Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 15

с. принять за норму максимум абсолютных величин всех компонент вектора 91"1, то в силу (9) получим 11Ч1»111„» С Сй, (1 1) где С вЂ” некоторая постоянная, зависящая от и(х), но не зави- сящая от Ь. схОдимОсть, лпппоксимлция и устОГ(чиВОсть ' (гл. а Из этого неравенства следует стремление невязки б)(»г к нулю при и- О. В уравнении с»и =( ', подробно записанном равенствами (м ((ч (5), которое мы рассмотрели в качестве примера, на Ь(, можно смотреть как на оператор.

Этот оператор каждой сеточной функции о("г = (и„), п = О, 1... Л(', из линейного пространства функций, определенных на сетке гл», ставит в соответствие некоторый элемент я("г вида (10) из линейного пространства г» по формуле + зев+У" +а(х) РР+ Р" ' +ь(х)и ) г(м= » ьа Рг Р» Л Условимся и в общем случае разностной краевой задачи (2) считать, что правые части тех скалярных уравнений, которые в совокупности записаны символическим равенством У.„гг (»г (»г являются компонентами вектора )(»г из некоторого линейного нормированного пространства г». Тогда на г'.» можно смотреть как на оператор, ставящий в соответствие каждой сеточной функции и(м из ((» некоторый элемент [(('г из г».

В таком случае имеет смысл выражение Ь„[и!», возникающее в результате применения оператора Т.» к сеточной функции [и[„ из (г(, и являющееся элементом пространства г». Невязка 6[м' = Е(, [и!» — )'"' принадлежит пространству рм как разность двух элсмснтов этого пространства.

Под величиной невязки следуст понимать !! б((»г [[Р». 3. Аппроксимация порядка й». О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что разпостная схегла Е»и(»г = [(»' аппроксимирует задачу л.и =1 на решении и„если [!б('(»г[!Р, — »0 при 1(- О. Если, сверх того, имеет место неравенство ! ц(»г ![Р < сй» где с > 0 и й > 0 — некоторые постоянные, то будем говорить, что имеет место ап(гроксимация порядка й» или порядка я относительно величины Ь.

То обстоятельство, что и является решением задачи (1), дает информацию о функции и, которую можно использовать для построения системы (2), а также для проверки факта аппроксимации. Поэтому в определении аппроксимации мы н упоминаем лппвоксимлция Рлзностнон схимы 97 б ш "(~1 „"'1 1 =и'(0)+ — и" (0) + — и"'(ь) = = 2 + 2 и" (0) + а и"' (а), 0 < $ ( Ь.

Но из дифференциального уравнения (4) находим й' (0) = — а (0) и' (0) — Ь (0) и (0) + соз 0 = — 2а (0) — Ь (0) + 1. Поэтому, заменив последнее равенство (5) равенством ' = 2 — 2 [2а(0)+ Ь(0) — 11 (12) получим для [(л> вместо (7) выражение соз х„, (<в~в 1, 2 — 2 [2а(0)+ Ь(0) — 1[.

4 С, К. Годунов, в. С, Рвбеньннл задачу (1), Однако подчеркнем, что приведенное определение аппроксимации задачи Еи =1 на решении и разностной схемой Ел~Р'=[а' само по себе не опирается на равенство Еи =1 для функции и. Можно было бы говорить просто о том, что схема Е„ико=)чм соответствует с порядком Ьл функции и, не вникая в происхождение этой функции.

В частности, если функция и является одновременно решением двух совсем различных задач П"и=)п' и П"и=[а' вида (1), то одна и та же разностная схема Ели~а'=(® одновременно аппраксимирует или не аппраксимирует каждую из этих задач на их обшем решений и. 4. Примеры. При мер 1. Разностная схема (5) ввиду оценки (1!) аппраксимирует задачу (4) с первым порядком относительно Ь.

