Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 8

7. Общие краевые задачи для систем разностных уравнений. Задача (1), (2) является лишь простейшей краевой задачей для уравнения второго по. рядка. Сформулируем без доказательства необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности общих краевых задач для систем разностных уравнений на сеточном отрезке (В. С. Р я б е н ь к и й, ЖВА! и МФ 4, 2 (1964) ). Краевая задача состоит в отыскании вектор-функции (и„», л = О, 1, 2, 3, ..., АГ, удовлетворяющей условиям йз Ай „и„+й — — )л, йо (~ л ~ йг — йо зйз зйо , "а,из = ф, ~ (),.и = ф !=о ! о (2') где А1 не зависит от А!. Относительно коэффициентов Аз, будем предполагать, что Ай „=Ай(у), где Ль(к) — матрица, определенная иа отрезке 0 ~ х < 1, удовлетворяющая на этом отрезке условию гладкости !) А, (х) — А, (х') ))~ ((Э ! х — х' )н, 0 > О, ы > О. (14') Далее, предположим, что Л(х) = щах!) А„(х) !) ~ В > О.

Здесь Ль, — квадратные э~атриды некоторого нарядна гл ) 1; и„г„— векторы той же размерности; ы; — л1атрицы, имеющие по гл столбцов и г > 0 строк; !); — матрицы„имеющие по гл столбцов и з > 0 строк; ф — заданный г-мерный вектор; ф — заданный з-мерный вектор. Задача (1'), (2') хорошо обусловлена, если она имеет решение (и ) при произвольных ()„), ф, ф причем шах!! и„()~М щак ( !! ф !), !! ф !), гиах))(1 ((), л ! При этих ограничениях для хорошей обусловленности задачи (1'), (2') необходимо и достаточно, чтобы выполнялось каждое из следующих условий 1' — 3'. 1' Среди корней р и т уравнений й, де! ~ Лй (х) рй'"й 0 й- -й.

йг А ( ) йг-й й -й 49 ПРИЗПЛКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ $4] нет равных единице по модулю, причем корни р и т этих уравнений удовле- творяют каждый одному из следующих четырех неравенств: где 0 ) 0 не зависит от х. 2' Размерность г матриц а! равна числу тех корней )4, модуль которых меньше единицы, а размерность з матриц б! равна числу тех корней т, модуль которых меньше единицы, 3' Среди решений (и ), л ) О, задачи Х Аь(0)ии -а=О' до~и< со, ,1 а--ь, аи =0 1 1=О и среди решений (и ), л < Л', задачи а, А (!)ии а — — О < <йг — 2,1 о зьч (!1и = 0 г=о нет ограниченных, отличных от тождественного нуля. Последнему условию, 3', можно придать вид необрашения в нуль некоторых определителей с элементами, не зависящими от й1. Проиллюстрируем сформулированный критерий, исследован условия хорошей обусловленности задачи О ° ил-! — 2ил+ ии+! = )и, 0 < л < йГ, ) аио 'р им ()ии-! = ф где а и (! — некоторые числа; гл = 1, г = 1, з = 1, й, = 1.

Корни уравнений 0 — 2р+ р' = 0 и 0 тз — 2ч+ 1 = 0 равны И!=0, )44 =2, т! = !/з (чз = ло). Среди них нет равных единице по модулю, н условие 1' выполнено. Условие 2' тоже выполнено, так как количество скалярных граничных условий на левой и правой границах равно г = з = 1 и равно числу тех корней )4 и у, которые меньше единицы по модулю. Выясним, при каких значениях а задача 0 ии-! — 2ил+ ии+! = 0 и ~ 1, ) аиз — и! = О, (И) <1- —, в 2' (р-!<! — —, -! О 2' а )т(<1 — —, )ч )<1 — —, -1 в ОО КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2.ГО ПОРЯДКА (ГЛ.

