Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 5

Если корни ()! и ()о этого характеристического уравнения различны, то мы можем найти в виде геометрической прогрессии даже два независимых частных решения: ц(Н вЂ” но ц(о) — по Линейная комбинация й = аи(!)+()ц(о) =а()о)+ р(),' (б) этих двух решений с произвольными постоянными коэффициентами а и р тоже будет решением однородного уравнения. Покажем, что это — общее решение. Действительно, произвольное частное решение й~ однородного уравнения, принимающее при п = О и и = ! любые наперед заданныс значения и, н и), может быть записано в таком виде.

Достаточно определить а и р из равенств а+ Р=йо, а()! + р()о = й), т. е. положить а= йой2 — й й — йой Ч- "й! й. — 41 В частности, У„и 2, определенные в 5 ! как решения однородного уравнения, удовлетворяющие условиям !'о — — ), ~! =О, Уо =0„2! = ), РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА А 2! имеют вид у л 1)л 22 а1 л 42 д л1 д2 — д~ 2* ! ! я ул ( дл У2 — Л| 1 Ш д! 2' (6) Из формул (б) видно, что они непригодны в случае кратного корня д! = д2. Рассмотрим теперь этот случай.

При д1 = д2 одно частное решение снова может быть записано в виде ил =дл1. Чтобы найти второе, сделаем в уравнении (3) подстановку ил = у„ал„после чего получим для у уравнение ау, + Ьд,ул + сд2ул, = О. Как известно, а/с равно произведению, а Ь/с — сумме с обрат- ным знаком корней характеристического уравнения (4). Так как оба эти корня равны д1, то л Ь вЂ” = дз — = — 2д с ! с и вследствие чего разностное уравнение для у„может быть переписано так: сузу, — 2 се!у„+ сд21у„+! — — О, или несколько проще: ул, — 2ул+ ул+! — — О.

Переписав еше раз это уравнение в виде Ул-1 Ул = Ул Ул+1э и12) —, аул л 1' Итак, в случае кратных корней д1= д2 в дополнение к ча- СтНОМУ РЕШЕНИЮ и'„Н=дл1 МЫ НаШЛИ ЕШЕ ОДНО ПЕЗаВИСИМОЕ ЧаСтиОЕ РЕШЕНИЕ и,",' = адл1. Линейная комбинация й =ад", + рау1, мы видим, что разность у„ ! — у не меняется при изменении и. Таким образом, решением является произвольная арифметическая прогрессия. Нам достаточно найти какое-нибудь одно решение, и мы возьмем арифметическую прогрессию у„= п. ВСПОМИНаЯ, Чта МЫ ИСКаЛИ и„В ВИДЕН„=У„дл1, ПОЛУЧаЕМ, Чта среди решений уравнения аи„1+ Ьи + сил+1 = О есть решение РАзнОстные уРАВнения 1-ГО и 2-ГО пОРядкА [ГЛ.

1 28 с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением однородного уравнения, причем произвольное частное решение можно получить из этой формулы, соответствующим образом подбирая числа сг и б. В частности, решения У и У.„ в случае кратных корней имеют вид У =д" — пд" л = — пг1» = пг1»-!. л Ч! ! (7) Интересно отметить, что формулы (7) могут быть получены из формул (6) для У и а в случае некратных корней характеристического уравнения. Тогда мы имели для У» и л» равен- ства » †л-1 Чг — Ч! 2 ! 2 Чг — 9! Ул = »2 Ч Ч! ~!+ Чг-Ч! ~2 Чг-Ч! Заставим корень дг приближаться к корню д1. При этом выражения л-1 л-1 л л Чг Ч! цг я! й„= у, ( ~/ — ) соз и р + уг ( ~Я з)ппгг, (8) где ф определено равенством ь соз!р = — =.

