Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 17

В самом деле, пусть [! [~м [!е„) б. Докажем однозначную разрешимость и оценку (6) в этом случае. Положим До к аз а тел ь ство. Положим е<") = — 6<<о), !и)о = а<"). Тогда оценка (5) примет вид 11 '<и) — и'м ))и„е,, 'С 11 6) <") ~)„„. Учитывая (3), сразу получаем доказываемое неравенство (7). В качестве иллюстрируюшего примера докажем устойчивость разностной схемы Эйлера а "' " "' ' ' ' ' ' ' (8) ""+' "" — О(.„, „)=р„, =О, 1, ..., й< — 1, 1 ио='Ф х„= пй, Ь = 1/Л), для численного решения дифференциальной краевой задачи — — 0(х, и) =<р(х), О~~х(1, 1 (9) Будем предполагать функцию 0(х, и) двух аргументов и функ- цию <р(х) такими, что сушествует решение и(х), имеющее огра- ниченную вторую производную. Кроме того, будео< считать, что 0(х, и) имеет ограниченную производную по и <00 < (10) Читателю рекомендуется проверить, что разностная схема (8) аппроксимирует задачу (9) на решении и(х) с первым относительно Ь порядком.

(Разностное уравнение соответствует задаче с первым порядком, а граничное условие ио = )р — точ. ио.) Определим нормы 1)и<")11и„— — )пах1и„), 11<")<1Р„=гпах(1<р1, гпах1<р(х,„)1) л П1 и займемся проверкой устойчивости разностной схемы (8). За- пишем ее в форме (2), положив " — 0 (х„, и„), и = О, 1, ..., й< — 1, Т.„и<") = ио )чо) <р(х„), и=О, 1, ..., й< — 1, Ф Задача Г а<О) = 7<М + В<О) З <г1 ОпРеделение устоичивости Рлзностнои Гхемы 109 по сходимость, лппгоксимлция и гстоичиеость !гл.

о в подробной записи имеет вид "— 0(х„, г„) =~р(х„)+е„, и=О, 1, ... У вЂ” 1, ] ) (11) ао = 1г + е где е„, и = О, 1, ..., й! — 1, е!~~ е. Вычтем из уравнений (!1) соответстеуюшие уравнения (8) по- членно. Обозначим -а„— и„= гв„ и учтем, что где $„— некоторое число, заключенное между числами г„и и„. Получим следуюшую систему уравнений для определения ге!л! = = (гео, гвь ..., юю ..., ген): гво = еУчитывая, что М~„~~М в силу (1О) и что ий - Мй = 1, получим ! гв„.„! = ) (! + ЛМ~„) ге„+ йе„! ( ((1 + Мй) ~ гв„! + й ~ е„! ( <(!+ МА)'!и„, !+ й(1+ Мй) !е„-~ !+ л! е„1( <(1 + Мй)' )гв„, !+ 2и(1+ Мй) !)енв Ц„< ((1 ! Мй)о/ю /+ 3й (1 + МЬ)о Ц е<л! Ц < ((1+Мй)ою!що~+(и+!)й(1+ Мй)" 3е'"'Цел< ( (1 + Мй)"+ ' Ц ено Цр„+ (1 + Мй)" Ц еив Цр„(( -'я,'2(!+Ми)л(е<л>Ц ~2емЦе!л!Цр .

Из доказанного неравенства ! ю„+, 1( 2ем Ц еив Ц„„ следует оценка вида (6): Ц ге<о) Цп„( 2ем Ц еов Црл, з 1з) ОПРЕПЕЛЕШгЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗИОСТНОЙ СХЕАзы 1!! означаю(цая устойчивость с константой С = 2е". В силу теоремы разностная схема (8) является сходящейся с первым относительно 6 порядком. Исследуем теперь сходимость разностной схемы (7) З 10 '„","+""-' — (1+ „) „=~/1+ „, 1 "о=2, им =1 для дифференциальной краевой задачи (4) $ 1О. Аппроксимация со вторым относительно 6 порядком задачи (4) $ 10 задачей (13) благодаря формуле и(х+А) 2и(х)+и(х а) мг з ! А Нц( ) !и 12 здесь очевидна *). Займемся проверкой устойчивости.

