Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 6

Теорем а. Корни д! и дэ уравнения (4) с вещественныл2и коэффициентами один больше, а другой л!еньше единицы по модулю в том и только том случае, если выполняется оценка вида |Ь1 — |а+с| |Ь!+|а|+|с| и (17) где Π— некоторое число, причем в случае выполнения (17) !д!!< 1 2' !д2 1<! 2' а е (18) Если (17) не выполнено ни при каком О ) О, то числитель дроби (!7) равен нулю или отрицателен. До к а э а тел ьст во. Заметим, что Р (1) Р ( — 1) = (а + с + Ь) (а + с — Ь) = ! а + с |2 — Ь' = =(|а+ с ! — |Ь !)(|а+с |+! Ы). Рлзпостноа РРАвпнпсГ ВТОРОГО пОРядкА В первом случае Р(1) ° Р( — !) = О, т. е. ! или — ! является корнем уравнения (4), и (16) пе выполнено.

Во втором случае Р(1)Р( — 1) ) О, т. е. в точках д = — ! п д = 1 многочлен Р(д) принимает значения одного знака. Поэтому мпогочлен Р(д) не может иметь на отрезке — 1 ( д ( 1 ровно один корень. Этих корней либо два, либо ни одного. Если корней два, то оба они меньше единицы по модулю, п (!6) не выполнено. Если на отрезке | — 1, 1] корней нет, то либо вещественных корней вообще нет, они комплексно-сопряженные и равные по модулю, либо оба вещественных корня больше единицы по модулю, и (16) снова не выполнено.

Если при некотором О ) О условие (17) выполнено, то Р( — 1) Р(!) ( О, значения Р(д) па концах отрезка [ — 1, !] имеют разные знаки, так что на этом отрезке лежит ровно один корень. Тогда второй корень, тоже вещественный, лежит вне этого отрезка, так что (16) при некотором р(1 выполнено. Уточним последний результат, а именно получим оценку (18). Из (17) следует |Ы вЂ” |а+ с |-.0(|Ь [+ | а|+ | с |) > > — |Ь!+О 1а|+[Π— Я] |с|. Поэтому |Ь| (! — — )>|а+с|+[Π— ( — )].[с[~ >[а+ с [1 — 9+(2) 11=)а+с(1 — 2) Отсюда видно, что выражения Р(! — — )=а+с(! — — ) +Ь(! — — ), Р[-(! --')] = + ( - ~)'-Ь (! -Ф) имеют разные знаки, так что многочлен Р(д) на отрезке — (1 — О/2) ( д (! — О/2 имеет корень дь [д~] ( 1 — О/2, Очевидно, что числа ! д)= —, д 41 ' ' дс ' обратные корням уравнения (4), удовлетворяют уравнению а'+ Ь'д'+ с' (д')а = О с коэффициентами а' = с, Ь' = Ь, с' = а, удовлетворяющими тому же условию (17): ! Ь' ! — 1 а' + с' ! ! Ь ! — ! а + с | 1Ь'!+|а'|+|с'! |Ь|+|а|+|с| а -.О > О.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1 Поэтому один из корней дн г?' удовлетворяет неравенству !д') ( ! — 8/2. Этим корнем может быть только д,'= !/Ош что и завершает доказательство оценок (!8). Для уравнения с вещественными коэффициентами при условии (!7) автоматически выполнены условия (!0), а значит, и оценка (!8) для ограниченного частного решения и"„неоднородного разностного уравнения (9).

ЗАЛАЧИ 1). Написать общие решекия уравнений ' и — ~ — 5«л + бил+, = О, 5 ил-1 — — ил+ «л+~ =О, 2 и=о, ш1, и 0,~1, п=О ~1 9«л-1+ 3«л + ило1 = О, 2. Найти ограниченное при л — »+оо решение уравнения 5 ил-1 — — ил+ ил+1= О, 2 принимающее значение и, =!. 3. Выписать тысячный член последовательности иь, иь их, ..., первые два члена которой равны единице, иь = 1, и~ = 1, а последующие опреде. ляются рекуррентным соотношением ил+1 = ил-~ + ил, и = 1, 2,... 4.