2 Ч/ас а у! и уг — произвольные постоянные. стремятся к некоторым пределам, а именно соответственно к (и — 1) длг-2 и ид»1-!. Таким образом, мы видим, что в случае кратных корней решения У„и Л„примут вид (7). Итак, мы построили решения У и 2 во всех случаях, которые могут представиться при а и с, отличных от нуля. Тем самым мы показали, что всегда можно выписать в явном виде любое решение интересуюшего нас однородного разиостного уравнения второго порядка. Интересно остановиться подробнее на случае, когда при вещественных коэффициентах а, Ь, с уравнение а+ Ьг)+ с!)2 = О имеет комплексно-сопряженные корни д! н дг. Покажем, что в этом случае общее решение однородного разностного уравнения (3) может быть записано в следующем виде: решение неоднородного уравнения (9) с правой частью (, спе- циального вида: Это решение будем обозначать через 0 и называть фундаментальным.

Мы будем искать ограниченное фундаментальное решение, т. е. ограниченное решение следующих групп уравнений: 1. аО„, + ЬОл+ сОл ы — — 0 при и( (— 1. !1. аО ~+ ЬОА+сО, =1. 111. аО„-1+ЬОР+сО„чч =0 при п~)!. Начнем со случая некратных корней, д1 ч-' ч2. В этом случае общее решение однородного уравнения (3) имеет вид ц аул + Идл Поэтому каждое частное решение О, однородного уравнения ! записывается в форме Ол = а'дл, + О'д," при и( О, где а' и р' — подходящим образом подобранные постоянные.

Точно так же частное решение 0„, п ) О, однородного уравне- ния 1П можно записать в виде О =пиал+()лал при п)0 с соответствующими постоянными а" и О". В рассматриваемом нами случае ф -2- 92, )Ж!Ф) !Ч2! Ф) возможны следующие варианты: Построим ограниченное фундаментальное решение О в случае а). Из условия ограниченности 0„ при и -ь — ОО видно, что а' = О, а из условия ограниченности 0„ при и-Р +со следует Ол = О. Поэтому р д," при п~(0, Ол= а"дл, при п) О. а) б) в) г) РлзиОстиые уРАВиеиия РГО и 2 ГО ПОРядкА ~ГЛ.

2 !ч2!> 1; !у !<1; )Ч !<1; ! Ч2 ! > 1. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 31 $ э) Знаменатель этой дроби отличен от нуля: ад + Ь + сдг = (ад + Ь + сдэ1 + с (д, — дэ ) = с (дг — дэ) Ф О. Итак, 1 а", и<0, адэ +Ь+с 1 а", и: О. ао.,-'+ Ь + сд, " Мы построили ограниченное фундаментальное решение в слу- чае а) (рис. З,а). а) Рнс. 3. Заметим для дальнейшего, что при условиях гпах () а ), ) Ь!, !с )) ) В > О, 2' 1дэ ! 2' 8, 8 (10) где В ) 0 и 0 ) 0 — какие-нибудь числа, имеет место оценка а)~ ВО 'ч 2) (1 !) Для вывода опепнн 111) отметнлн что в салу первого условия 00) обнэателыго либо )а) )В/4, либо )с) )В/4, лабо э/Ьт — 4ас ) ч/Вэ — и/4 ) В/л При л = 0 обе последние формулы должны давать одно и то же значение Ов.

Отсюда 0'= ге". Подберем р' из условия выполнения уравнения П: ар'дэ ' + Ь(1'+ с0'д, = 1, т 1 ас,— +Ь+.ч, ' идзностныа ивдвнаиия а-го и г-го порядка (гл. а Оиеваадааы таиже соотношения адг + Ь+ еда — — с(да — дг) = а(дг — д~ ) ='та Ь вЂ” дас, 1 2 — О/2 ! да — да » ! да ! — (а)а ! » — (1 — О/2) = О > О, 1 — О/2 2 — О )д,-' — д-,'» > О. Иэ этих соотношений следует оненха ~.дг-'+ Ь+ сд,1» —", и неравенство (11).