Рассматриваемая задача линейна. Поэтому проверка устойчивости состоит в том, чтобы установить существование единственного решения задачи ' — (1+х~)и„=д„, и=1, 2, ..., А( — 1, (14) ио=а им=р при любых (ди), а и 8, и в том, чтобы получить оценку шах)и„)г~ С (!пах)д„1, 1а 1, !Р1). (15) Задачу вида (14) мы рассматривали в $ 4 (см. стр. 40). Там для задачи вида алии , + Ь„и„ вЂ” с„и ь! = Ьг», ио —— а, "=в в предположении 1Ь„1)(а„1+ ! с„! -1- б, Ь .ь О ") Заметим, что если бы речь шла о решении уравнения и — (! +хз)и=чlх только незначительно отличаюшегося от изучаемого здесь, то мы не могли бы сделать вывода об аппроксимации, так как !и"'(х) ! был бы в данном случае неограничен (докаисите аккуратно неограниченность и"'(х)).

сходимость, лппяоксимхция и тстоичивость была доказана ее однозначная разрешимость и оценка (и„)(шах~! а), !61, — шах!а ! ш (16) В случае задачи (!4) Поэтому оценка (16) влечет за собой оценку (15) с постоянной С = 1. Устойчивость доказана. Отметим одно обстоятельство, которое может оказаться полезным при доказательстве сходимости путем проверки аппроксимации и устойчивости. Пусть разностная схема (2) разбита на две подсистемы 1канцв — )!и и Рд"и'и = йм (17) (17') так, что ( рмнм! ( нм г б~~м 1 Пусть, далее, разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) с порядком Ьь, т. е.

выполнено условие (3). Пусть, сверх того, подсистема (!7') соответствует задаче (1) на решении и точно, т. е. б)чм = О е— : Щ): б)чм бпм ~ о~ ь О. (18) В таком случае для сходимости решения им> задачи (2) к искомой сеточной функции (и)ь, т. е. для справедливости оценки (7), достаточно, чтобы оценка (5) выполнялась не при произвольных екоен Ры но лишь для всех ако вида г а~!ы, кв аз О (19) где Осиян ь Доказательство дословно совпадает с проведенным выше доказательством теоремы о сходимости. Читатель легко проверит, что в случае линейного оператора Еь требование, чтобы оценка (5) имела место лишь для всех 5 <<< Опведаленне устойчивости Рлзностноп схгмы <<з е<М вида (!9), выполнено одновременно с требованием, чтобы оценка (6) выполнялась для всех Г<м того же специального вида г )пч ав О, где Овира,".

Например, при доказательстве сходимости разностной схемы (!3) можно было воспользоваться тем, что оба граничных условна Г на=2, 1 10<н<м ' <ь<п ~ ил=1 при подстановке в них таблицы решения (и)„задачи (4) из $ 10 выполняются точно: ( и(0) =2, !а [и)л = ~ ( и(1) =1. Поэтому проверку неравенства (15), означающего устойчивость разностной схемы (13), можно было провести не для произвольной правой части а„, и = 1, 2, ..., й< — 1, а, а только для правых частей вида д„, л=1,2,...,й< — 1, )<м= 0 О, когда с<=Он 0=0. В задаче (13) мы справились с проверкой неравенства, означающего устойчивость, и без учета зтого упрощающего обстоятельства. В более сложных задачах (для уравнений с частными производными) указанное соображение будет иногда полезно.

В заключение параграфа подчеркнем, что схема доказательства сходимости решения задачи <'„и<"< = )<м к решению задачи Г.и = !' путем проверки аппроксимации и устойчивости носит общий характер. Под Ли = <' можно понимать любое функциональное уравнение, а не только краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения. Само по себе неважно, решением какой задачи является функция и. Уравнение Ьи =) используется только для конструирования разностного уравнения Г.„и<м = Г<"<. Поясним эту мысль в п. 3.

114 сходимость. лппяоксимлция и хстоичивость (гл. в 3. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения. Построим и исследуем разностную схему для вычисления решения интегрального урав- нения 1 Еи = и (х) — ~ К (х, у) и (у) йу = [(х). о Будем предполагать, что ] К(х, у) ] ( р ( !. Зададим )У, положим И = 1/)У и будет искать таблицу [и]л значений решения на сетке х, = п«, л = О, 1, .... И(. Для получения разностной схемы мы в равенстве 1 и (хп) — ) К (хп, у) и(у) о(у = [(хп), и = О, 1, ..., ИГ.

