Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 12

Выясним скорость сходимости в каждом из этих двух случасв задания начальных данных. Положим ив=Ь, и, =(! — АЬ)Ь. (! 5) Тогда (см. формулы (9) ) о о — о1 (! — 46+0(6')1 6 — (! — 4")6 О Ьв — я+О(6 ) — О (Ьв), А262 ~- ! — Аа — —, + О (6')1з 6-(! — Аа) 6 — Ь + О (Ь'). (16) Возвращаясь к равенству (12), легко приходим к выводу, который и является нашей целью: и„=Ье " +О(/г). (17) Он формулируется так.

Если начальное значение и, задается с точностью до величины порядка Лв, то и погрешность в решении будет порядка Ьв, т. е. разностная схема имеет второй порядок точности. Можно показать, что даже если задать в качестве и, точное значение Ье-", большей точности, чем порядка Ь', в решении добиться нельзя. Советуем читателю в качестве упражнения доказать высказанное утверждение. элемеитАРные пРимеРы Рхзностг!ых схем [ГЛ. 4 Легко также проверить, что если в качестве ии задавать не точно Ь, а любую величину вида Ь+ 0(Ь'), то скорость сходи- мости все равно будет второго порядка. Перейдем к рассмотрению второго изучаемого нами случая задания начальных данных.

Полагаем и, =ич — — Ь. При этом а и» вЂ” и (! — АЬ+ О(Ь!)) Ь вЂ” Ь а~ — а! — 2+ О(ь') АЙЬ+ 0(йх) а'и' — и' — (1+ Аь+ О (ь4)) ь — ь Ь + 1 АЬЬ + 0 (йз) а! а! — 2+ О (6') 2 и, следовательно, анм — ! [ -А»„+ 0(йзИ а!ии — и,( и( А» + ( хд а2 а! а — а =(Ь+ — АЬЬ+ 0(Ь)1(е "" +0(Ь')~— — ( — 1)"[ — АЬЬ+ 0 (Ь')]Гел* + 0(Ь )з = А» и и А» и =Ье "" + АЬ 6+0(Ь') Таким образом, если допустить в начальных данных ошибку порядка Ь, то и ошибка в решении будет порядка Ь.

Подведем итог. Мы видели, что рассматриваемая разностная схема и(х+ Ь) — и(х — Ь) + ~и(х) () в отличие от схемы + Аи(х) =О, может дать более высокую скорость сходимости, а именно сходимость с остаточным членом порядка Йх, а не порядка Ь, как у второй из этих схем. Для того чтобы добиться второго порядка точности, надо, задавая точное и,, выбирать и! отличающимся от значения точного решения дифференциального уравнения в точке к = к,+ Ь на величину порядка Ь'.

Можнобыло бы показать, что и ии можно задавать не точно, а с ошибкой порядка Ь'. От этого порядок скорости сходимости не уменьшится. Уточнение начальных данных до порядка Ьа и выше не дает увеличения точности решения. повадок точности и хппиоксимхция 77 Если задавать начальные данные с ошибкой порядка Ь, то и решение получим с ошибкой того же порядка. 3. Порядок аппроксимации. Интересно понять, с чем связано то обстоятельство, что схема и(х+ ) — и(х) + И оказывается менее точной, чем схема и (х + а) — и (х — Ь) + Аи (х) = () Эти схемы различаются приближенными выражениями и (х + Ь) — и (х) и (х+ Л) — и (х — Ь) Ь 26 для производной г(и/Нх в точке х. Естественно поэтому предполагать, что в первой схеме производная заменена менее точным выражением, чем во второй. Так оно и есть на самом деле.

Завгеним и(х+ й) и и(х — й) их тейлоровскими разложениями: и(Х-)-Ь) =и(Х)+ и'(Х) й+ ии(Х) 2 +иии(Х) а + О(й~), и(х — и) =и(х) — и (х)й+ ии(х) — — и"'(х) а + О(6"). Пользуясь этими разложениями, получим = и' (х)+ ии(х) — + О (Ь'), =и'(х) + и"'(х) — + О(Ь') 2а 6 т.е. в первом случае мы имеем аппроксимацию производной лишь с первым порядком точности, а во втором — со вторым порядком.

Рассмотренные примеры наводят на мысль, что порядок скорости сходимости решений разностных уравнений может быть сделан равным порядку аппроксимации производных дифференциального уравнения. Однако оказывается, что в такой обшей формулировке эта гипотеза неверна. На разностные схемы, для которых будет доказана ее справедливость, нан придется наложить одно весьма существенное ограничение — требование устойчивости.