Найти условие, накладываемое на корни характеристического уравнения, необходимое и достаточное для того, чтобы разностное уравнение аил 1+ Ьил+ с«л+1 = О, и = О, ~ 1, ~ 2, ..., аип-1+ Ьил+ сил+~ = О, л = О, ш 1, были ограничены. 6. Каковы должны быть корни характеристического уравнения, чтобы при и-»+со все решения уравнения аи» с+ Ьи» + си»п, = О стремились к нулю? ~7. Найти какое-нибудь частное решение неоднородного разностного урав- нения 5 ип-1 — ил + ип+~ = )л 2 и=о, ~1,. если правая часть имеет следующий специальный вид: а) )„= 1.

У к а з а н и е Искать решение вида ил — — А. б) ! = и. Указан и е Искать решение вида и„= А + Ви. в) ! = 3". Указа и не. Искать решение вида и* = А 3". л сони. Указание. Искать решение вида и„А ми и+ В сох п. имело хотя бы одно нетривиальное ограниченное решение (решение и 0 называется тривиальным). 5. Найти условия, которым должны удовлетворять корни характеристического уравнения, необходимые и достаточные для того, чтобы все решения уравнения плзмостмоц уплвнвнин второго папядкл 8. Построить какое-нибудь ограниченное фундаментальное решение уравнения ил , + «л + ил+1 = )л. Существуют ли у итого уравнения неограниченные фундаментальные решения? 9.

Построить какое-нибудь фундаментальное решение уравнения «л-1 — 2«л+ ил+1 = )л Существует лн ограниченное фундаментальное решение? 1О. При каком галанин на корни характеристического уравнения разпастнае уравнение и«л ~ + вил+ сил+, = )л не имеет ограниченных фундаментальных решений? П. Пользуясь ограниченным фундаментальным решением, выписать то решение (из, ии, ил) уравнения 5 ггл-~ — — ил+ил+1=)л и=1, 2, ..., Лà — 1, 2 которое удовлетворяет условиям из = ф, ил = ф, где ф и ф — заданные числа.

12. Найти все собственные числа р и соответствуюшие собственные функ. ции ф = (фл), гл = О, 1, ..., М, оператора Л»ю Лхлф = рФ где Л,» — оператор, который каждой сеточной функции и = (и,„) ставит в соответствие сеточную функцию и = (ол) по формулам 1 пы= — («~+1 — 2«»и+ил»,) О(ш(М, йз и, =и =О, МИ=1. От нет: 4 .л ий 1Ю . Йпт р = — — 1п —, Ф1)=аш —, 9=1,2,...,М вЂ” 1. РЗ вЂ” Вз 2М. т' — М ГЛАВА 2 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Краевые задачи рассматриваемого в этой главе вида возникают при использовании разностных схем для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. 9 4. Постановка задачи. Признаки хорошей обусловленности 1. Постановка задачи.

Простейшая краевая задача состоит в отыскании сеточной функции (и„), п = О, 1, ..., М, удовлетворяющей разностному уравнению а„и„, +а„и„+с„иаы =1„, п=1, 2, ..., М вЂ” 1, (1) во внутренних точках О ( и ( М сеточного отрезна О ( и М и принимаюшей заданные значения ио — ф, ии — ф (2) на его краях.

Краевая задача для систем раэностных уравнений будет сформулирована в п. 7. Изучая уравнение а,и„1+ а„и„+ с,и,о, = 1„, а„~ О, с„ Ф О, мы отметили, что при произвольном задании значений (и„) в каких-нибудь двух последовательных точках, например при произвольном задании ио и иь определяется, и притом только одно, решение (и„). Интересно выяснить, можно ли однозначно определить решение, если задаться его значениями в двух не обязательно соседних точках, как зто сделано в краевой задаче (1), (2).

Следуюший пример показывает, что задача (1), (2) может оказаться неразрешимой. Рассмотрим краевую задачу и„,— и„+и„+,— — О, п=1, 2, ..., 299, (3) ив=О изоо=1 (4) $41 ПРИЗИДКИ ХОРОШЕЙ ОБУСЛОВЛШГИОСТИ Общее решение уравнения (3), как показано в 5 3, может быть записано в виде ли лп и„= у, соз — + у, э )ив Из условия и, = 0 следует, что у~ = О. Для выполнения условия илов ! нужно подобрать уз из уравнения зооп изоо = уз э!и — = !. 3 Но это уравнение иераэрешимо, так как пря любом у, левая часть его равна нулю, ио ие единице. Если бы вместо условия изоо = 1 мы задали изоо = 0 (оставляя по-прежиему ио = О), то у~ снова пришлось бы взять равиым нулю, тогда как уз в этом случае может быть любым: зооп узз~п з — — у, 0=0.

