Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 3

Но наряду с этим аналитическим подходом все шире используются различные методы численного решения дифференциальных уравнений. Их широкое использование стало возможно с появлением быстродсйствуюгцих вычислительных машин, которые могут запоминать большие таблицы чисел и производить над ними арифметические действия по заданной программе. В соответствии с указанными возможностями машин любой численный метод состоит в переходе от искомого решения к некоторой искомой таблице чисел и к указанию последовательности арифметических действий для их вычисления. Можно, например, искать несколько первых коэффициентов разложения решения в степенной или тригонометрический ряд.

Здесь излагается теория численного решения дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей. Суир ность этого наиболее универсального численного метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значсннй решения в точках некоторого множества, называемого обычно сеткой. Для вычисления искомой таблицы используются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие дифференциальное. введения )г Поясним это на простейшем примере разностной схемы для приближенного вычисления решения уравнения и'(х) + А и(х) = О, удовлетворяющего начальному условию и(0) = 1.

Зададим й ) 0 и вместо рункции и(х) будем искать таблицу ее значений и(0), и(й), и(2й), ..., и(ий), ... Заменим производную разностным отношением а (х+ Ь) — и (х) ее приближающим. Шаг й таблицы должен быть выбран достаточно малым. После такой замены вместо дифференциального уравнения мы получаем приближающее его разностное уравнение " (х + й) и (х) + А и (х) й которое позволяет приближенно вычислить искомую таблицу. Для этого перепишем разностное уравнение в виде рекуррентной формулы и (х + й) = (! — Ай) и (х).

Полагая последовательно х = О, й, 2й, ..., получим и(й) = (1 — Ай), и(2й) = (1 — Ай)', и,(Мй) = (1 — Ай)и. Выбрав й = 1/й/, получим и(!) = (1 — — ) вместо точного решения и(!) =е '. Однако, как это хорошо известно из курса математического анализа, при достаточно малом й или, что то же самое, при достаточно большом Л величина (! — А/й/)и мало отличается от е-". Тем самым показано, что приближенное решение, полученное по этой разностной схеме и зависящее от шага й, при измельчении шага сходится к точному решению дифференциального уравнения.

)з введение Другой пример разностного уравнения, приближающего то же дифференциальное уравнение й (х) + А и (х) = О, мы получим, заменяя производную разностным отношением и (х+ й) — и(х — Ц 2И Это уравнение имеет вид «(х+ й) — и(» — И) 2й + их =О. Для дифференциального уравнения ии (х) + А и'(х) + В и (х) = ( (х) можно построить разностный аналог, заменяя ии(х), например, следующим приближенным выражением: и (х + Ц вЂ” и (х) и (х) — и (х — И) и й и (х + Ц вЂ” 2и (х) + и (х — й) Первую производную и'(х) можно заменить одним из ужеупотреблявшихся разностных отношений, После таких замен получим разностное уравнение и (х + И) — 2и (х) + и (х — й) + и (х + И) — « (х — Ц + В случае дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами составление разностных схем не усложняется.

Если, например, требуется вычислить решение уравнения и' (х) + А (х) и (х) = О, у которого коэффициент А является функцией от х, то это можно сделать с помощью разностного уравнения + А (х) и (х) = О. й Так же легко «справляются» разностные схемы и с нелинейными уравнениями. Например, уравнение и' (х) + э 1 и (хи (х)) = О может быть решено приближенно по схеме + э'1 п (хи (х)) = О.

Из рассмотрения примеров может сложиться впечатление, что составление разностной схемы и решение по ней диФФевен- 14 введение циального уравнения не представляет трудностей. Это впечатление обманчиво. Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, часто бывает, что, казалось бы, разумная разностная схема имеет решение, не сходящееся при измельчении сетки к искомому решению дифференциального уравнения.

Понятно, что по такой схеме нельзя вычислить искомую функцию со сколь угодно высокой точностью. Далее, после того как сходящаяся разностная схема построена, необходимо вычислить решение возникающей системы алгебраических уравнений относительно большого числа неизвестных значений функции в узлах сетки. Это во многих важных случаях непросто. Иногда можно обойти указанное препятствие, выбрав сходягцуюся разностную схему другой конструкции так, чтобы возникающую систему линейных уравнений легко было решить точно; в некоторых других случаях разработаны приемы приближенного вычисления решений разностных задач с любой наперед заданной точностью. Каждый, кто занимается численным решением дифференциальных уравнений, должен знать трудности, связанные с построением и использованием разностных схем, и способы их преодоления.

ЧА СТЬ ПЕРВАЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЛАВА 1 РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ $ 1. Простейшие разностные уравнения мы построили во введении две разностные схемы: ( ) + Аи(х) =)(х) И .(.+И)-и(х-И+А (,) ~() 2И которые можно записать соответственно в виде — и (х) + — „и (х + И) = ) (х), 1 — АИ 1 — —,„и(х — И)+Аи(х)+ и и(х+/г) =)(х).

1 1 (2) Для дифференциального уравнения второго порядка и " (х) + А и (х) + В и (х) = ) (х) во введении было построено разностное уравнение и(х+И) — 2«(х)+и(х — И) (и(х+И) — «(х — И) И' илн, в другой записи, 1 АИ1 1 2 И- '2 2 -( ! — — ) и (х — /г) — —., (2 — ВИ ) и (х) + !и + —,, (1+ ~ )и(х+А) =1(х).

