Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 16

Разбиение разностной схемы (2) на подсистемы (2!) условно и делается только для удобства речи. Так, например, систему (13) можно было бы разбить на две подсистемы, отнеся к первой по-прежнему разностное уравнение (15), а ко второй — оба граничных условия (16) и (!7). Мы получили бы символическую запись рл)и(л) 1(л) л 1(!)и(л) )(л) л ! ° где ~ им рл) (л) л и„ АппроксимАция РАзностноп схемы )ОЗ $ !О действительно, покажем, что производную «зи(«хз произвольного порядка й можно заменить разностным отношением так, чтобы погрешность от такой замены для достаточно гладкой функции и(х) была любого наперед заданного порядка р относительно шага И разностной сетни. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов.

Напишем равенство вида — ази (х + зй) + о(ИР) «"(Х) А Ч-т «ха (24) и постараемся подобрать не зависящие от И неопределенные коэффициенты а„ з = — зь — з, +1, ..., зз, так, чтобы оно оказалось справедливым. Пределы суммирования з, ) О и зз ) О можно взять ппоизвольными, но так, чтобы порядок аз+ зг разностного отношения И а ~, ази (х + зй) удовлетворял неравенству з1+ зз ) й+ р — 1. По формуле Тейлора и(х+ ай) = и(х)+ай +, + «и (х) (зй)' «зи (х) «х 2! «Хз ( И)А+В-! «а+В-!и ( ) ( И)А+Л,!Ачэ, (Зь) + (й+ р — !)1 «ха+в (й+ р)1 «ха+в + Подставим это выражение вместо и(х+ зй) в (24) и приведем подобные члены. Получим «зи(х) А г т «и(х) и ч =И ~и(х)~ аз+ — — дэызаз+ «ха «х 1! «ачд 'и(Х) Изид ' тч аер «ха+в ' (й+ р — 1)! ~-' « + Ив ч а+я «а+ли (вз) 3 аз (И+ р)! х «ха+в Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях И', з = — й, — й + !...,, р — 1, в левой и правой частях этого равенства, получим Однако при таком разбиении на подсистемы, в отличие от разбиения (!5) — [17) или [18) — [20), мы лишились бы возможности коротко выразить то обстоятельство, что первое граничное условие при подстановке [и)А выполняется точно, а второе— лишь с первым относительно И порядком.

6. Замена производных разнвстиыми отношениями. В рассмотренных примерах для получения разностных схем мы заь еняли производные в дифференциальном уравнении разностными отношениями. Этот прием весьма универсален и позволяет построить для любой дифференциальной краевой задачи, имеющей достаточно гладкое решение и(к), разностную схему с любым наперед заданным порядком аппроксимации. (ОХ схОдимОсть, АппРО!ссимлпия и устОйчиВОсть О'Л, з следующую систему уравнений для определения ам а, =О, зао =О, зь !аз=О, Х заао = й1, зь+ аз — — О, (25) ~ з"+Р-'а, = О. ] Если з, + зз = й+ р — ), то выписанные й+ р равенств образуют лннейи)!о систему относительно того же числа неизвестных а..

Определитель этой си- стемы з!+ ( — з! з,)а+р-1 ( з, [ ))М-р — ! зо+р-1 ." зг есть известный определитель Вапдермонда н отличен от нуля. Таким образом, существует единственный набор козффнпиентов а„удовлетворяющий системе (25). Если а!+ за ) й+ р, то, очевидно, таких систем козффипиентов а, много. Так, например, существует единственное разностное отношение первого порядка аида й '[а,и (х) + а,и (х + й)], приближающее !(и(!(х с первым относительно й порядком. Оно получается при г(и и(х+ й) — и(х) г(х й Точно так же существует единственное разностное отношение первого порядка вида й '[а ,и (х — й) + аои (х)], приближающее !(и/г(х с первым относительно й порядком; г(и и (х) — и (х — й) и'х й Среди разностных отношений второго порядка вида й [а,и(Х вЂ” й)+ аои(х)+ а и (а+ й)] — ! (х+й) ( А) 0 3 !(х 26 существует бесконечно много приближающих !(и(!(х с первым порядком от- носительно й, но только одно со вторым порядком.

Решая систему (25) для этого случал увидим, что при а! = гго, ао = О, а ! = — '!о 105 ЛППРОКСИМЛШ!Я РЛЗНОСТНОИ СХЕМЬ! $ и] Если мы хотим приблизить !)зи(ахз с порядком Лз, то Л = 2, р = 2 н надо, чтобы з! + за ) 3. Поэтому среди разностных отношений вида Ь (а,и (х — Ь) + а,и (х) + а,и (х+ Л) + а,и (х + 2Ь)) (26) только одно является искомым.

Решав систему (26) для определения козффи- пиентов а-и аь аь аз, получил! а,=а!=1, ао= — 2, ах=о, т. а уже неоднократно использованное нами равенство И'и (х) и (х+ Ь) — 2и (х] + и (х — Ь) !(хз Лх "" — 6(х„, и„)=0, п=О, 1, ..., У вЂ” 1, 7. инп =— и ио = а, называемая схемой Эйлера, аппраксимирует задачу — и — 6(х, и) =О, О~х(1, и(0) =а (27) с первым порядком относительно хь При известном и„значение и,т! вычисляется по формуле и„+! = и„+ й6(х„, ия). Схема "— —,16(., и.)+6('+, й)]=0, 1,„и!а! = ы ио = а, где й = и„+п6(х„, и„), называется схелсой Эйлера с пересчетом.

