... + 71„. Вектор Лх имеет координаты Л(1, Л(ю... ..., Лс„. Таким образом, при сложении векторов х и у их координаты складываются. При умножении вектора х на число Л его координлины умножаю7пся, на это число. Ясно также, что нулевой вектор, и только он, имеет все координаты равными нулю.

П р и м е р ы. 1. Для случая трехмерного пространства наше определение координат вектора совпадает с имен>щимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой (вообще говоря, не прямоугольной) системе координат. 2.

Пусть П---.пространство, векторами которого являются системы х = ф, ~к,...,С„) из и чисел. Возьмем базис (см. упражнение на стр. 13) е1 = (1, 1, 1,..., 1), еа = (О, 1, .1,..., 1), е„= (0,0,0,...,1). Найдем координаты 711, па,..., ц„вектора (С1, (а,..., ~„) в этом базисе. По определению Х = 07Е. + ПЭЕК + ...

+ РаЕ„, (гл. ! 20 и-мвенов пеостелнство + цп(0, О,..., 1) = (т!1., т!1 + т!2, . ° ~ ц! + ц2 + ° ° ° + цп) ° Таким образом, числа 01, 1!2,..., О!и находятся из следу- ющей системы уравнений; Ц1+Ъ+ +оп =ьп откуда 1!! (!", 112 ь2 ~1~ Рассмотрим теперь в Л базис, в котором связь меж- ДУ КООРДИНатаМИ ВЕКтОРа И = ф,~2,...,~п) И ЧИСЛами С1, С2,..., Сп, определяющими этот вектор, наиболее проста.

Пусть е! = (1.,0,...,0), е2 = (0,1,...,0), е„= (0,0,...,1) Тогда ((1~ С2> °; ~п) = 4! (1, О,..., 0) + ~2(0, 1,..., 0) +... + Рп(0, О,..., 1) = С1Е! + С2Е2 + ° ° + спсп. Таким образом, в пространстве Л, еде каждый нектар ОПрсде ястея КаК СиСЛПЕМа и, ЧиСЕЛ ф, С2,..., ~п), эти числа можно трек!певать как координать1 век- л 1) линкйнОк (АФФиннок) 'и-мкРнОН ИРОсгРАнствО 21 тора я = (С1, С2,...,(„) е базисе е! = (1,0,....,О), е = (0,1.....,0), ..., еп = (0,0,...,1). У п раж пение. Доказать, что в любом базисе е! =(ап,аы,...,а!„), ез = (аз!, аее,..., аз„), координаты !1ы на,..., Н„вектора к = ф, бе,..., б ) суть линей- ные комбинации чисел с!, ьел,, 6 . 3.

Л пространство, векторами которого являются многочлены степени < п — 1. Простейшим базисом является совокупность векторов е! = 1, ез еп = 1п !. Координатами многочлена Р(1) = ао$" 1+ + а11п 2+... + ап. ! в этом базисе являются, как легко ВИДЕТЬ, ЕГО КОЭффИЦИЕНтЫ аб,а1,..., ап 1. Выберем теперь другой базис: е! — — 1, е2 — — 1 — а, ез — — (й — а), ..., е'„= (1 — а)п Каждый многочлен Р(1) может быть по формуле Тей- лора представлен в виде: р(п-Ц(, ) Р(1) = Р(а) + Р (а)(1 — а) +...

+, (1 — а) Таким образом, в этом базисе Р(4) имеет координаты р(п — 1)( ) Р(а), Р (а),..., 4. Изоморфизм !т-мерных пространств. В разобранных выше примерах некоторые пространства с точки зрения рассматриваемых здесь свойств не отличаются друг от друга. Таковы, например, обычное трехмерное пространство Л примера 1 и пространство Л', в котором векторы определяются как тройки действительных чисел. В самом деле, выбрав в Л определенную систему (гл. г 22 и;лгвгное пгостг янство координат, мы можем каждому вектору из Л поставить в соответствие совокупность трех его координат, т.е. вектор пространства Л'. При сложении векторов координаты их складываются, а при умножении на число все координаты вектора умножаются на это число. Поэтому геометрические факты, вытекающие из определения линейного пространства, которые имеют место в Л, мы можем параллельно изложить как в Л, .так и в пространстве Л'троек чисел.

Поскольку единственными операциями, которые введены в линейных пространствах, являются операции сложения векторов и умножения вектора на число, то естественно ввести следующее О п р е д е л е н и е 6.,Линейные проспгранства Л и, Л' называются изоморфными, если, между векторами х Е Л и векторами х Е Л можно установить взаимно однозначное соотвепгстпвгге *) х ~-» х пгок, что если вектору х соотеепгствует вектор х', а вектору у соопгветствует, вектор у',. то 1' вектору х+ у соответствует еекпгор х'+ у', 2' вектору Лх соответствует вектор Лх'. Из определения изоморфизма следует, что если х, у,... — векторы из Л, а х', у',...

соответствующие им векторы из Л', то равенство Лх + ггу +... = О равносильно равенству Лхг+ ггу~+... = О. Следовательно, линейно независимым векторам из Л соответствуют линейно независимые векторы из Л', и обратно. Возникает вопрос, какие пространства изоморфны между собой и какие нет. Соответствие, установленное между элементами двух множеств 22 и Л, называется взаимно однозначным, если: 1' каждому элементу из Й соответствует один и только один элемент из й', 2' каждый элемент из й' соответствует при этом одному и только одному элементу из гт.

~ 1) линейное («ффиннои) п-мвенок пеостеляство 23 Два пространства различной размерности заведомо нв изомор<рны друз другу. В самом деле, пусть Л и Л< изоморфны. Из сделанного выше замечания следует, что максимальное число линейно независимых векторов в Л и Л' одно и то же, т.е, размерности пространств Л и Л' равны. Следовательно, пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. Т е о р с м а 2. Все пространства, имеющие одну и ту э<се размврностпь г<, изомор<)<ны друг <1руеу. До каза.тельство. Пусть Ли Л<- — два и-мерных пространства. Выберем в Л базис е1, е2,..., еп и в Л' какой-либо базис е1, е<2,..., е'„.

Поставим в соответствие вектору (9) х = ~!е! + ~2е2+... + С„е„ вектор = Ч!Е1 + Ч2В2 + . + Чввв; т. е. линейную комбинацию векторов е',. с теми же коэффициентами, что и в (9). Это соответствие взаимно однозначно. В самом деле, каждый вектор х может быть однозначно представлен в виде (9). Поэтому числа с<, а значит, и вектор х', определяются по вектору х однозначно.