2 ие имеет нетривиальных ограниченных решений. Общий вид решения задачи 0 и„-1 — 2и„+и„+,=О, л>0 есть и„=ср, + сер", л>0, (А, =1. л и Из условия ограниченности находим сз = О. Поэтому ~ со если и=О, и„= снц~ —— 1 О, если л>0, Учитывая условие аиа — иг = О, видим, что при сс Ф 0 нетривиальных решений нет, а при и = 0 они есть. Выясним, ири каких (1 задача 0 ° ия ~ — 2ил+ ил+, = О, л < ЛГ, и — ()ии, = О ие имеет ограничеиныч при л — ь — аа нетривиальных решений. Общее решение задачи 0 и„, — 2и„+ и„+1 — — О, л < Л(, есть и„= с,ч~ " — — с~ ( /з) " = с,2". Оно ограничено ири л-ь — са. Из граничного условия ин — ()ик-г = 0 ви- дим, что с12 — йс12~ ' = с,йи г (2 — О) = О ЗАДАЧИ разностную краевую задачу оггл-~+Ьв,+си„+,=,'„, О <л<йг, ~ — ~ — О „,-йг (*) будем называть хорошо обрсшвлелной, если она имеет одно и толька одно Решение пРи каждом гУ, и если числа из, иь ..., ин, обРазУющие Решение (и„), удовлетворяют неравенству.

) и„) < Л1 гпах ( ) ~р ь ) зр ), гпах )гш (), где Л1 от )у не зависит. 1. Если оба корпя дг и дз характеристического уравнения о + Ьд + сд' = = 0 по модулю меньше (больше) единицы, то разпостная краевая задача (*) не может быть хорошо обусловлена. Для простоты считать 4~ Ф дз. Доказать.

2. Если хотя бы один ~о корней дь дг характеристического уравнения по модулю равен единице, то разностная краевая задача (*) це может быть хорошо обусловлена. Доказать. 3. Если )41) ( 1, )42) > 1, но 1 — ))д =О, 1 — ад, =0 или то задача (*) ие может быть хорошо обусловлена. Доказать. 4. Для хорошей обусловленности разпостной краевон задачи (*) необходимо и достаточна, чтобы один корень характеристического уравнения ио модулю был меньше единицы, )дг) ( 1, а второй больше единицы, )дз~ > 1, и чтобы 1 — ссд~ Ф О, 1 — Ось чь О.

Доказать. и нетривиальное решение, сг М О, существует только при )) = 2 Итак, рассматриваемая краевая задача хорошо обусловлена при любых и Ф 0 и й Ф 2. Если гх = 0 или (1 = 2, задача не является хороша обусловленной. ллгоритм решения — пног011кк 5. Задача с постоянными (комплексными) коэффициентами а«я-~ + Ь«„+ с«яь, = Ьь и = О, ~ 1, ... с произвольной периодической правой частью 1«-1-« имеет при всех достаточно больших )у периодическое решение («), и я' яе« = «, удовлетворвощее оценке !««1<Мшах)1 1. где М от й1 и от 11 1 не зависит, в том случае, если среди корней характе. истпческого уравнения а + Ьд + сдз = О нет рваных еаиннцс по модулю. оказать.

$5. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка 1. Описание прогонки. Опишем теперь простой и удобный метод решения разностной краевой задачи рассмотренного нами в $ 4 вида: а„и-1 + Ь„и„+ с„иа ь1 — („, 0 < п < Лг, ио=р, и«=$. (1) Он представляет собою один из вариантов метода исключения неизвестных и носит название метода прогонки. Запишем уравнение ио —— — гр системы (1) в виде иа = 1, и, + К,, ГдЕ Ьуь = О И Ку, = ср. ИЗ ураВНЕНИя а,ио + Ь,и, + с,и, = (1, введя обозначения а яр — А — Ь вЂ” с, Еч,= —, ь, Соотношением и1 — — 1.у.,из+ К1, можно воспользоваться, чтобы исключить и1 из уравнения а и, + Ьзиз+ сзиз = й» отвечающего номеру п = 2 Результат исключения опять запишем в явном относительно и, виде и, = 1.,1 из + К,1 . отвечающего в системе (1) номеру и= 1, исключим ио с помощью равенства ие = Ь«зи1+ К«я Результат запишем в разрешенном относительно и1 виде и,=1., и +К, кехввля злдлчл для телвнення вго повядкх /гл.

2 Описанный процесс исключения можно продолжить для п=3,4, ... Подставляя ил /=/.„т,и„+ К„ в уравнение алии , + Ьли„ + Сини получим сл 1„— а„/с„1/, ил= " и„+,+ ал + ил~и-Ч~ Отсюда видно, что коэффициенты получаемых в процессе исключения соотношений пл = / л+'/инл+/ + Кл+'/я вычисляются по рекуррентным формулам — сл ) сл+'/»= Ь +л /., ' ! л л л Ча /л л~~л-'/1 (2) им,=Е„, им+К,, Так как и/т = ф, то можно вычислить и// // ил, = Л„, ф+ Кк, . После этого ин и и/и з и т.

