Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 10

Конкретные значения коэффициентов разностного уравнения и число точек д — р+1 сами по себе роли не играют: их влияние сказывается только через константы М! и Мн при которых справедлива оценка (2). 2. Доказательство критерия хорошей обусловленности. В п. 5 $ 4 сформулирован критерий хорошей обусловленности задачи (1) при условиях гладкости коэффициентов (аА — а!1(<!О) — ~, 1ЬА — Ь!1~(!О( —,~ . 1 (14) 1сь — с!1(!О~ — ), 0 > О, !в > О, ! и условиях а„ + Ь„д + с„де = 0 удовлетворяли неравенствам !е!! 2' !ез ! 2' е е (15) где О ) 0 не зависит от й! н и. Н е о б х о д н м о с т ь доказывается примерно таким же способом, как это сделано в п.

4 $4' при рассмотрении случая постоянных коэффициентов, и мы не будем на этом останавливаться. При доказательстве достаточности мы будем пользоваться указанным в п. 6 ч 4 критерием хорошей обусловленности (15) разностной краевой задачи аи„, + Ьи„+ си„м = г„, р < и < д, (16) ир — — !р, ир —— ф с постоянными коэффициентами, где р и д, !) ) р+ 2, — произвольные целые числа.

В отличие от е 4 мы нумеруем компоненты решения (и„) не номерами п = О, 1, ..., Л/, а номерами г(„= !пах (1а„1, ~ Ь„1, 1с„1) ) В > О, ( 1а„1( М„1Ь„~ ( М!, 1с„1( 14!, (14') Для хорошей обусловленности задачи (1) при условиях (14), (14') необходимо и достаточно, чтобы корни квадратного урав- нения 4 Б! своистВА хОРОшО ОБуслОВленных ХРАеВых БАдАч б! п = р, р+1, ..., г/, что не меняет дела.

Задача (16) всегда имеет решение, причем при всех и, р < п < г/, справедлива оценка (30) 9 4: !и„!<М! гпах!/ !+ Матах(! р!, 1ф !), р< и~а, (17) ~л б б а при и, р+ — < п < г/ — —, оценка (31) $4: !и„!<М,гпах!/ !+М2гпах(!ф1, !ф!), (18) где 128 4 М = — М =,—, ВО'' „'О' ! М2 =— 5 Выберем а, положив 1 а=— 24М~~ (19) Будем считать Л/ настолько большим, чтобы выполнялось нера- венство /)~~~~ <е, т. е.

Л/) О ~ — ~ (20) Переходим к доказательству хорошей обусловленности задачи (1). Рассмотрим краевую задачу вида алил !+Ь„и„+С„а„», =-/„, Р(П(Г/, 1 (21) И =ф, и«=2Р, где М вЂ” некоторая постоянная, зависящая от В, О, но не от Л/, р, а. Рассмотрим отдельно случай г/ — р < 24/О н случай г/ — р > > 24/О. Если г/ — р < 24/О, то коэффициенты задачи (21) при любых й и 1, р < /г, 1< д, удовлетворяют в силу условий гладкости где р и г/ — произвольные фиксированные числа, 0 < р, (г < Л/, г/ > р + 2.

В частном случае р = О,г/ = ЛГ эта задача совпадает с задачей (1), а вообще получается иэ задачи (!) некоторым «урезанием» вЂ” отбрасыванием уравнений при п < р и и > г/ и заданием иР и и«. Мы покажем, что при произвольном Л/, удовлетворяющем условию (20), задача (2!) однозначно разрешима при произвольных правых частях, причем числа (и„), р < п < г!, удовлетворяют оценке вида !и„!~(Мгпах(1ф!, !лр1, ппах! / !), (22) т аг огогноегнгнг. метод» пеогопки ггл.

» (14) и благодаря тому, что Лг' в соответствии с (20) достаточно велико, следующим оценкам: 1໠— а!1<61 „) ~(0~,, ( ~()0) — аа, ~ <е, 1Ь» — Ьг1< е, 1сг, — с!1< е. Эти коэффициенты «почти» постоянны и пе более чем на е отличаются от коэффициентов задачи (16), где в качестве а, Ь, с выбраны а„+ь Ьр,г, срег. Решение задачи (16) удовлетворяет оценке (17). Число е выбрано по формуле (19) в соответствии с требованием (4). Поэтому для оценки решения задччи (21) можно воспользоваться неравенством (5): ( во ~ах11'"1+ а шах(1<р 1, 1ф1).

