Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 7

(7) Д о к а э а т е л ь с т в о. Сначала предположим, что при заданных фиксированных ф, ф и (1„) задача (1), (2) имеет решение (и„), и установим для него оценку (7). Пусть наибольшее среди чисел (и„1, п = О, 1, ..., ЛГ, есть число 1иь1. Если й = О или й = ЛР, то неРавенство (7) очевидно, так как иа = ф, ин = 4)Р.

Остается рассмотреть случай О < й < Лр, 1ия1 ) 1и„1. В этом случае, с учетом (6),можно написать и неравенство (6) также выполнено. Осталось доказать, что задача (!), (2) имеет, и притом только одно, решение (и„) при произвольных правых частях «р, ф и (1„). Задачу (1), (2) можно рассматривать как систему Лр'+ 1 линейных уравнений относительно такого же числа неизвестных им иь ..., ин. Поэтому нужно установить, что определитель этой системы отличен от нуля. Как известно из алгебры, определитель системы отличен от нуля в том и только том случае, если соответствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Но для системы (1), (2) однородная система получается при ф = ф = 1' = — О.

Из оценки (7), доказанной для каждого решения (и„), видно, что в этом случае имеется только тривиальное решение и„= — О. Достаточным условием хорошей обусловленности задачи (1), (2) является также следующее условие: ) 0 > О, гпах (1а„( 1 Ь„1, 1с„1) )~ В > О, (8) где 0 и  — некоторые постоянные, не зависящие от ЛГ и и. Действительно, иэ (8) следует (6) с постоянной Ь = 0(1Ь„1+!а„1+!с„)) ОВ > О. Поэтому (7) примет вид (и„1(шах(1«р1, 1«)41, 0 гпах1««1~. 1 (О) ! Ь«1 1иь1=1 — ария-р — сдиь«.р + (41~~ <1аь! ° 1ия-«1+!с«! ° 1иь«.«1+1)41((1а«1+! сь!)1и«1+1)4 1, 11»1 ( 1 1141 1и'(чм1ь,! — 1,1 — 1,! а КРАГВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2 ГО ПОРЯДКА ~ГЛ.2 аи„, + Ьи„+ си„„, =1„, О < и < Л/, ио — — ТР, ин=ф (10) с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни 41 и дг характеристи теского уравнения а + Ьд + сдг = 0 (! 1) были по модулю один больше, а другой меньше единицы, т.

е. чтобы удовлетворялись неравенства вида 14~|< з ' 14~ 1~ 2 ' 8 е (12) где 0 — некоторая положительная постоянная. В случае, если коэффициенты а, Ь, с ве~пественны, критерию хорошей обусловленности (12) в силу доказанного в п. 3 $3 можно придать удобную форму: !ь!-!а+с! )О ТТТ»Т'ТтТ Т Удобство критерия (13) состоит в том, что его выполнение проверяется непосредственно, без вычисления корней д1 и 42. Доказательство критерия (12) будет проведено в п.

6 этою параграфа. 5. Критерий хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами. Критерий (12) хорошей обусловленности краевой задачи для разностиого уравнения с постоянными коэффициентами, сформулированный в предыдущем пункте, обобщается на случай задачи а„и„ , + Ь„и„ + с„и„ ., = 1„, 0 < п < ЛТ, иь = ~Р, ив = Т(Т (1) (2) с переменными коэффициентами, если только эти коэффициенты изменяются достаточно «плавно».

Сформулируем это обобщение точно, причем относительно уравнения (1) будем предполагать, что его коэффициенты ограничены в совокупности, (а„! < М, |Ь„! < М, |с„! < М, и что все три коэффициента а„, Ь„, с ни при каком и одновременно тю становятся малыми: д„= тпах(|а„|, ! Ь„|, ! с„!) ) В > О. Предполагается, что М и В не зависят от ЛТ и и. 4. Критерий хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными коэффициентами. Т е о р е м а.

Для хорошей обусловленности краевой задачи ПРИЗНАКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ % л1 Теорем а. Пусть коэффициенты задачи (! ), (2) удовлетворяют условиям !аь — а~!((0~ ~, !ЬА — Ь,1~~0~ — (, 1 !сь — с~!(П) А, ~, О) О, гь) О. (14) Тогда для хорошей обусловленности задачи (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы корни о, и дг квадратного уравнения а„+ Ь„у + с„д' = О, О ( и < Л~, (15) удовлетворяли условию вида !%! 2' !чг ! 2' а е (16) где 0 ) Π— некоторое число, не зависящее от Лl и п. Условия (14) выражают требование гладкости коэффициентов.