д. определятся соответственно из равенств и =Еэ,/и,„,+К, ./, //„з = ).к ч и, + К„,/ н т. дл пока не будет определено иь Повторим кратко, в чем состоит описанный сейчас вычислительный процесс. Сначала проводится вычисление коэффициентов Е„и.д, К„м/, в порядке возрастания номеров (прямая прогонка) по рекуррентным формулам (2), причем ь/, =О и К/, и ф заданы.

Затем вычисление неизвестных ил производится также рекуррентно в порядке убывания номеров (обратная прогонка) по формулам (3) ил=1.лы/,и„+/+К,+а, п=й/ — 1, й/ — 2, ..., !. / Последнее из получаемых таким образом соотношений имеет вид ллгоРитм Решения — ПРогонкл 5 5) Отметим, что для вычисления методом прогонки решения им иь ..., и„системы (1), состоящей из Л(+ 1 уравнений, нужно проделать арифметические операции в количестве только в конечное число раз большем, чем число неизвестных. На решение произвольной линейной системы Л) уравнений с Л( неизвестными методом исключения приходится обычно затрачивать арифметические действия в количестве порядка Л(2.

Такого. сокрап(ения числа арифметических действий прн решении системы (1) методом прогонки удалось достигнуть, удачно использовав специфику этой системы. В й 7 будет показано, что при решении описанным здесь методом прогонки краевой задачи (!), удовлетворяющей одному из указанных в $4 условий хорошей обусловленности !Ь„!>!а„!+!с„!+Ь, Ь> О, (4) или 1~"! >Е >О, (1„= (пах(!а„1, ! Ь„1, ! с„!)>В> О, или ! Ь„1 — 1аа+ с„! >Е>О, (,>В>О, )ал — а,!(0~ „~, !Ьл — Ь,!(0~:(, !сл — с(!(Р! ), 0> О, а) > О, выражения Ь„+ а„7.„ш, на которые приходится делить, не обращаются в нуль, а погрешности, допускаемые в процессе вычислений, не накапливаются и не приводят к возрастающим с ростом Л(' ошибкам в вычисляемых значениях решения.

Эти два замечательных свойства прогонки — малое число арифметических действий для ее реализации и слабая чувствительность к вычислительным погрешностям — делают прогонку очень удобным вычислительным алгоритмом. 2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма. Для решения хорошо обусловленной разностной краевой задачи (1) возможны разные алгоритмы. Мы описали алгоритм прогонки, обладающий достоинствами малого числа необходимых арифметических действий и вычислительной устойчивости. Укажем другой, еше более простой алгоритм, однако вычислительно неустойчивый и практически непригодный при больших значениях Л(.

Задав с()~ =(р, ()',и = О, найдем решение (7(ч =((7(„')), п = =О, 1, ..., Л(, разностного уравнения (1). Понятно, что, вообще говоря, Ри ~ )р. Задав Оа =(р, (7( —— 1, вычислим решение и) (2) (2) 54 квхевхя задача для тнавнения 2.го повядкх !гл. 2 0' ' = (О„''). Это решение также не удовлетворяет условию на правой границе. Положим теперь ил =о0, +(1 — о)0'„', п=О, 1, ..., Л/. (5) Очевидно, что при любом а выполнено условие иа = у и удовлетворяется уравнение (1). Выберем о так, чтобы выполнялось условие и, = оР" + (1 — о) (ч'„2,! = ф, т. е. положим ии> 0= в н по формуле (5) получим искомое решение задачи (1).

Если бы вычисления велись на идеальной, лишь умозрительно возможной машине точно, то этот алгоритм был бы хорош. Покажем теперь, что чувствительность его к погрешностям округления для хорошо обусловленной задачи (1) быстро возрастает при )ч'- са. Сделаем это на примере, когда а„= 1, Ь „— = — 26/5, Сл = 1, (л —= О. Условие (4) хорошей обусловленности выполнено. В этом случае точное решение разностной краевой задачи выражается формулой зм — л 5л-м 5л 5-л чл — 5 л зл — 5 (5) Для (У~", (ч",' в силу (5) э 3 получим (ил+ бил), где Лил =еК,'.