Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 14

е. для приближенного вычисления сеточной функции [и)(, на основе использования равенства (1), составлена некоторая система уравнений, которую будем символически записывать, аналогично уравнению (1), в форме равенства сходимость Р»зпостнол схемы % |01 Схема (7) запишется и форме (11), если принять а+~ и+ н-| 1 [! ( й)а)а и ! 2 >У 7. а|м = — и» » = — ъ ан~ т/1+ и)>, — 2, 1. и = 1, 2, ..., Лг = 1, Запишем еше и виде (!!) схему (9), приняг >-»а = >.» (,»>) " + (ий) о„н>„, ши+~ мн 1 +, + („а)> (он+ гвч)э и=0,1,...,Ф вЂ” 1, и=О, 1,...,Лг — 1, (и)|)' - Зий + 1, »ий, 1, -3.

и = О, 1, ..., й! — 1, и=О, 1,, 1Ч вЂ” 1, [(»)— Бслн, сверх того, аыполпено нсрааенстао !! [и)» — и|"| ([в„< си", (! 3) Система (11), как видим, зависит от й и должна быть выписана для всех тех !>, для которых рассматривается сетка В» и сеточная функция [и)». Таким образом, разностная краевая задача (11) — это не одна система, а семейство систем, завпсяшее от параметра й. Будем предполагать, что при каждом рассматриваемом достаточно малом 0 сушестауст решение и|"' задачи (11), принадле>кашее пространству 0».

Будем говорить, что решение и|»| разносгной краевой задачи (11) при измельчении сетки сходится и реи|ени|о и дифференциальной краевой зада ш (! ), если 1![и)» — а'"'!! — >0 при 6-+О. (12) где с ) 0 и я ) 0 — некоторые постояннгяе, пе зависящие от Ь, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка пх или что разностная схема имеет я-й порядок точности. В $8 были рассмотрены две разностные схемы для задачи — + Ли = О, 0 ( (х ( (1, ех и(0) =Ь. Полученные там оценки разности б(х) =и(х„) — и!я" между точным и приближенным решениями означают, что для первой из этих схем имеет место сходимость порядка Й, а для второй— сходимость порядка Ь'.

Обладание свойством сходимости является фундаментальным требованием, которое предъявляется к разностной схеме (11) для численного решения дифференциальной краевой задачи (1). Если оно имеет место, то с помощью разностной схемы (11) можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого й достаточно малым. Мы точно сформулировали понятие сходимости и подошли к центральному вопросу о том, как построить сходящуюся разностную схему (! 1) для вычисления решения дифференциальной краевой задачи (!). Приведенные выше примеры дополняют рассмотренные в гл. 1 и дают представление о простейшем способе построения таких схем: следует выбрать сетку и заменить производные разностными отношениями.

Однако для одной и той же дифференциальной краевой задачи, как мы видели, можно получить различные разностные схемы (11), по-разному выбирая сетку 0„и по-разному заменяя производные приближающими их разностными отношениями. Мы уже видели на примере простейшего обыкновенного дифференциального уравнения из $ 6, что разностная схема может оказаться непригодной для счета. 3. Проверка сходимости разностной схемы. Не будем пока заниматься построением разностных схем и поставим задачу несколько иначе.

Пусть разностная схема ь„и!м = [а!, позволяюгцая надеяться, что сходимость 1![и),— игм]]и„О при Ь- 0 имеет место, на основании тех,или иных соображений уже построена. Как проверить, является ли она в самом деле сходящсйсяу Предположим, что разностиая задача (11) имеет единственное решение исие= Уы Если бы при подстановке в левую часть ( ! !) вместо ипо сеточной функции [и]ь ~ У„равенство (11) оказалось бы в точности выполненным, то ввиду единственности 9! сходимость гхзностнон схвмы ! м! решения имело бы место равенство [и)х = и<">, идеальное с точки зрения сходимости. Это означало бы, что решение ин! разностной задачи ь„инч =[!ю совпадает с искомой сеточной функцией [ий, которую мы условились считать точным решением.