Разностную схему (5) легко усовершенствовать так, чтобы аппроксимация стала порядка Ю. Лля этого заметим, что все компоненты вектора 6)тл>, кроме последней, стремятся к нулю, как ЬУ (предпоследняя даже в точности равна нулю), Только последняя компонента вектора 6[~лй т. н невязка от подстановки [и]» в последнее уравнение ' ' = 2 системы л (5) стремится к нулю медленнее, а именно как первая степень а Это досадное обстоятельство легко устранить. По формуле Тейлора 98 сходимость хппеоксимхция и хстоичивость )гл.

г Тогда окажется, что (4)+» К4) 1 ( гм(~) 1 г«Д))1 12(. 2 О,- Ц)й)— и" (х)+ а(х)и'(х)+ Ь(х) и(х) 1«си = сох х 1„», которое является следствием дифференциального уравнения. При м ер 2. Выясним, каков порядок аппроксимации, которым обладает разностная схема «+' " '+Аи =1+х', и=1, 2, ..., )У вЂ” 1, 26 ««' Е»и'и —= и» вЂ” — Ь, и,=Ь на решении и задачи — + Аи=!+х', 1 »'» и(0) = Ь. ! (14) Подобную схему мы рассматривали в $ 8 еще до того, как было введено строгое понятие аппроксимации.

Роль р'") здесь играет ! + х~, и = 1, 2, ..., )У вЂ” 1, Р»)= ь Ь. Далее, (х«+ ) (х«) 1 4 (. ) 1 ))г 26 и (0), и (й) Т,» Ȅ—= н 1)Ь))») 1)р„( С~К где С| — некоторая постоянная, не зависящая от Ь. Порядок аппроксимации станет вторым относительно Ь. Подчеркнем, что для построения разностного граничного условия (12) мы использовали не только граничные условия задачи (4), но и самое дифференциальное уравнение.

Можно считать, что мы использовали граничное условие АИИРоксимАция Р»зностнон схемы $ Н1 или [""("л) +Ли(х„)~+ и и"'(вл) и=1, ° ° .~ А1 — 1э и (О), и(0)+й '""'. Ьр [и]р =— Так как для решения и(х) выполнено равенство + Ли(х„) = 1+ х'„, то невязка 61<»1 имеет вид — и"'($„), =1, ..., Лl — 1, й[<»1 О, Ьи (Вл). "л+' "" '+Аи =1+х' п=1, 2, ..., Ф вЂ” 1, (15) 2Р л л' хп при подстановке [и]» удовлетворяется с невязкой — и ($„) порядка Ь'. Первое граничное условие (16) при подстановке[и]» выполнено точно, а второе 117) и, =Ь вЂ” с невязкой й и'Др) порядка первой степени Ь. Погрешность аппроксимации мы оценили через гпах 1и" (х) 1, 1пах 1и'(х)!.

Ол.х~! О<х<~ В рассматриваемом примере точное решение и(х) =и(0)е "+ А А' 1+х — е А" 2х Аппроксимация задачи (14) схемой (13) имеет первый относительно Ь порядок. Бросается в глаза, что компоненты невязки, как и в примере 1, имеют различный порядок относительно (ь Разностное уравнение (ОО сходимость. Аппгоксимиция и гстоичнвость (гл. " позволяет оценить эти максимумы через данные задачи и(0), А: щах 1ц'(х)1= гпах ~Аи(0)е-""+ — А, ~( о<х и( о<*<( (~!и(0)11А1(1+е )+1А + А, +(1+е "), шах ( иим (х) 1 = ~ [ц (О) + — ~ Аае- 4* ~ » о<х<( (~ (1ц (0) 11А 1з+1А 1а) (1+ а-А) В более сложных примерах приходится ограничиваться грубой оценкой этих производных, основанной на теореме о дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений а случае гладких правых частей.