!И (23) 6 !2 — < Лг,, — Л'» < —. 8 + е 124) Решение задачи с постоянными коэффициентами ао„ , + Ьо„ + со„+, —— 1„, Л(»-г < л < Л(»»г, (25) где а = а , Ь = Ь , с = с, "»' "»' и»' при и = Лг» в силу неравснств а а Л7» -г+ а < Лг» < Л»+г а удовлетворяет оценке (18): ~ои 1~(Мг гпах)),„(+ М'!пах(1ф 1, 1ф1), где !2а , 1 м = —, м'= —. ВО'' 5' Задачу а„и„, + Ь„и„+ с„и„„= г'„, Лг'» г < и < Л7»»„ и»г», гр» и»», ч» (26) Рассмотрим теперь случай д — р ) 24/О, в частности р = О, д = Лг.

Предположим, что при некоторых фиксированных гр, ф и (г', ) существует решение (и„), р < и < д. Выберем последовательность целых чисел р = № < Лгг « ... Лг„= д так, чтобы выполнялись неравенства сВОистВл хОРОшО ОБуслОВленных кРлеВых злдлч бз можно рассматривать как возмущение задачи (25), причем коэффициенты задачи (26) в силу неравенства 7ггл.г, — 7ггг, ~ < 24/О не более чем на В отличаются от коэффициентов задачи (25). Можно воспользоваться оценкой (12) для решения возмущенной задачи.

При и = Фл получим !и„!(~2И,шах(Г )+(М',+ 4)шах(~и, ~, /ии !)< <2М, шах!7 !+ — гпах((и, (, )и !). Следовательно, шах )и„, !<2М,гпах)1'„!+ — гпах~!ф1, 1ф1, игах )и, Ц«~; <2М,гпах!г' !+ — гпах ~и )+ — игах(!ф1, !ф!). гл О<Л<л Отсюда гпах )и ~((4М,шах!7„)+шах(!ф1, !ф!). о<Л<л "Л л| Теперь для произвольного и найдем 7ггл г и гул+г, между кото* рыми оно заключено, и воспользуемся оценкой (23): !и„!<2гИ,гпах!! !+2М,шах()и„~, !и, !)~( < 2Мг гпах ! )~ 1+ 2гИВ [41И1 гпах ! 1 ! + гпах ( ! ф 1, ! ф ! )! <~ <(2М, +8Мг Ил) гпах1~ !+2Мхшах(!ф!, !ф!). (27) Оценка (27), полученная при д — р ) 24/О, в силу (23) остается справедливой и для д — р < 24/О.

Задача (21) разрешима при произвольных правых частях, так как из оценки (2?) видно, что при ф = ф = )л, = 0 существует только нулевое решение. Мы завершили доказательство того, что при условиях гладкости (14) и при условиях (!4') условие (15) является критерием хорошей обусловленности задачи (1). Следующий пример показывает, что условия гладкости (14) нельзя игнорировать. Легко проверить, что разностная краевая задача а„и„ , + Ь„ил + слил ю — — О, О < и < йГ, и=О, ии — — О, ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКР[ [Гл.

3 где а„— = 1, Ь„= ( — 1)", с„— 1 и У = 6У[, имеет при любом натуральном й[[ нетривиальное решение лп Б[п —, если и четное, 6 лл — соз — . если п нечетное. 6 Следовательно, эта краевая задача не является хорошо обусловленной, несмотря на то что ! Ь» ! — ! ал + сл ! 1 — — — ~«~=[~.1=~.„~=1, т. е.

[ % [ » 1 6 ' 1[)г [ » 1 6 ' 1 ! 3. Свойства хорошо обусловленных задач. Сформулируем полученные в 2 4 и в п. 2 настоящего параграфа результаты о хорошей обусловленности задачи (1) в форме, удобной для использования при исследовании прогонки в $7. Для хорошей обусловленности разностной краевой задачи (1) достаточно, чтобы выполнялся один из следующих трех признаков: первый признак: !Ьл!)!ал(+!сл(+Ь, Ь>0; второй признак: ! Ь»1 — ! ал ! — ! сл! ," + +, )0>0, [[»=[пах((ал!, !Ьл!, !сл!))В > 0; третий признак: 1 Ьл ! + ! ал + сл ! 1, 1„!.