Однако, как правило, систему (11) не удается выбрать так, чтобы [и1х в точности ей удовлетворяла. При подстановке [и[а в уравнении (!1) возникает некоторая невязка: г а [п[з [<ьг+ б[!м (14) Если эта невязка б[М> «стремится к нулю» при Ь- О, так что [и~, удовлетворяет уравнению (11) все точнее, то будем говорить, что разностная схема (.„им~ = [м~ аппроксимирует дифференциальную краевую задачу Еи = [ на решении и последней.

В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (14), которому удовлетворяет [им, получается нз уравнения (1!) путем прибавления некоторой малой (при малом Ь) добавки б[<м к правой части [М!. Следовательно, если решение иж> задачи (11) устойчиво относительно возмущения правой части [м>, т. е. мало изменяется при малом изменении правой части, то решение и<ь> задачи (11) и решение [и)„задачи (!4) отличаются мало, так что из аппроксимации Ь[!м- О при Л вЂ” О следует сходимость и!м- [и[в при й- О.

Намеченный нами путь проверки сходимости (12) состоит в том, чтобы разбить этот трудный вопрос на днй более простых: сначала проверить, имеет ли место аппроксимация задачи (1) задачей (! 1), а затем выяснить, устойчива ли задачи (1! ). В этом содержбтся и указание на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения задачи (1)! надо строить аппроксимирующую ее разностную схему; из многих возможных способов аппроксимации надо выбирать такие, при которых разностные схемы оказываются устойчивыми. Изложенный общий план исследования сходимости, естественно, предполагает, что введены математически строгие понятия аппроксимации и устойчивости, позволяющие доказать теорему о том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.

Намеченные выше определения аппроксимвции и устойчивости не являются строгими. Для определения аппроксимации надо еще уточнить, что такое невязка б)!Ю в общем случае и что такое ее величина, а для определения устойчивости— придать точный смысл словам «малому возмущению правой сходимость, лпппокснмлцня и устончивость [гл. 6 части соответствует малое возмущение решения разностной за. дачи [ли!ь[ =1!а[я. Строгим определениям понятий аппроксимации и устойчивости мы посвятим отдельные параграфы. ЗАДАЧИ 1.

Разделить отрезок [О, Ц на Аг частей точками х, = О, хп х, ..., х х = 1 так, чтобы и «о+~ «о «о «л-~ и выяснит!о можно ли последовательность таких сеток при М-»оо [д — не зависящая от АГ постоянная] использовать для приближенного решения задачи и' — и=0,1 и[О) ! л с помощью разностной схемы [«о+1) — и [хо), [л)[ ) О (й 1 ) !ь) й! х„+, — х„" Л[ ино [хо) = 1. Стремится ли к нулю при АГ-» оо максимальный из шагов хоь, — хе? Указание. Проще всего разобрать случай О ) 1 и убедиться, что 1пп и[ни! (х, ) = оо. М-» й 11.

Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой 1. Невязка о[!л). Придадим точный смысл понятию аппроксимации дифференциальной краевой задачи (!) из 5 10 У.и = [ (1) ма решении и разностной схемой (11) из $10 (2) г ! [а! [[ь[ Для этого надо уточнить, что такое невязка 6~> у (и) [!м [ й[!л! возникающая при подстановке сеточной функции (и)ь — таблицы искомого решения и — в уравнение (2), а также что такое се величина. Стремление величины невязкн О[[ю к нулю при А- 0 мы и примем затем за определение аппроксимации.