Необходимость этого ограничения станет ясна из примера, который мы рассмотрим в следующем параграфе. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ <гл. с 78 $ 9. Неустойчивая разностная схема и (х+ И) — и (х — И) и (х + И) — и(х) или Очевидно также, что любое выражение вида и(х+И) — сс(х — И) и(х+И] — и(х) 2И +( 1) И будет приближать и'(х). В самом деле, подставим в это выражение тейлоровские разложения для сс(х+ й) и и(х — й): и (х + 6) = и (х) + и' (х) И + О (Ь'), и(х — Ь) =и(х) — и'(х) И+ О(йи). Тогда получим )с с ,и + (1 — р) сс(х + И) — и(х — И) и(х+ И) — и(х) 1и (х) + и' (х) И + О (ИсЯ вЂ” 1и (х) — сс' (х) И + О (И')) 2И + +(1 ) "" +" "+ "' " '(х)+О(И) Пользуясь такого рода аппроксимацией производной, можно получить целое семейство разностных схем, зависящих от числового параметра.

Эти схемы будут иметь вид н(х+ И) — и(х — И) + ( и (.х+ И) — и(х) + '28 И Каждому значению параметра р отвечает своя схема. Изуссенисо схем, получаюшнхся при (с = 0 и )с = 1, был посвяшен $ 8. 2. Пример неустойчивой разностной схемы. Рассмотрим теперь еще одну схему такого вида, которая получается из (1) при р=4: и (х+ И) — и (х — И) 4 2И 3 " -1- А с(х) = О. (2) И 1.

Способы аппроксимации производной. Займемся снова разностными схемами для приближенного интегрирования про. стейшего дифференциального уравнения и'+Аи = О. Как мы уже видели, для составления разностной схемы, приближаю. щей это уравнение, достаточно заменить производную и' каким- либо аппроксимирующим ее разностным отношением.

Так, например, мы рассматривали схемы, для которых производная и' заменялась через 79 неустончиВАя РАзностнАя схемА Ее можно переписать еше так: — 2и(х — Ь) + (3+ АЬ) и(х) — и(х+ Ь) = О. (2') где г/г и г/г — корни характеристического уравнения — 2+(3+Ай)д — / =О. Вычислим г/~ и г/г.' + — 1г/ + 6АА+ Ага' ! АЬ ! 2Агйг 1- О (Ьз) (4) 3+ АА+ я/1+6АА+ Ааг 2(1-]- АЬ)+ О(йг) 2 Мы будем пользоваться еше приближенными выражениями для г/х и г/и'г г/х = [1 — А/г + О (Л')]" = [1 — АЛ + О (Ь')]х"/" = =е-А" + О(Ь), 1 г/х — — [2 ( ! + А/г) + О (Ьг)]" = [2 ( ! + А/г) + О (/гг)]хи/ — 2хх/А[ елхх + О (Ь)) (5) Подставив выражения (5) в формулу (3), получим чг~г — и~ [ -Ах„+ О (ЬД ] Ршг ю [ лх„] О (Ь)1 2хх/А Прежде чем исследовать, к чему стремится и„прн й- О, мы должны указать, как задаются начальные значения иг и иг разностпого решения. Так же, как и в $ 8, будем разыскивать решение, удовлетворяюшее условшо и(О)=Ь, и возьмем в качестве разностных начальных данных иг = Ь и и~ — — Ь(! — АЬ).

Подстаапм эти начальные данные в формулу (6) и упростим по отдельности каждое слагаемое. Как и в ранее рассмотренных примерах, мы будем получать решение на отрезке [О, !], разбитом точками разностной сетки пй й/ равных шагов, каждый длины Л = 1/й/. Координата х„ точки сетки определяется как х„= нй = и//У. Решение разностного уравнения выписывается явно форму- лой элемент»Рные пРимеРы Р»зностных схем (гл. 4 80 Первое и второе слагаемые примут соответственно вид н [е ""«+ 0(6)~ = [2+ 0 ! )) Ь вЂ” (1 — АЬ! Ь [ -А««+ 6)~ [ — Алл [ (6) [2 + 0 (»)) — [! — 0 (Ь)) ' [е л+ 0 (6)12"лl Чг — иг [1 — АЬ+ 2Аг»г+ 0 (»'!) Ь вЂ” Ь (1 — АЬ) [ хил+ (6)1 г„(» [(+ О(Ь)[ — [2+ О (Ь)[ = — 2А~)г~Ь[е~"л+ 0(6)12'л! ' Таким образом, мы получили ил = [ Ьа "л + 0 (6)1+ [ — 2А Ье~'л + 0 (6)] 6 2~«/». Первое слагаемое этой формулы при 6 — О, х, = к = сопз) стремится к Ье-"', т. е.