Мы видим, что краевая задача (1), (2) может, вообще говоря, вовсе ие иметь решения либо решение ее может оказаться пеединственным. Однако с краевыми задачами приходится часто встречаться. Оказывается, что существуют довольно широкие классы разиостиых уравнений, для которых краевая задача (!), (2) ие только всегда одиоэиачио разрешима, ио и обладает «слабой» чувствительностью к ошибкам округления при задании правых частей гр, ф и ((„), т. е. «хорошо обусловлена». 2.

Определение хорошей обусловленности. Обычно при изучении разиостиых схем для приближенного решения диффереициальиых краевых задач рассматривают ие одну задачу, а целое семейство таких' задач, возиикающих при все более мелких шагах сетки. Тогда число М можно считать параметром, от которого зависит это семейство. Измельчеиию сетки соответствует возрастание М. Будем говорить, что раэиостиая краевая задача (!), (2) с коэффициентами а„, Ьп, сп, ограниченными в совокупности, !а„(, !Ь„), !с„! ( К, хорошо обусловлена, если при всех достаточно больших М оиа имеет одно и только одно решение (ип) при произвольных правых частях гр, ф и ()») и если числа ио, и,, ..., и.т, образующие решение, удовлетворяют оценке ! и„1( М шах ( ! ф !, ) ф 1, гпах! )„, ) ), (5) где М вЂ” некоторое число, ие зависящее от 1Ч.

!!когда к числу хорошо обусловлеипых ойшсят и те задачи, д ш нота. рых М нельзя выбрать постоянным, по можно выбрать растущим пе быстрее заданной степени М, иапрнмер М = СМ или М СМз. АО крлнвлп злдлчл для эрлвнения г-го порядкл' )гл. г Приведеииое определеиие хорошей обусловленности равиосильио одному иа прилитых в теории систем линейных уравнений, когда мерой обусловлеииости системы уравнений Ах = я с матрипей А считают число )А)! ))А '!— проиаведеиие норм матрии А и А-'. Выполнение неравенства (5) означает, что чувствительность решения (и„) к ошибкам (например, ошибкам измерения или окрсугления), допущенным при задании правых частей ф, гр и ()„), не возрастает с ростом числа М. Действительно, если вместо ф, гр и (Я задать соответственно ф+ Лф, ф+ сто, (!»+ Л)»), то решение (и„) получит приращение (Ли„).

Это приращение ввиду линейности задачи (!), (2) является решением задачи а» Ли„, + Ь» Ьи„+ с„Ки»ы = Ь)„0 < н < У, био = Ь р, Ли„= Ьгр и в силу (5) удовлетворяет оценке )Ли„)~(Мтах()йр), (Лтр), щах)а) !). Далеко не всякая однозначно разрешимая краевая задача (!), (2) является хорошо обусловленной. Например, если правым частям задачи и» ы — 5и„+ би„-1 = )„, 0 < и < У, и =ф, ив=ар придать приращения Л)„= — О, Лгр=О, ар =в, то решение (и„) получит приращение Ли»=2" ' „, Ьф, п=О, ), ..., й.

(г! )м-» ! — !'!з) Отсюда в-1 ! Аин 1,»2 з е Возмущение е при задании ф вызвало быстро возрастающее с ростом М возмущение решения. Число М в неравенстве (5) за! и-г ведомо нельзя взять растущим медленнее экспоненты — ° 2' 3 ' 3. Достаточный признак хорошей обусловленности. Т е о р е м а. Если коэффициенты а„, Ь„, с, удовлетворяют условию (6) 1Ь„(>)а„(+(с„)+Ь, Ь>0, 41 пгизнхки хояошаи овзсловланности $41 то задача (1), (2) хорошо обусловлена, причем решение (и„) удовлетворяет оценке 1и„1(гпах(1ф1, 1«р 1, — „, гпах11 1~.