Они выполнены, например, если а„= а (н/У), Ь„= Ь (а/Лl), с„= с (п)Л7), где а(х), Ь(х), с(х) — некоторые функции, определенные на от- резке О ( х < ! и удовлетворяющие условию Гельдера: ! а(х) — а(х') !ч;; П! х — х' !", ! Ь(х) — Ь(х') !(~П!х — х'!", ! с (х) — с (х') ! ( П ! х — х' !". Уравнение (15) является характеристическим уравнением, построенным для разностного уравнения аи,, + Ьи, + си,+, — — О ! ь л ! ! а л + сл ! ) 0 ) О ! Ьл ! + ! ал ! + ! сл ! ~ где 0 не зависит от Л/ и а Сформулированный критерий (14), (16) или (14), (17) будет доказан в 5 6.

Там же будет показано, что условия гладкости (14) игнорировать нельзя. с постоянными коэффициентами а, Ь, с, совпадающими со значениями переменных коэффициентов а, Ь„, с„при зафиксированном п,т.е.а=а, Ь= Ьл,с=с . Если а„, Ь„, с„— вещественные коэффициенты, то в силу п. 3 $3 условие (16) можно заменить легко проверяемым ус- ловием 44 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2.ГО ПОРЯДКА !ГЛ. 2 а именно следующее утверждение. Для хорошей обусловленности задачи (!0) необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения а+ Ьа+ сд2= 0 удовлетворяли неравенствам вида 12!! 2 ' 1!ЕЕ2 ! 2 ' 0 0 (12) где Π— некоторая положительная постоянная. Достаточность.

Решение задачи (! 0) представим ввиде суммы двух сеточных функций, положив и„=й„+ й„, (18) где (й„) — решение задачи ай„,+Ьи„+си„+,— — О, 0<п<йЕ, й,= ~р, й„=ф, (19) а (й„) — решение задачи ай„,+Ьй„+сй„е!=~„, 0<п<й1, й.=О, йА,— — О. (20) Решение задачи (19) имеет вид й„= Аа!'+ Ва", где А и В опре- деляются из условий йо = !р, йее = ф: ф — М ~ „22 — М!' л ! ( -!)А!ч!+1 ( -!)Уч2 (21) Обозначив 1 — О/2 = р, из (21) получаем (й„1~2 Р,„!пах(!!р!, 1ф!). (22) Заметим, что если !а„+с„! = !а„!+ !с„(, то условие (17) совпадает с условием (8) и обеспечивает хорошую обусловленность н без предположений о гладкости и вещественности коэффициентов. 6.

Обоснование критерия хорошей обусловленности краевой задачи с постоянными козффициентами. Докажем сформулированный в п. 4 критерий хорошей обусловленности краевой задачи аи„,+Ьи„+си„+,—— !'„, 0<п<й!, (! 0) ио='Р ии =ф ПРИЗНЛКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ $ в1 рма — ((1 ') ~ < ( ) Здесь использовано известное неравенство при а = 2/О, Ь = 2 Таким образом, 1 — р'" ).в/ 1-1/1' ю ' так что из (22) при и ) 6/О, М вЂ” и ) 6/О получим ] й„]< — гпах()ф 1, ]ф1). 1 (24) Оценим решение (йч) задачи (20). Представим й„в виде суммы й„= й + и'„, 0 ~ п:, Л1, решений двух задач — задачи 1ч аи„', + Ьи'„+ ей+, = ~ и задачи 0 < п < Л/, п~(0 или п)Л1, (25) аи'„, + Ьи'„+ си'„, = О, 0 < и < Л/, и, = — и„, и = — ии. Ограниченное решение (и*„) задачи (25) существует, единственно и удовлетворяет оценке (15) $ 3: !и.]( вв, гпах]1 ! (27) где В = п1ах(]а], ]Ь!, ]с]).

В частности, 16 ) ]и']~ вв шах]1.]. 1 ]йи]~ вв шах]1~] 1 (27'] Поэтому при всех Л1 2 и и = О, 1, ..., У ~ й„1(~ — 1 шах (]ф ~ 1Ф]) = — гпах ( 1 ф 1, ] ф]) (25) Если п и М вЂ” и — достаточно большие числа, то коэффициент в неравенстве (22) сколь угодно мал.