Она же является одной из схем Рунге — Кутта второго порядка аппроксимации, о которых будет подробно рассказано в $ !9. Если и, уже вычислено, то по схеме Эйлера вычисляем значение и=и„+ 66(х„, и„), а потом осуществляем уточнение найденного й, полагая ины —— ии + — (6(х„, и„)+ 6(х„ь!, и)], Л 7. Другие способы построения разностных схем. Замена производных разностнымн отношениями не единственный, а часто и не лучший способ построения разностных схем. Некоторым другим способам, приводящим к наиболее употребительным разностным схемам, будет посвящен $ !9. Здесь ограничимся примером.

Простейшая разностная схема сходимость, аппроксимация н кстоичивость >гл. а )ОВ ЗАДАЧИ 1. Проверить, что схема Эйлера с пересчетом аппрокснмнрует задачу (27) на гладком решении п(х] со вторым относительно Е порядком. $ 12. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости 1. Определение устойчивости. Пусть для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи Еи=) (1) составлена разностная схема г иоя г>»> (2) которая аппроксимирует задачу (1) на решении и с некоторым порядком Ь».

Это значит, что невязка Ь)>' > (и] 1>»> ] Ь]>»> возникающая при подстановке таблицы (и]» решения и в уравнение (2), удовлетворяет оценке вида ] ] б г Г» > ] ] с < ~ Ь (3) где С> — некоторая постоянная, не зависящая от 6. Легко проверить, что разностная схема 4 ""+' "" ' — 3 ""+' " +Аи =О, Ь + л 7.»иг»>— п=1, 2, ..., >>> — 1, аппроксимирует — "+Ам=О, Ых и(О) =Ь на решении и с первым порядком относительно Ь.

Однако, как показано в Э 9, решение и<">, доставляемое этой разностной схемой, не стремится к(и]» при Ь- О. Таким образом, аппроксимации, вообще говоря, недостаточно для сходимости. Нужна еще устойчивость. О п р е д ел е н и е 1. Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют числа йа > О и б > О такие, что при любом Ь(Ьо н любом ем>яР», ]]ег»>]]л„<б разностная задача 1 з<»> г<»> ] <»> (4) $12) ОПРеделение устО1ччиВОсти РЛЗИОстноп схемы )от полученная из задачи (2) добавлением к правой части возмуше- ния а)"), имеет одно и только одно решение гоа), причем это реше- ние отклоняется от решения и)") невозмущенной задачи (2) на сеточную функцию г)") — ив'), удовлетворяющую оценке !1 г)а) — и)а) !!О„(С !! Ем) !!Ры (5) где С вЂ” некоторая постоянная, не зависящая от Ь.

В частности, неравенство (5) означает, что малое возмущение ам) правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно й малое возмущение г)ь) — и)ь) решения. Пусть оператор Е~а отображающий (Уа в га, линейный. Тогда приведенное выше определение устойчивости равносильно следуюшсму: О п р е д е л е н и е 2. Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором Еа устойчивой, если при любом 11М ~ ецтчь уравнение Ер,и))ь) = ))" имеет единственное решение иш) е ~ Уь, причем )!и)л)!(Оа (С!! ~1 ) !)Р» (6) где С вЂ” некоторая постоянная, не зависяшая от Ь.

Локажем равносильность обоих определений устойчивости в случае линейного оператора Бм Сначала установим, что из устойчивости разностной схемы (2) в смысле определения 2 следует устойчивость в смысле определения 1. Пусть линейная задача (2) прн всех рассматриваемых Ь ( йа и пРоизвольном Г)м Я г'„имеет единственное Решение, причем выполнена оценка (6). Вычитая из равенства (4) равенство (2), получим (гм) п)а)) а)а) ~лг)") = 11м + е)"), 1 мч)а) ~)а) Положим в)м — = гм) — и)") и вычтем эти равенства почленно. Получим Б ц))а) — е)М ь откуда в силу (6) следует оценка (5) при произвольном а)м ~ г'„, а значит, и устойчивость в смысле определения 1. Покажем теперь, что устойчивость в смысле определения 1 влечет за собой устойчивость в смысле определения 2.

В силу определения 1 при некоторых йа > О и 6 ) О и при произвольных О<па и е)") ~Р„, !~е)")!!Р„< б сушествуют и единственны решения уравнений 1ОВ сходимость, лппаоксимхция и тстончивость причем в силу (6) игл з !! ш'"'!!си ~ С !! воя !!еп. Для йьм получим уравнение А„йвя = ['"', причем Поэтому уравнение ).„й™ = [м' однозначно разрешимо, причем !!й'м!!,„< С1~[" !!„„.

В силу формул, устанавливающих связь между иьм и й~">, а также между ) и [, отсюда следует однозначная разрешимость ня -м> задачи (2) и справедливость оценки (6) при произвольном рассматриваемом )вч ен Гм 2. Зависимость между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью. Докажем теперь, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Те о р е и а. Пусть разностная схема Е„и~ы = [~М аппраксимирует задачу йи = [ на решении и с порядком йь и устойчива. Тогда решение иев разностной задачи Е„иш'=[™ сходится к [и)„причем имеет место оценка !! [и[а — ивв )!о, ~< (СС,) п~, где С и С1 — числа, входящие в оценки (3) и (6). Очевидно, что, изменив обозначения решения и правой части уравнения Еьш<м = емц последний результат можно сформули. ровать так: при произвольных й< йо и [~менрм !!Рм!!е„<б задача (2) имеет единственное решение иач.

Это решение удовлетворяет оценке (6). Однако в таком случае уравнение (2) имеет единственное решение ивв и выполнена оценка (6) не только длЯ всех Р">, УдовлетвоРЯюших оценке !![ьм!)е„< б, но и вообще для всех )тм ен Рм т. е. имеет место устойчивость в смысле определения 2.