Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 13

— (1 + х') и, и (0), и (1), 0((х((1, Ли =— 84 сходимость, Аппеоксил1Ация и устоичивость !Гл. Б Краевая задача для системы дифференциальных уравнений — — + хвв = х' — Зх+ 1, «'Р ах ам ! — +, +,(в+в)=совах, ах 1+ х' в(0) = 1, в(0) = — 3 0~(х~(1, 0(х(~1, будет записана в форме (!), если считать и вектор-функцией и = ( ) и положить «а — + хвв «х > ам ! — + — (и чх 1+ х' в (0), в (0), х' — Зх+ 1, созх х, 1, 0~(х~ (1, + в), 0~(х(~1, ьи— 0((х~!, 0(х(~1 Во всех примерах мы рассматриваем задачу на отрезке 0( ( х ( 1, а не на каком-либо другом, только для определенности. Будем предполагать, что решение и(х) задачи (1) на отрезке 0 ( х <! Существует. Для вычисления этого решения с помощью метода конечных разностей, или метода сеток, надо прежде всего выбрать на отрезке А1 конечное число точек, совокупность которых будем называть сеткой и обозначать через йл, а затем считать искомым не решение и(х) задачи (1), а таблицу [и)л значений этого решения в точках сетки А)л.

Предполагается, что сетка 0л зависит от параметра Ь) О, который может принимать сколь угодно малые положительные значения. Прн стремлении «шага сетки» й к нулю сетка должна становиться все «гуще». Например, можно положить й = 1/л1, где Л! — какое-нибудь натуральное число, и принять за сетку А1А совокупность точек хю = О, х! = Ь, хз = 2г!, ..., ха = 1. Искомая сеточная функция (а)А в этом случае в точке х, = ий сетки !ОА принимает значение и(пй), которое для краткости будем обозначать и„.

схОдимость РлзностнОИ схемы о )о) Для приближенного вычисления таблицы значений решения 1и]о в случае задачи (2) можно воспользоваться, например, системой уравнений л+ " =созхл, и=О, 1, ..., У вЂ” 1, + ил (6) ио=З, полученной в результате замены производной о(и/о)х в точках сетки разностным отношением по приближенной формуле »(и и (х+ Ь) — и (х) йх Ь л+' ",." "" ' — (1+х'„)и„=ч/х„+ 1 и=1,2,..., У вЂ” 1, ио =2 и„= 1.

Эта схема возникает в результате замены в точках сетки производной»2'и/и)хо, входящей в дифференциальное уравнение, по приближенной формуле »)»»» и (х + Ь) — хи (х) + и (х — Ь) (8) Для вычисления решения и'м задачи (7) можно воспользоваться алгоритмом исключения — прогонки, описанным в $ 6. Выпишем еще разностную схему, пригодную для вычисления решения задачи (6): + х„в„ш„=- хл — Зхл + 1, 1 (ил+и)„)=созххл, и=0,1,..., У вЂ” 1, ') ® "о= 1» мл+» мл 1+ х~ ъо= — 3 Решение и(м = (и(о), и',"),, иЯ системы (6) определено натой же сетке Оо, что и искомаЯ сеточнаЯ фУнкциЯ 1и)л.

Его значениЯ и',"', и<о', ..., и'м в точках х), хо, ..., хм последовательно вычисляются из (6) при и = О, 1, ..., Ш вЂ” !. Для краткости в уравнении (6) мы не пишем значок Ь при и)о'. Как правило, мы будем так же поступать в аналогичных случаях и в дальнейшем. В случае задачи (4) для отыскания сеточной функции и(~»), приближенно совпадающей с искомой таблицей решения (»)л, можно воспользоваться разностной схемой аа схопимость, лппгоксимхция и гстоичивость !Гл. 5 Здесь и!м=~ ~5!) =~ 1 задано. При и = 0 из уравне- / (5) ; „<Л> 5 ний (9) можно найти и!м = ~ ',„, ]. Вообще, зная и«5> =1 ьм, ), Ф! Мь 2' (5! /г = О, 1, ..., и, можно при /г = и вычислитьим' =[ 5 ~5+ ! 5-Н [ !М ~л+ ~ В рассмотренных примерах сетка Рь состоит из удаленных друг от друга на расстояние Ь точек.

Ясно, что можно было бы расположить У+ 1 точек сетки Рм Л вЂ” = !/У, на отрезке «О, 1] не равномерно, а так, чтобы хо = О, х~ = хо+ йа, х2 = х~+ Аь ... ...,х+1=хч+Л„, х„=1, где Ь„, и=О, 1, ..., У вЂ” 1„— не равные между собой числа, однако такие, что щах/2„— эО при и й = 1/Л/- О. Выбором расположения узлов сетки Рь можно добиться того, чтобы искомая таблица [и]„решения и(х) была подробнее при данном фиксированном У (или Ь = 1/Л/) на тех участках, где и(х) более быстро изменяется. Такие участки иногда бывают заранее известны из физики или из предварительных грубых расчетов. Информация о скорости изменения и(х) выявляется также в ходе последовательного вычисления и',5', и!25', ..., и'„м и может быть учтена при выборе следующего узла сетки хны.