а приближенно заменим интеграл суммой, пользуясь каадратурной формулой трапеций. Напомним эту формулу: для произвольной дважды дифференци- руелоой на отрезке 0 < у (! функции Ф(у) справедливо приближенное ра- венство Ф (У) ~У = " Х 2 + Ф1 + Фз + ... + Фу ! + 2 у, И = у, -(, ° — —,) а причем погрешность есть величина 0(И'). После указанной замены интеграла получим 1а1 «1 К(ХП О) (З1 1 кг «з 1О1 ! ° 1 -(-К(хп, уу,)и,,+ ' иу ~ [(х ), л=О, 1, ..., ИГ. (20) (а1 К (хп, !) 1З(З Выписанная система равенств записывается в форме ььиоо! = [1ы, если по- ложить где (и! «1 К(Х О) уй+к «, (ь1+ + К(» !) (л!1 Уп ип ~ 2 иа (хп 1'11 + ''' + 2 ии) л=0,1,...,М. Построенная разностная схема йаи( ! = [1 ' аппраксимирует задачу ьи = [ (Л! (Л! на решении и со вторым порядком относительно шага И, поскольку квадратурная формула трапеций имеет второй порядок точности.

Проверим устойчивость. Пусть иом = (ио, иь ..., иь) — какое-нибудь решение системы (20), и пусть и. — одна из тех компонент решения, которые по модулю не меньше каждой из остальных: ! из ! шах ! ищ [. по 1 Юо 1 !иы1(Уь 1 1 уу ~ ](о), [(з1 [ [(И), ! [ [(1) О ВЫБОРЕ НОРМ 115 $ !3! Из уравнения с номером и = з системы (20) следует ) ) ~н(а! й( ( ° о) „(а!+ г(( й) „(м+ + (" 1! н!ы) ~> ) ~ ! ~ ! + й ( р + р + ... + р+ ф) ( ', !1 = (1 — й(йр)(н(, !) = (! — р) ! н(, !). Поэтому ))и!"!)(о, =шах) и!а!(= !ил!(~ — )г(хз)) ~ — )) !(а!((Рэ.

(21) !) (и!„— и! !)!и п1ах ! и (тд) — и(„! ! ~ Аа, ш где А — некоторая постояннан, 2 13. 0 выборе норм Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, введенные в Я 10 — 12, имеют смысл, если тем или иным способом введены нормы в пространствах (зь и гэ, которым принадлежат соответственно решение и(а! и правая часть ((м разностной схемы (.аи(а! = )пн для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи 1.и = (.

Обсудим вопрос о степени произвола, с какой можно выбирать нормы в пространствах 0ь и гь. Начнем с нормы ) . (!Оа, по величине которой оценивается уклонение приближенного решения и!"! от сеточной функции (и)ш т. е. От таблицы значений решения и. Во всех рассмотренных примерах мы пользовались нормой, определенной равенством !( г(а!))о — †!пах ( г!а!) (() а Максимум берется по всем точкам сетки 0ь, на которой определена сеточная функция г("! ы (зь.

Можно было бы, конечно, положить (~ г(а' ((и» = 6 гп ах ) г!" ! ), (2) нли () гч а! ф, = — гп ах ) га!э' (, 1 л й (3) В частности, при ((хь)=0 отсюда следует, что систел1а (20) не имеет нетривиальных решений, а следовательно, однозначно разрешима при любой правой части Рах Неравенство (21) означает устойчнаость (б) с постоянной С =!/(! — р). Решение и!М задачи з.ьи(м = рм а силу теоремы о сходимости удовлетворяет неравенству 116 схолимость, хппвоксимхция и тстоичивость сгс>. 5 или даже ! г>а>[~,„= 2 'с" шах [г>ьм>. Последняя норма может показаться удобной, так как в ней оказывается сходяшейся разностная схема 4 2Л 1, ..., йг — 1, а=О, на=а, и =ае-"" 1 для решения задачи сс'+Аи= О, О<х~1, и(0) =а, построенная в 9 9 как пример непригодной схемы.