!+1, >Е>0, М)й„>В>0, причем предполагается, что коэффициенты вещественны иудовлетворяют условиям гладкости (14) !аа — а[)(~сг~, ~, (Ь» — Ь[!((.0~ !сь — с[!(й! (, 0>0, [а>0. В случае выполнения любого из первых двух признаков задача (1) разрешима при !У ) 2 и при произвольных правых частях, а в случае выполнения третьего признака задача (1) разрешима при всех достаточно больших У и произвольных правых частях. При тех же У наряду с задачей (!) разрешимы все «урезанные» краевые задачи вида (21). хооошо овтсловлвнньгв кгаавые задачи 65 о 7! Решение (и„) исходной задачи и решения (и„) всех урезанных задач удовлетворяют оценке 1и„1~(Мгпах(1ф 1, 1ф 1, гпах1! 1), р ~а(г!, гдс М ие зависит от У, р, 4.

й 7. Обоснование метода прогонки для хорошо обусловленных краевых задач Теперь все подготовлено для исследования прогонки, которая была описана в $ 5. Пусть требуется вычислить решение разностной краевой задачи а„и„, + Ь„и„+ с„и„+, — — 1„, 0 < п < ЬГ, ио=ф, и„=ф, (!) 1а„1, 1Ь„1, 1с„)< М. Относительно этой задачи будем предполагать, что сама она и все задачи, полученные ее урезаниями: а„и„ , + Ь„и, + с„и„+, — †)„, р < а < д, ио — — ф, гго — — г)г, имеют решения (и„) при произвольных правых частях, причем 1и„1( Мгпах(1ф(, 1ф 1, гпах1) 1). (2) В процессе исследования прогонки мы будем пользоваться тем, что в силу оценок (4) и (5) п. ! 5 6 разностная задача с возмущенными коэффициентами а„й„,+Ь„й„+с„й„+,— — („, 0<а<У, йо=гр, йи=ф, (3) ! ! а„— а„1, 1Ь"„— Ь„1, ! с„— с„1( е < — „ а также все задачи, полученные урезанием задачи (3), имеют решения (й„) при произвольных правых частях, причем 1й„1(2Мгпах(1ф 1, 14 1, игах!),„!).

(4) 1П !. Оценки прогоночных коэффициентов. Здесь мы покажем, что прп вычислении прогопочных коэффициентов никогда не придется делить па нуль, и получим оценки прогоночных коэффициентов, пригодные как для исходной задачи (!), так и для возмушенной задачи (3). Для этого достаточно рассматривать возмушенную задачу, так как исходная задача является частным случаем возмушепной (при е = О).

3 с, гс годгоов, в с Ряоеньнио овосновхние метода пгогонки [гл. з Рассмотрим следующую урезанную систему: а„й„1+ б„й„+ с„йв ю =)„, 0 < и < 1, й=ф, й=Ф Она разрешима. Найдем из нее й~ ь Из формул Крамера для решений систем линейных алгебраических уравнений вытекает, что й~ ~ представимо в виде й,, = 1. ф + ~ ЛД + Лаф = 1.й, + К, (5) где 1. и Л; зависят только от а, б„, с . Вследствие оценки (4), справедливой при произвольных ф, ф, (1,„), отсюда при ф = О, ); — = О, ф = ! следует ! 1.! =! й~, ((2М, а при й, = ф = 0 следует ! К ! = ! йс, ! (~ 2 И гпах () ф ), гпах ! 1" !).

Величинам Ь и К удобно присвоить индекс 1 — '/е и полученные соотношения и неравенства записывать так: й =1., „й+К, „, 11г-у,!(2~И, !Кг-а(((2~Игпах(!ф1, шах!! !). ) Соотношение такого же вида было получено при описании прогонки в й 5. Из формул Крамера (5) видно, что 71-'ч, однозначно определяется через коэффициенты а„, б„, с„, а К~ ь однозначно определяется по ф, 1„, а„, б„, с„(О ( а (1).

Отсюда следует, что коэффициенты 1ч ь, К~ а совпадают с полученными в $ 5 прогоночными коэффициентами, для которых там были выписаны рекуррентные формулы Понятно, что это последнее утверждение справедливо, только если рекуррентпые формулы имеют смысл, т. е. если пи один из знаменателей в этих формулах не обращается в нуль. Локажем, что знаменатели действительно пе обрашаются в нуль, 1.у =-О, '1.ьг ь— а ь,+а,г., ч ' Кь=ф, а(К(-ч (7) К14.м ь~ + а~гч ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Пусть мы уже показали, что по формулам (7) можно вычислить 7.1ь, ).ь, ..., 4 ь к, к,......к,,) ' проверим их применимость для бачк ы К+~,. Для этого достаточно показать, что ! Ь! + йюУ.ю-ч.