Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 9

(21 Заметим, что значения шах!0~~~ и пьзх)(ч',~) растут, как 5"'. л л Поэтому при больших Ь! при вычислении с1„и (чл произой- (В (2> дет выход чисел за допустимые границы. Но допустим, что этого не произошло и что абсолютно точно найдены (О в) (1l,',') и о. Допустим, что единственная ошибка округления е допущена при вычислении 1 — и.

Тогда по формуле (5) получим вместо (ил) % 51 ллГОРнтм Решения — ПРогонкл 55 Погрешность (би„) при и — АС будет иметь вид Ьи„бин и при фиксированной относительной погрешности е, допущенной при вычислении ! — о, бу'дет быстро возрастать, «забивая» точное решение (и„), которое в силу формулы (6) остается ограниченным. Описанный алгоритм называют методом сгрельбьс. В других ситуациях (см. В 20) он может оказаться устойчивым и вполне эффективным.

ЗАДАЧИ 1. Как надо видоизменить алгоритм прогонки, чтобы воспользоваться им для вычисления решения (и„), 0 ( и ( Лс, разностного уравнения апип 1 + Ь,ип + спи„ л! = 'п, 0 < и < ЬС, при краевых условиях вида и — аи, =!р, и,ч — пним-! =Ф если числа а и р отличны от нуля? 2. При вычислении решении задачи апип-! + Ьпип + спин+! = !п. 0 < и < ЛС ио ф Ф можно было бы вести исключение неизвестных и в порядке убывания номеров и Выписать рекуррентные соотношения для вычисления коэффициентов Кп+,с, Кп+,с получаемых при этом прогоночных соотношений ип 1 — — Хп+Чи„+ Кп+,С, и= А? — 1, Аг — 2,..., О. 3. Наложив на коэффициенты а„Ь, с разиостного уравнения ограничения а ) О, с ) О, — Ь ~ а + с + 6, показать, что прогопочные коэффициенты Ьп уи возникаюшпе при решении задачи ил=пи,+ф, 0<а<1, аппп ! + Ьпип+ спи«.ы — — !и, О < 11 < ЛС, и„, =ри +ф удовлетворя!от неравенствам 0(~ьп,г ~ 1.

Как этот факт сказывается па накоплении погрешностей при обратной прогонке? %ожет ли здесь обратиться в нуль знаменатель лрогоночных формул прямосг прогонки? 4. Какой вариант прогонки избрать для вычисления решения предыдушей задачи, если а = 10, сл = 0,5? Учесть опасность необходимости делить на нуль при вычислении коэффициентов прогоночных соотношений по рекурреитным форо!улам„ ГЛАВА 3 ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ е) й 6.

Свойства хорошо обусловленных краевых задач Здесь мы докажем сформулированный в п. б й 4 признак хорошей обусловленности разностной краевой задачи вида аи„,+узы„+сиам=~„, 0<а<А!, ир — — ф, и„= зу и установим некоторые свойства хорошо обусловленных разностных краевых задач с тем, чтобы воспользоваться этими свойствами в $ 7 для обоснования алгоритма прогонки. 1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэффициентами. Рассмотрим задачу вида (1): а„и„, + 6„ив+ с„и„+, — — )„, р < и < д, ,=ф, ( ! /) где р и д ) р+ 2 — какие-нибудь целые числа. То обстоятельство, что мы нумеруем компоненты решения номерами от р до д, а не от 0 до М, непринципиально, но окажется удобным в дальнейшем. Относительно коэффициентов будем предполагать, что они ограничены в совокупности: (ап), (Ьа(, !са( ( Мь М~ не зависит от М и а.

Пусть задача (1') разрешима при произвольных ф, ф и ()н), причем числа и„, и„+ь ..., иа, образующие решение, удовлетворяют неравенствам !и„!(М,щах(7 !+Матах()ф(, !ф!), (2) ат где М, и Ма — некоторые положительные постоянные, М, ) Ма, М~)1. '1 Материал гл. 3 в последующих главах не используется и при первом чтении может быть пропущен. 4 б! СВОИСТВА ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 67 Рассмотрим задачу алйл , + Ьлйл + слйле, = )л, р < и < и, йл — <Р йб = ф. Если предполагать, что возмущения коэффициентов Ьл — Ьл, сл — сл не слишком сильные, а именно: (3) ал — ал, ! 1ал — ал)< В <— 1 ! 1Ьл — Ьл(«. —, л~! 1сл сл(( ( ем 1 (4) Свойство 3' очевидно.

Докажем свойство 2', а из него выведем свойство 1'. Предположим, что система (3) разрешима при некоторых правых частях. Фиксировав эти правые части, обо- значим р = гпах1йь( А и получим для р неравенство р<2М,шах(! 1+2Мхгпах(1~р(, 11Ь1). Для этого перепишем (3) следуюшим образом: алйл-!+ Ьлйл+ с„йл+! =)„+(ал — ал)йл-!+ 1 ! + (Ьл — Ьл) ил + (сл — с,) иле„О ( и < й!, ~ йю = 'р, й„= лЬ. 1 (7) (8) то возмущенная система (3) будет обладать следуюшими четырьмя свойствами: !' Задача (3) будет иметь решение (й„) при любых правых частях.