Мы ограничимся приведенными примерамн для иллюстрации понятия сетки и искомой сеточной функции (или вектор-функции) — таблицы значений решения [и]5. Заметим только, что в качестве искомой таблицы [и]5 значений решения не обязательно рассматривать сеточную функцию, совпадающую с решением и в точках сетки. Возможны и другие способы установления соответствия между функцией и ее таблицей. Например, таблицей и(х), 0 ( х ( 1, можно считать сеточную функцию «и]5, опреде- А 3 а ленную в точках х = —, — Ь ..., 1 — — равенством 2' 2 ''''' 2 5+512 Такой способ установления соответствия удобен в случае, когда и(х) не является непрерывной функцией, но известно, что интеграл от нее по любому отрезку существует.

Это может быть, например, при рассмотрении обобщенных — разрывных — решений, если существует ! ~ иа (х) 5/х. 87 сходнмость Рлзностноп схемы 5 РЛ Норма может быть определена различными способами. Можно, например, принять за норму функции точную верхнюю грань модуля ее значений в точках сетки, положив [!иь]]иь =з"Р]ил(х )! и (10) Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем считать, что и — непрерывная функция, а под [и]л понимать сеточную функцию, совпадающую с и в точках сетки. Мы ставим вопрос о вычислении сеточной функции [и]л потому, что при измельчении сетки, т.

е. при 6 — О, она является все более подробной таблицей искомого решения и и дает о нем все более полное представление. Пользуясь интерполяцией, можно было бы с возрастаюшей при й- О точностью восстановить решение и всюду в области Р, Ясно, что точность, с которой это можно сделать при заданном фиксированном числе и расположении узлов сетки 0н, зависит от дополнительно известных сведений о решении типа оценок для его производных, а также от расположения узлов сетки 0л.

Ограничимся этими беглыми замечаниями о восстановлении функции и по ее таблице [и]л. Подробное рассмотрение вопросов восстановления функции по ее таблице составляет предмет теории интерполяции. Мы будем заниматься только задачей вычисления таблицы [и]„. Поэтому условимсл считать, что задача (!) решена точно, если найдена сеточная функция [и)л. Однако нам не удастся вычислять ее точно. Вместо сеточной функции [и]л будем искать другую сеточную функцию и<л>, которая «сходится» к [и)л при измельчении сетки. Для этой цели можно использовать разностные уравнения.

2. Сходящиеся разностные схемы. Способами построения и исследования сходящихся разностных схем мы будем заниматься на протяжении всей главы. Однако прежде надо придать точный смысл самому требованию сходимости иин — ~ [и]„, которое мы будем предъявлять к разностным схемам. Для этого рассмотрим линейное нормированное пространство функций, определенных на сетке Ол. Норма ) ил ]]и, сеточной функции иле- =Ул есть неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения функции ил от тождественного нуля. Напомним, что линейное пространство й называется нормированньох, если каждому элементу х этого пространства поставлено в соответствие неотрицательное число ]!х]], причем выполнены следующие три аксиомы нормы: 1' ]!х]]>0, х я 1с; 2' )«х)=]З ! ° ]]х]], где х~)х, а Х вЂ” произвольное число; 3' ]]х+ у!]< ]]х]]+]]у]], где х, уев 1с. схОдимость, лппРО((сичлипя и устойчивость (гл.

5 Если и('! — пара функций, как в (9), то за норму, аналогичную (!0), можно принять верхнюю грань модулей обеих функций на соответствующих им сетках. Если и(л! состоит из функций, определенных на сетке х = О, й, 2й, ..., 1, то часто используют норму, определенную равен- ством Л( ~(! !!и("(!! =(Ь ~ !и„!5) к О Эта норма аналогична норме л ! !('I! ! ! и (х) !! = ~ ~ ! и (х) ! 5 й х ) о для функций и(х) с интегрируемым на отрезке 0 < к < 1 квадратом.

Всюду, где не оговорено противное, мы будем пользоваться нормой (10). После того, как введено нормированное пространство (ул, приобретает смысл понятие отклонения одной функции от другой. Если а(л! и Ь(л! — две произвольные сеточные функции из (75, то мерой их отклонения друг от друга считается норма их разности, т. е.

число !! а'л' — Ь'"' !!о . 7 м! Р(!! Примерами могут служить разностные схемы (6), (7), (9) для дифференциальных краевых задач (2), (4), (6) соответственно. Для записи схемы (6) в форме (!1) можно положить ик(-! — ал ! ла ~ „(Л! и (+а„'' ао соз ай, ~(Л!— 3. и = О, 1, ..., й( — 1, а = О, 1, ..., й! — 1, Теперь можно перейти к строгому определению сходящейся разностной схемы. Пусть для приближенного вычисления решения дифференциальной краевой задачи (!), т.