В случае б) нз условия ограниченности 0„ при и -+ — со следует са = р' = О, так что О при в~О, аа„= а"дл + Олден пРн и ) О. Из условия аао = 0 вытекает сал = — )3". Коэффициент и" под- бираем так, чтобы удовлетворить уравнению 11; л 1 а с(д, — да) Ограниченное фундаментальное решение (рис. 3, б) в случае б) имеет вид 0 при п(0, ~л /д — дл1 при и) О. В случае в) по аналогии со случаем а) ограниченное фун- даментальное решение имеет вид 1-, 1 д", при и<0, од-,'+ Ь+ сд, а„=» дгл при и) )О. д, '+Ь+се Случай г) аналогичен случаю б). Если корни кратные, да = дм то при построении ограниченного фундаментального решения вместо формулы ц =ода+ рдл используется формула н — ндл + рпдл РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА' В случае !ду~ ( 1 для О„получим 0 при и ~0, Ол = —, пал,-' при и ) О, а в случае ~др ~ ) 1 получим 1 [ — — падл+' при и < О, О = л 0 при и) О.

Итак, мы разобрали все варианты, которые могут представиться в случае (ау ! ~ 1, ) ау) ~ 1, а Ф О, с чь О, и увидели, что ограниченное фундаментальное решение сушествует. Из выписанных формул следует, что оно экспоненциально убывает при и -~аа: 1 < Ор1л! (12) где О ) 0 и 0 < р < 1 — некоторые постоянные. При этом в качестве р может служить любое число, удовлетворяющее неравенству р) шах~ш!п(1д, 1, — ), ш!п(!а,), — )1. Мы выяснили вопрос о сугцествовании и виде фундаментального решения, т.

е. решения неоднородного уравнения (9). В случае произвольной правой части (1,) частное решение и„' можно записать в виде суммы ряда (13) если только этот ряд сходится. Это проверяется совершенно так же, как аналогичный факт для разностного уравнения первого порядка в $ 2 Из оценки (12) следует, что ряд (13) заведомо сходится, если правая часть (Я ограничена, 1!А) ( с. В этом случае л 1и„'1= ~~ Ол-А1А ( ~ 10„-А)А1+ ~ 1Ол-А1А14~ л <ар [ л р'-' р- Я рз-" 1 к —, р. (рр) А-- А л-~-1 Для уравнения (9), для которого ) др ( 4= 1 и ) д,) чь 1, решение 1(и„'), задаваемое формулой (!3), есть единственное ограничен- 2 С. К.

Гадуррае, В. С. Реберррлла РАЗПОСТНЫГ. УРАВНЕНИЯ !-ГО И 2.ГО ПОРЯДКА |гл ! 34 нос решение при заданной правой части. В противном случае второе ограниченное решение получалось бы иэ построенного прибавлением некоторого ограниченного решения (й,) однородного уравнения (3).

Но иэ формул для обшего решения этого уравнения видно, что при |д!|чь 1, |д2! чь 1 единственным ограниченным при — ьь < и < ао решением будет й„= — О. В частности, ограниченное фундаментальное решение О„в случае (д!! Ф 1, )д2|Ф 1 тоже единственно. Заметим, что при выполнении условий (!О), воспользовавшись оценкой (11), иэ (!3) легко вывести 1и„'!<лв. р!!' ~. (! 5) 3. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения. В п.

2 мы видели, что характер поведения фундаментального решения О„уравнения (9) сушественно зависит от расположения корней д! и д2 характеристического уравнения Р (д) — = а + Ьд + сдэ = 0 (4) на комплексной плоскости. Лля приложений особенно важен случай, когда а, Ь, с вешественны, а корни д! и д2 один меньше, а другой больше единицы по модулю: !д,!<р, !д; !<р, о<р<!. (16) Здесь мы укажем удобный необходимый и достаточный признак такого расположения корней, не требуюший их вычисления.