к искомому решению. Значит, для того чтобы к этому решению сходилось все выражение для и„, необходимо, чтобы второе слагаемое сходилось к нул!о. Однако оно при 6- О стремится не к нулю, а к бесконечности. В самом деле, — 2А Ье"""+ 0(6) стремится к конечному и не равному нулю пределу — 2А Ье ", а 6 2" ( стремится к бесконечности быстрее любой положительной степени )/)!. Мы показали, что разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение, может иметь решение, не сходящееся при 6 - О к решению дифференциального уравнения. Можно подумать, что причьнш этого в недостаточно точном выборе и!. Однако мы сейчас покажем, что сходимости не будет, даже если выбрать и, точно равным решению дифференциального уравнения при х! =- Хе + 6, т.

е. если положить и! = = и,е — л» = Ье-ень Начнем с того, что упростим выражения, входящие в формулу (6): дги — и, [2+ 0 (»1) Ь вЂ” Ье Ь + 0 (6), г(г — Чг [2+ 0 (/И) — (! + 0 (Ь)) чгие — и, [! — А»+ 2А» + 0(Ь )) Ь вЂ” Ье Агйг [Ь + 0 (6)]. дг — иг [! + О (ЬЦ вЂ” [2+ О (Ь)) Подставив эти выражения в формулу (6), получим м«=~Ье ~«+ 0(6)[ — [ 2 А'Ьехл + 0(6))6'2" (". (7) НГХСТОИЧНВАЯ РАЗНОСТГ!АЯ СХЕМА в! Второй член правой части этого равенства снова стремится к бесконечности, тогда как первый остается ограниченным. Поэтому стремится к бесконечности и все решеш!с разностного уравнения. Причина того, что разностная схема (2) не дает сходимости прн й- О, как мы виделн, состоит в том, что она может иметь быстро возрастающие при уменьшенян шага й решения, даже если начальные данные заданы вполне разумно.

Такого рода разностные схемы !щзываются не!!Сгойчпашли. Естественно, что они непригодны для численного решения дифференциальных уравнений. ГЛАВА 5 сходимость рвшвния рАзностных йрАвнвнии клк слвдствиВ АппроксимАции и ~стоичивости й 1О. Сходимость разностной схемы 1. Понятие о сетке и сеточной функции. Пусть на некотором отрезке Й поставлена некоторая дифференциальная краевая задача. Это значит, что задано дифференциальное уравнение (нли система), которому должно удовлетворять решение и на отрезке й и дополнительные условия для и на одном илн на обоих концах отрезка.

Дифференциальную краевую задачу будем записывать в виде символического равенства йи = ), (1) где Ь вЂ” заданный дифференциальный оператор, а ) — заданная правая часть. Так, например, чтобы записать в виде (1) задачу — -1- =созх, 0(~х(1, дх 1+ и' и (О) = 3, (2) В гл. 4 мы на примерах выяснили, что такое аппроксимация дифференциальной задачи разностной задачей и в чем состоит сходимость, благодаря которой решение дифференциальной задачи можно приближенно вычислять по разностной схеме. Мы познакомились с явлением неустойчивости, которое может сделать разностную схему расходяшейся и непригодной для вычислений.

Анализ поведения решений в этих элементарных вводных примерах, предназначенных только для предварительного знакомства с основными понятиями, был основан на записи решений в виде формул. Такая запись оказалась возможной лишь благодаря специальному подбору примеров. В этой главе мы дадим строгие определения понятий сходи- мости, аппроксимации и устойчивости. Мы покажем, что доказательство сходимости не обязательно основывать на анализе формул для решений. Это доказательство можно разбить на проверку аппроксимации дифференциальной задачи разностпой н проверку устойчивости разностной задачи. СХОДНМОСТЬ РАЗНОСТИОЙ СХЕМЫ % !01 достаточно положить Ии х «н + !+„, 0(бахчи! и (0), сов х, 0((х» (1 з. Задача ~, — (1+х') и = ~/х ° 0(х(»1, (3) и(0) =2, йи (0) — =1 их запишется в виде (1), если положить —, — (1+ х')и, Их-' и (0), и 1О! йх 0(х((1 ° 0(~х~(1, Для записи в виде (1) задачи — „и — (! + х') и = -1~х + 1, 0(~х(1, (4) и(0) =2, и(1) =1 с краевымн условиями на обоих концах отрезка 0 ( х ( 1 надо положить —,.