5. Разбиение разностной схемы иа подсистемы. Для подробного описания характера аппроксимации нам оказалось удобным говорить не сразу обо всей разностной схеме (13) вида (2) 7 ц(а( )(а( но отдельно о подсистемах (15), (16), (17). Эти подсистемы (две последние состоят каждая из одного уравнения) можно записать соответственно следующими символическими равенствами: (18) (19) (20) Для этого надо положить 1оц(а(= <ы " ' +Аи, и=1 2 ... й( — 1 а 2а а ! 3 '''у 1' и("> = — ц а о~ Рц(м =и а (э 1(и( = 1 + х', о л' )(и( = Ь, )(и> = Ь.

2 1о ц(и( г(и( а о э 1( ц(а( г(и( а 1иц(и( = ((и>. >О1 йппгоксимйция ийзностнои схемы з и> Лля удобства речи и в обшем случае разностную схему (2) ча- сто разбивают на две или несколько подсистем: 1) ц>й> )>й) 1йцпв = )чй> 3 .! 1ац>й> — >>й> (2! ) так что Г Пм ! )'и =', б"), 1> ц>й) й ц>й> = 1 (,ц>й> й ! ( 1'„'и'"', )>й) Правую часть 1>й) каждой подсистемы 1;,цпо = 1'>й> удобно считать элементом линейного нормированного пространства Рй . >и Нор,!ы в пространстве Рй и пространствах Рй", Рй>2),, Р)а) удобно выбирать согласованно, чтобы имело место равенство 1!1>й)11лй=шах)!1'й))' 1,).

г (22) Разбивая (2) на подсистемы (21), мы всегда будем считать, что (22) выполняется. Удобство разбиения разностной схемы 1.йц>й> =)>й> на подсистемы (21) состоит в том, что можно говорить о порядке соответствия каждой подсистемы в отдельности решению и задачи (1), Ец =1. За этот порядок принимается порядок убывания нормы ))б),'й))(„ц) невязки б)>й) 1~<) (ц) — 1>й) + б1)й) при Ь- О.

Порядок аппроксимации всей разностной схемы Е„ц>й) =1)>') на решении и задачи Еи = ), благодаря согласованному выбору норм (22), ранен порядку убывания нормы 116)ц»1 ц) невязки 81>й> при том г, при котором она убывает медленнее всего. В примере 2 при разбиении системы (13) на подсистемы (15) †(!У), или (18) — (20), пространство Р>„") состоит из сеточных функций )й>й) =(Ц с нормой ~~)'й)))=шах~~„), определенных в точках х„= ий, и = 1, 2, ..., >У вЂ” 1, а пространства 102 сходимость, лппгокси)ллция и гстоичивость ггл, л Р~ал~ и Р(лп одномерны и состоят из чисел с нормой !!а!1=)а!. Уравнение (18)! 1(о)и(л) )(л) о ~ соответствует задаче (14) на решении и со вторым порядком, уравнение !(л!)и(л) = )((л) соответствует точно, а уравнение !зли(л) = !(л) — с первым порядком.

Чтобы повысить порядок аппроксимации, которым обладает разностная схема (13), с первого до второго относительно Ь, достаточно «подправить» только граничное условие 1(з)и(л) = Ь. Заметим, что л 1(л) ')и)„= и (Ь) = и (О) + Ьи' (О) + — и" (И. Учтем, что и(0) = Ь и что в силу (!4) й(0) = — Аи(0)+ 1 = — АЬ+ 1. Положив !ли(л) =и! =Ь вЂ” ЬАЬ+Ь, т. е. )(л) =Ь вЂ” ЬАЬ+Ь, мы добьемся того, чтобы выполнялось условие !л И = и (Ь) = Рл) + 0 (Ь'), т. е чтобы имел место второй относительно Ь порядок соответствия граничного условия 1(2)иив = Р(л) ()(л) = Ь вЂ” ЬАЬ + Ь) (23) задаче (!4) на решении и. Таким образом, разностная схема (15), (16), (23) аппроксимирует задачу (14) со вторым порядком относительно Ь.