Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 4

Схема (3) для дифференциального уравнения второго порядка и" + Аи' + Ви = !' имеет второй порядок. Пример схемы (2) — — и (х — Ь) + Аи (х) + — и (х + Ь) = 1 (х) для уравнения и'+ Аи = ! показывает, что порядок разностного уравнения может быть больше порядка дифференциального уравнения. В этом примере дифференциальное уравнение имеет первый порядок, а соответствующее ему разностное ураинение — второй.

3. Общее решение разностного ураанения. Опишем теперь структуру решений изучаемых разпостных уравнений. Сначала рассмотрим однородное уравнение . ай„+ Ьи„,, =О. (6) Обозначим через У, решение уравнения (6), удоилетаоряющее начальному условию У„= 1. Очевидно, что йн = ау„также будет решением однородного уравнения при произвольном выборе постоянной а. Нетрудно показать, что любое решение однородного уравнения (6) может быть представлено и таком виде. В самом деле, каждое решение однозначно определяется своим пРостепшие Рлзностные уРАВиеиия значением при и = О.

Но решение й„, принимающее заданное значение им получается по формуле й~ = ау„, если в качестве множителя а взять число йа. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4) аи„+ Ьи„ч! = )„. Пусть (й„) и (и„') — два каких-нибудь его решения. Вычитая друг из друга равенства ай„+ Ьйа м — — )„, аи„+ Ьи„+! — — )„, мы видим, что разность й„ вЂ” й = и„ удовлетворяет однородному уравнению (6) ай„+ Ьи +! = О. Поэтому любое решение (й„) можно записать в виде й„=и,', + й„= и,', + аУ„ при подходящем выборе постоянной с!.

Легко проверить, с другой стороны, что при произвольном выборе !х формула и„=и'„+ау„задает некоторое решение неоднородного уравнения: аи„+ Ьи„+! — — а (и'„+ аУ„) + Ь (и'„+! + ау„+!) =- =(аи„'+ Ьи„'+!)+ а(аУ„+ ЬУ„+!) =)„+ а ° О = („. Итак, мы показали, что общее решение однородного уравнения (6) ай„+ Ьй„+! — — О имеет вид й„= — аУ„, где У вЂ” частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Уа =!, а а — произвольная постоянная. Общее решение неоднородного уравнения (4) аи„+ Ьиа м — — )„ может быть представлено в виде и„=и„+ ау„, где и'„— какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения, а !х — произвольная постоянная.

Аналогичное утверждение и аналогичными рассуждениями можно доказать и для разностного уравнения второго порядка. Мы не будем эти рассуждения приводить (читатель их без труда восстановит), а только сформулируем окончательный результат. 20 РЛЗНОСТНЫЕ УРЛВНСНИЯ РГО И 2-ГО ПОРЯДКЛ ~гл. г Обшее решение однородного разностного уравнения (7) иб„, + Ьи„+ си„.„=О может быть представлено а виде и„= аУ„+ ~2„, где У и а — частные решения уравнения (7), удовлетворяюшие начальным услоаиям У,=1, У,=О, юо=О ~~ =1, а а и р — произвольные постоянные. Обшее решение неоднородного уравнения (5) пии-1 + Ьии + спича 1и может быть представлено и виде и„= и„'+ ОУ„+ ~Л„, где и„' — какое-нибудь частное решение этого неоднородного уравнения. Все результаты и рассуждения этого параграфа могли бы быть дословно повторены и для разностных уравнений с переменными коэффициентами, по мы на этом не останавливаемся, чтобы не усложнять изложение несушественными подробностями.

злдлчи Ь Доказать, что общее решение разностного однородного уравнения а„и„ + Ь„и„+, = 0 с псремеипымн коэффициентами а Ф О, Ь Ф 0 можно записать в виде и„ = ау„, где у„ — произвольное частное решение, не при всех л обращающееся в нуль, а и — произвольная постоянная. 2. Доказать, что общее решение разностного однородного уравнения второго парадна а„и„ , + Ь„и„ + сипи+1 — — 0 с переменными иоэффипиентами, а чь О, с Ф О, можно записать в виде и„ = Пун + реи, где у и г — любые два частных решения этого уравнения, длн ноторых не равен нулю определитель ~ Уэ У~~ РАзностнОе уРАВнение пеРВОГО пОРяд11А 5 21 21 3. Пусть у и 2„— два каких-нибудь частных решения разностного уравнения второго порядка из задачи 2.

Доказать, что определитель ! Уч Уя+~ ~ = Уа2ч+~ — злая.~.~ 2» 2л Ь! либо равен нулю при каждом л, либо отличен от нуля при всех л. 4. оо скольких последовательных точках надо задать значения решения разностного уравнения аич + Ьиь ь1 + сиа ьз + ггия+з = Г», о Ф О, гГ Ф О, чтобы существовало одно и только одно решение (и 1, принимающее заданные значения в этих точках? Каким следует считать порядок рассматриваемого разностного уравнении? й 2.

Разностное уравнение первого порядка В этом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение разностного уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами аи„+ Ьи„+, — — Г„ при довольно слабых ограничениях на Г'„. Как показано в $ 1, общее решение может быть представлено в виде о чи и„= и'„+ оу„= и„' + а ( — — ), о) где и„' — какое-нибудь частное решение, а са — произвольная постоянная. Таким образом, задача об отыскании общего решения свелась к задаче об отыскании какого-либо одного частного решения и'„. 1.