93 хппиоксимхция ихзностиои схемы $ и) Начнем с рассмотрения примера разностной схемы для численного решения дифференциальной краевой задачи — „„, +а(х) — „+б(х)и=созх, или ии и(0) =1, и'(0) = 2. 0- х((1, (4) За сетку Р„по-прежнему примем совокупность точек х„= пИ, а = О, 1, ..., М; й = 1/)Ч. В качестве разностной схемы для при- ближенного вычисления [и)„воспользуемся совокупностью ра- венств =созхл, и~ — ил Ь возникшей при замене производных в (4) по приближенным формулам и (х+ Ь] — 2и (х) + и (х — Ь) и(х+Ь) — и(х — а) (6) 2Л и(а) — и (О) Разностная схема (5) записывается в форме (2), если обозна.

чить ил+~ 2ил+ и~-~ 1 ( й) лл ы ил- 1 ( ( й) и)л) ~ и, — ил сов ай, ~(и) = 2. Для вычисления и оценки ведичины невязки 6((л), возникающей при подстановке (и)„в уравнение (2), уточним формулы (6). ил+~ — 2ил+ ил- г ~ и +1 — ил-, «л + а(хл) + Ь(хл)ил = а=1,2,..., У вЂ” 1, (5) 94 сходимость, АппРОксимАция и устОйчиВОсть ' [Гл. а По формуле Тейлора имеем Лз йз и(х+ Ь) =и(х) + Ьи (х) + — и (х)+ — и (й!), л' Лз и (х — й) = и(х) — Ьй (к) + — й'(х) — —. и (вз), Лз Л' и(х+й)и(х)+Ьи(х)+ 2 и(х)+си(к)+ 24 и(~з) и(х Ь) и(х) Ьи (х)+ 2 и (х) б и (х) + 24 и[ (94)' и(х+Ь) =и(х)+Ьи (х)+ 2 и (94) Здесь 9[, кз, $„94, 94 — некоторые промежуточные точки отрезка [х — й, х+ Ь], Отсюда и( ) + — [и[4) (вз) + и[4) (9 )] ) (8) и(к+Л) — и(х), + Л Л 2 2.

Вычисление невязки. Будем считать, что решение и(х) задачи (4) имеет ограниченные производные до четвертого порядка. В силу формул (8) можно написать и (х + Л) — 2и (к) + и (х — Л] и (х + Л) — и (х — Л) Лз + а(х) 2Л + + й(к) и(х) = (з +а(х) ( + Ь(х)и(х)+ . Ьг [и[о (14) + и[4) (1!) ! ! з и (1!)+ и [зз)] Поэтому выражение ьл [и]л = з! (хл+ Л) — 2и (хл) + и (хл — Л) лз +а(хл) " " "" +Ь(хл)и(хл), а=1,2,..., й[-1, и (О), и (Л) — и (О) й $ п) АппРОкгим»ция Р»зност~Ои Гхгмы 95 можно переписать так: созк + Л') 1~') " 1~') + н ~л 24 + а (х ) ~ 1~') + ~ (.» (и)„= ( " 12 1+0, 2+6 —" и=1, 2,..., У вЂ” 1, или 1„(м)„1<»1 1 б(1»! где йд[и 1»3)+ и Й4) 1 и (11) + и (12) ~ н 24 12 б)1»1= 0, ! „"~ы (9) Удобно считать, что 1<») и б)<»1, заданные формулами (7) и (9), принадлежат линейному нормированному пространству Е», которое состоит из элементов вида ф„ (и = 1, 2, , Л/ — 1, 91»1 ф ф1, (! 0) где ф1, фь ..., ф„1, а также ф» и ф1 — произвольная упорядоченная система чисел; можно считать, что 91"1 — это совокупность сеточной функции ф„, и = 1, 2, ..., й1 — 1, и упорядоченной пары чисел ф» и ф1.

Сложение двух элементов пространства г"„и умножение элементов 91»1 на числа производятся покомпонентно. Ясно, что в рассматриваемом примере г1, есть (й1+ 1)- мерное линейное пространство. Норма в Е» может быть введена многими способами. Если ввести в Р1, норму равенством 119!"111Р„=гпах()ф,( )ф1 1, гпах)ф„)), и т.