(3) 1. Разностиые уравнения. Для дифференциального уравнения первого порядка и'(х) + А и (х) = )'(х) РлзнОстные уРАВне!1ия 1-ГО и 2.ГО ПОРяд1ОА !ГЛ. 1 Приведенные здесь примеры разностных уравнений, приближающих простейшие дифференциальные, принадлежат к одному из следую1цих двух видов: пи(х)+ Ьи(х+ й) = ((х), а и (х — й) + Ь и (х) + с и (х + й) = ) (х).

(1') (2') Если последовательность точек, делящих ось Ох на отрезки длины й, занумеровать слева направо так, чтобы х„ = х„ ! + й, и обозначить и(х„) через и„, а !(х„) через (, то мы можем пе- реписать наши разностные схемы в виде уравнений аи„+ Ьил ы — — 1„, аи„, + Ьи„+ си„ч, =-1„. (4) (5) ..., и з, и з, и О из, и1, и,, из, Мы будем часто сопоставлять эту последовательность с !! и ле- довательностью точек, занумерованных числами — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, ..., или, как иногда говорят, с сеткой. Последовательность (и„) можно считать функцией и, заданной в точках сетки.

Тогда из есть значение сеточной функции и а в точке, имеющей номер й. На рис. 1 приведен графи к некоторой сеточной функции и. Этот график есть совокупность точек (хм иь) на плоскости Охи. После того как мы отка- зались от рассмотрения свяРзс !. зи разностных уравнений с дифференциальными, нам вовсе не обязательно считать, что расстояние между двумя соседними точками равно й.

Можно выбрать его произвольным, например равным единице, а в качестве хз взять точку нуль. Тогда сеточная функция и будет определена в точках с целыми координатами х1, = й. Будем считать для простоты, что коэффициенты а, Ь, с уравнений (4), (5) постоянны. Говоря, что изучаемые уравне- В Я 1 — 4 мы займемся изучением разностных уравнений вида (4) и (5), причем не будем интересоваться, являются ли эти уравнения разностными схемами для каких-либо дифференциа,чьных уравнений. В уравнениях (4) и (5) неизвестные и„ образуют последовательность (и„)1 !7 пРостей1пис РАзностнь1е уРАВнення ння являются уравнениями с постоянными коэффипиентами, мы имеем в виду независимость этих коэффициентов от номера и; например, уравнение иа, + 5 ь(пи„+и„+, =О нс является уравнением с постоянными коэффициентами. Мы будем рассматривать только такие уравнения (4), у которых а и Ь отличны от нуля.

В уравнении (5) отличными от нуля будем считать коэффициенты а и с. Последовательность (! ) называется правой частью рассматриваемых уравнений. Если предполагать, что последовательность (и ) определена во всех целых точках и, — со ( п ( аа, и не накладывать на эту последовательность никаких дальнейших ограничений, то легко видеть, что уравнения (4) и (5) имеют много решений. Например, уравнение ди„ вЂ” и„е! = О допускает как решение и„= — О, так и решение и„= д". Чтобы выделить единственное решение уравнения (4) аи„+ Ьи„+, — — 1„, достаточно задать значение этого решения в какой-нибудь одной целой точке т, т.

е. задать и . В самом деле, уравнение (4) можно записать в виде рекуррентной формулы 1 , = — ()„— ЫР), из которой при и = т, т + 1, ... последовательно определяются и А1, и,„ьм ..., т. е. все и„при и ) т. Записывая уравнение в виде другой рекуррентной формулы: и„, = — — (1„— Ьи„), 1 а мы таким же путем определим все иа при и ( т. Для выделения е д и и с т в е н н о г о решения уравнения (5) аи„, + Ьи„+ си„э, = („ достаточно задать произвольно значения и в каких-нибудь двух последовательных целых точках, например задать значения и,„ ! и и .

Доказательство немедленно следует из того, что рассматриваемое уравнение может быть переписано в виде следуюших двух рекуррентных формул: 1 и„„, = — (1„— Ьи„— аи„,), С 1 и„, = — (1„— Ьи„— си„+,). а !8 ялзностныа теланания ьго и иго погадал !гл, ! 2. Порядок разностного уравнения. Повторим еще раз полученный результат и сформулируем понятие порядка для разностных уравнений (4) и (5). Для выделения единственного решения уравнения (4) аи„+Ьи„~, =1„ достаточно задать значение и и одной точке.

Такое уравнение называется уравнением первого порядка. Для аыделення единственного решения уравнения (5) аи„, + Ьи„+ си„ю — — )„ достаточно задать значения решения и двух последоаательных точках. В связи с этим такое уравнение называется уравнением второго порядка. Можно было бы еще рассмотреть простейшее уравнение аи„=)„, а~О, решение которого определяется единственным образом без наложения каких-либо предварительных ограничений на последоаательность (и„). Такое уравнение естественно назаать уравнением нулевого порядка. Простейшая разностная схема (1) для дифференциального уравнения первого порядка и' + Аи = ! является разностным уравнением первого порядка.