Фундаментальное решение. Сначала построим решение при некоторой специальным образом заданной правой части О, и~О, Для обозначения такой функции обычно применяется символ Кронекера (О, ПФЬ, ба= ~ 11, =и Тогда 1'„= ба. Решение уравнения аи„+ Ьи„+, = б," будем обозначать через 6„: агза+ Ьб„+1=ба ° РАзнОстные уРАВнения НГО и 2-ГО НОРядкА [гл. 1 Решение О„называется фундаментальным решением урав- нения аи +Ьи+,— — ) потому что, как мы увидим на стр. 23, через него выражаются частные решения этого уравнения при различных, довольно произвольных, правых частях 1„.

Итак, мы хотим найти какое-нибудь решение следующих трех групп уравнений: 1. аО„+ ЬО„+, — О при и< — 1. 11. аОю+ ЬО, = 1. Ш. аО„+ ЬО„+, — — О при и) 1. Пусть О„= О при и ( О. Тогда все уравнения группы 1 будут выполнены. Из уравнения 11 найдем 01 =!/Ь. Уравнения группы П! можно переписать в виде рекуррентной формулы а 0„+, — — — 0„, нз которой последовательно находим а Ь з — Ь( Ь) ах Ь) 0 = — — ( — — ) при п)1. Ь ! Выпишем теперь сводку формул, выражающих 0„: О при и~~О, — — ~ — — ) при п)1. аХ Ьт (2) Это — одно из решений уравнения (1). Прибавляя к нему обха щее решение А( — — ) соответствующего однородного уравне- Ь) Ння аи + Ьиа.Р1 = О, ПОЛУЧИМ ОбщЕЕ РЕШЕНИЕ ураВНЕНИя (1): 1 А ( — ь) при и~<О, 0„=1 1, (3) 1 (А — — )( — — ) при и)1.

Фундаментальное решение (2) получается из общей формулы (3) при А = О 2. Условие ограниченности фундаментального решения. Если )а/Ь| = 1, то при любом значении постоянной А получаем фун- вхзностноа твхвнаниа паввого повидал и Рис 2. Если |а/Ь| ) 1, то ограниченное решение получается только при А = 1/а (рис. 2,б): Ч --;), <О, О, и ~)!.

(4) 3. Частное решение. Частное решение уравнения аи„+ Ьи„+, = /„ 15) с произвольной правой частью можно записать в виде ряда и„= Х О„-ь/ю ь-- (6) где О, — какое-нибудь фундаментальное решение, если только этот ряд сходится. Покажем это, воспользовавшись равенством аО„ь+ ЬО„~+~ =5~ (= Ьь) которое получается из равенства (1), если в нем всюду заме- нить и на и — й. Подставляя сходящийся ряд (6) в левую часть уравнения (5), получим аи„+ Ьи„„= а ~, О„-ь/ь+ Ь Х С вЂ” ь+ /а = а=- в Х (аО„,+ЬО„,+)/,=' Х Ь",/ =/„. даментальное решение О„ограниченное по абсолютной величине как при и- +оо, так и при и-+ — ео.

Выделим из обшей формулы (3) ограниченное фундаментальное решение О„в случае |а/Ь| Ф 1. Если |а/Ь| (1, то | — а/Ь!" неограниченно возрастает при и-+ — со. Поэтому ограниченное решение получается только при А = О (рис. 2,а). Оно задается формулой (2). плзпостпое уравнение второго порядка 4 з! ЗАДАЧИ !. Найти общее решение уравнения 2ил — ип-!- = бл Р е ш е н и е Общее решение соответствующего однородного уравнении 2й — йпчп = О имеет вид и = а2". Частное решение и„будем искать в форме и„= Сбл с неопределенным козффнпиентом. Подставляя и„= Сб» и уравнение, получим (2 бп ба+!) С ба. С = Чз.

таким образом, бл и = — — -1- а2л л (Заметим, что записать частное решение и„в виде ряда (б) нельзя, таи нам его общий член ие стремится к нулю, и ряд расходится.) 2. Подобрать частное решение и„уравнения 2ил — ил+1 = 2». У к а з а н и е Ищите решение в виде и„= Сл ° 2». 3. Подобрать частные решения и„уравнения 2ил — ил+~ =)л в случае, если правая часть имеет следующий спепнальный вид. а) 1»вЂ” = 1, б) 1»=л, в) 1»=л', г) 1»=1+2» — лз. Оп ПодобРать частные РешениЯ ил УРавнениа иа ип+~ = л если правая часть)» имеет следующий спеннальиый вид: а) 1»=1, б) /л=и, в) 1»=и', 5 3. Разностное уравнение второго порядка В этом параграфе будет получена формула, выражающая общее решение неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами пил, + Ьил+ Силл! =1 .

(1) В $1 выяснено, что общее решение имеет вид и„=и,", + йл, (2) где и„' — какое-нибудь частное решение заданного неоднород. ного уравнения, а йл = аул+ р2„ Ровность!Ыв угкв(ш!)ия !.Го )! 2 Го погядко (гл ! — общее решение соответствующего однородного уравнения аи„, + Ьи„+ сиа ю — — О. (3) Сначала найдем формулу для общего решения однородного уравнения (3), а потом фундаментальное решение и частное решение неоднородного уравнения.

!. Общее решение однородного уравнения. Вспоминая, что в случае разностного уравнения первого порядка существовало частное решение вида ио = ))", попробуем и здесь искать частное решение в виде геометрической прогрессии. Подставим выражение и„ = ()" в разностное уравнение и убедимся, что оно действительно будет решением, если () является корнем квадратного уравнения а+Ь()+сдо=О, (4) называемого характеристическим уравнением. Корни этого уравнения могут быть различными или кратными. Рассмотрим последовательно оба случая.