Например, при л > 6/О, /У вЂ” л > 6/О 48 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЬГО ПОРЯДКА 1ГЛ. 2 Для оценки решения (и„') задачи (26), совпадающей по своему виду с задачей (19), воспользуемся формулой (2!) и оценкой (23), заменив только 42 и ф на — и', и — ииг (и„')( а гпах(!иВ~, (иаг!). Теперь примем еще во внимание (27'): !";! <4- ° !1.1 (28) Объединяя оценки (27) и (28) с учетом 9 ( 2, получим (й" ! = ве' шах!1 !. (29) Следовательно, для решения (и„) исходной задачи, объединяя оценки (23) и (29), получим ! и„!(! й„!+ ! й„!( —, гпах!1 )+ — гпах(!~р 1, !ф !).

(30) Оценка (30) обеспечивает хорошую обусловленность !и„!( (Мгпах(!гр(, !2Р! гпах!1 !), причем за М можно принять гл 128 4 М= — + —. =ВО Е или ! и„! < м, гпа х ! 1 !+ — гпах ( ! гр !, ! гр ! ), (3! ') где М~ зависит только от 9 и Н, но не от 7гг. Оценкой (3!) мы будем пользоваться в 9 6, Необходимость Заметим сначала, что если условия (!2) не выполнены ни при каком положительном О, то корни характеристического уравнения Р(а) = а+ Ьд+ сд2 = 0 по модулю либо оба меньше единицы, либо оба больше единицы, либо хотя бы один из них равен единице: 1) !п~!<р<1, (а2!<р<1, 2) !Ог!>р>1, )Е !>р> 1.

3) ! Ч г ! 1 (32) (33) (34) В случае и ) 6/9, йг — и ) 6/О можно уточнить оденку (30), воспользовавшись вместо неравенства (23) неравенством (24): (и,!( ~ гпах!1 !+ а гпах((гр!,!2Р!) (31) ПРИЗНАКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ 47 Покажем, что во всех трех случаях хорошей обусловленности нет. (35) и чтобы выполнялись неравенства юах(ии(>М, тпах(( (, и «1 где Л)и — некоторая неограниченно возрастающая при Л(-ь и« величина. В случае (32), считая для определенности, что д! Ф дэ, положим ди — дл 0<л<Лà — 1, аи = О.

и Л!. Тогда шак ! ии ! >~ ! и, ! = ! д! — д! ! > О. (37) Правая часть () ) в задаче (35) есть О, если (и ии ааи, + Ьии+ сии+! — — 4 ( — с(дл — д" ), если 1, ! 2,) и ~ Лг — 1. и = Лà — 1. Отсюда шах((ж)=! !л ! ((~2(с(Р иФ Сопоставляя (37) и (38), вндил!, что в неравенстве (36) надо положить (38) так что Л(б экспоненциально растет с ростом ЛГ. Случай (ЗЗ) аналою!чен случаю (32). Если выполнено (34), то положим и = д в!п —, 0 и. л ~ Л( и и ! Л( Тогда, очевидно, ~ 2' 1 л (39) Для !)и! получаем оценку ()„! .= ! аии, + Ьии+ сале, ! = = ~<ад! + Ьд! + ад!~ ) э)п — + ад, !Хв)п — и!п —, ) + и+, ил и ! / .

(л — 1)л, лл'! и+! / (л+1)л „иль! 1 и ! Г, (« — 1)л «и Х + сди !Хэ!и — юп — А! ~ = ! ад" !Хэ!п — мл — А! + +ад" ~5!п а!п — ) ~~((а(+ (с!) —. (40) 4! / (и+1)л лл т) л Для этого во всех трех случаях построим некоторые функции (и ) так, чтобы опи были решениями задачи вила аил-!+ бил+ сии+! = 1« 0 < «< ЛГ ио — — ил — — 0 48 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНГННЯ 2-ГО ПОРЯДКА !гл. г Из (39) и (40) следует, что неравенство (36) выполнено, если Аг л 2()а)+!с!) Таким образом, здесь нет хорошей обусловленности, если понимать под ней требование независимости М от Л' в неравенстве (5).