2' Решение (й„) будет удовлетворять оценке вида (2), но с заменой М! и Мю соответственно на 2М! и 2МХ.. (ил((2М, !пах(!' 1+2Мхшах(1 бР1, (ф1). 3' Коэффициенты ал, Ьл, сл будут удовлетворять оценкам 1ал(<М~ + .н, 1Ьл1< М1+ ам !сл((М3+ ем ! ! ! ьм! 1 ! 4' Решения (и„) и (й„) будут мало отличаться друг от друга, а именно: 1 йл — и„! < В [6М1 шах ! ! 1+ 6М~ Мб шах (1 ~р 1, ! ф 1)з. (6) Овосновл!!ие методл пРОГОнки !гл. з Из этой записи и из оценок (2) и (4) вытекает неравенство р(м ( пах[] 1+ — !л)+ м,щах([ф1,[ф1)( ( <— р + М, гпах1 [ 1+ М, игах ( ! ф 1, 1 ф 1).

1 т Решая последнее неравенство относительно р„получим (7), из которого следует (5). Из неравенства (5) следует, что однородная система, соответствующая задаче (3) и возникающая при ф = ф = 1„— = О, имеет только нулевое решение й„= — О. Поэтому определитель системы (3) отличен от нуля, и задача (3) однозначно разрешима при произвольных правых частях. Свойства 1' и 2" доказаны.

Осталось доказать свойство 4', т. е. неравенство (6). Вычитая почлснно из равенств (8) равенства (1), получим а„(й„, — и„,) + Ь„(й„— и„) + с„(й„е, — ик м) = = (а„— а„) й„, + (܄— Ь„) й„+ (с„— с„) й„е „0 < и < й(, йв — иа — — О, йлг — и„= О. Применим (2): 1 й„— и„!( М ~ гпах1 (а — а ) й, + (Ь вЂ” Ь ) й + (с — с ) й,„+г 1. Воспользовавшись (4) и (5), отсюда выводим 1й„— и„1( И е[3 2М, гпах[! 1+ 3 2М,гпах([ф1, !ф[)], т.

е. неравенство (6). Рассмотрим теперь задачу, которая получена из (1') возмущением не только коэффициентов, но и правых частей: а„й„, + Ь„й„+ с„й„е, = [„, р < и < д, 1 (9) й =ф, й,=ф. Можно показать, что [й„— и„1(е [6М', шах[! 1+ 6~И1М~ шах ([ф 1, 1Ф! )]+ + М,гпах(1ф — ф1, [ф — ф1)+ М, шах!ге„— 7 1. (10) Наметим только схему доказательства, которое легко провести по этой схеме. Изменив сначала только правые части и оставив старые коэффициенты, с помощью (2) увидим, что каждое и„изменится не более чем на М, гпах1] — ] 1+ Метах(1$ — ф 1, [ф — ф[). ей свонствр хорошо оерсловленных краевых злдлч 59 Изменив затем в системе с измененными правыми частями коэффициенты, убедимся, что в силу свойства 4' компоненты и„ дополнительно изменятся на величины, не превосходящие е[6М', гпах 1( 1+ 6М,Ма гпах(1'ф 1, 1Ф~1)1, пь что и приведет к оценке (10).

Выведем из описанных нами следствий неравенства (2) еше одно. А именно, пусть для решений системы (1') имеет место при некотором Л ) О, р+ Л < п < а — Л, оценка !и„( < М,гпах!/ (+ М',тах(1~р1, 1ф1). 1Л П1 Тогда для решения возмущенной системы а„й„, + Ь„ц, + сй„>~ =1, Р < и < ч йР ~Р йе ф удовлетворяющей условиям 1а„— а„1, 1܄— Ь„1, 1с„— с1< е < а < —, (11) 1 1 24М~~ 6Л1 ~ верно при тех же условиях Р+ Л < п < д — Л неравенство !й„)(2М, гпах~/ ~+ ~М, + 4 ) тах(1~р 1, 1ф1). (12) Чтобы убедиться в этом, определим воспомогательную сеточную функцию (о„) как решение системы а„о„ ~ + Ь„о„ + с„о4 ы = О, Р < и < д, ОР— ф, Ор =Ф При р+Л<п <а — Л будет ! о„) < М,'тах(1<р 1, 1ф1).

(13) Затем применим для оценки 1й„— о„1 неравенство (10), из которого следует, с учетом (11), что (й„ вЂ” о„) ( <е[6М,'гпах/1 /+ 6М М пшх(1~р1,)ф))7+ М, тах/7 /( ( 4 шах(1т ~ 1ф1)+2М, тах1/„1. Принимая во внимание оценку (13), отсюда сразу получаем не- равенство (!2). ОБОЮ!ОВАние метОпл иРОГОР!ки !Гл. 3 3 а м е ч а н и е. Важно подчеркнуть, что величина е в оценках (4), в пределах которой можно возмущать коэффициенты исхОдной задачи, не нарушая разрешимости, а также коэффициенты в оценке (5) решения возмущенной задачи и в оценках (6) и (10) отклонения решения возмущенной задачи от решения невозмущенной задачи — все эти числа зависят только от коэффициентов М! и М! в оценке (2).