Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию) (Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию).djvu), страница 11

! ) —,,„ (8) Рассмотрим систему уравнений а;й~-1 + Ьсй; + с,й;+, — — О, 1=1, 2...,, 1 — 1, (9) а~як-1 + Ьюйс + ссигы = 1 йг м =О. О решении такой системы мы знаем, что оно существует. Из первых 1 (однородных) уравнений следует й~ 1 — — 7ч вйь Из условия (4) следует, что )й~! ( 2М. Из единственного неоднородного уравнения, входящего в систему (9), следует, что (й,(ч у + Ь,) й, = 1. Поэтому ~~. :2М, ! Ь~ + а~7.г ч ! — с 1=1,2,...,Л' — 1, 1=1,2,...,Л' — 1, 7ч.~.н = + Л„,ь, а,ГН + Ь| 'г-а!к( н (10) К!+и = +".ь а~гч- ь+ ьс ик,— — ф+у „ и, = Е„ч иоы + К„з + УО 1= Л вЂ” 1, К вЂ” 2, ..., 1.

что и доказывает оценку (8), а вместе с тем осмысленность рекуррентных формул (7), а также оценки (6). 2. Оценка влияния на результат ошибок округления в процессе вычислений. Будем решать задачу (1) прогонкой. При реальных вычислениях на каждом шаге вычислительного процесса допускаются вычислительные погрешности, связанные с ошибками округления.

Поэтому реальный вычислительный процесс ведется по формулам 7.,А=О, Ку =~р+ овосновхнив метода пгогопки 88 сгл. з Предположим, что для всех вычислительных погрешностей справедливы оценки ~ хс+, ~ < 6, 1Хс+, ~ < 6, )чс ~ < 6 с достаточно малым 6, ! 6< ам~(2м+ с) Покажем, что в этом случае в прогоночных формулах (10) ии один знаменатель не обращается в нуль, и оценгм, насколько допускаемые погрешности могут исказить резуль1ат вычислений. Обозначим Кс, Кч, ' Кс+ а+~с = Кс+1с, 1> 0.

Очевидно, что сводка формул (10) может быть перепис Е, =О, К, =ф+хс,, ас — (асьс,с + ьс) хс+,с, х с+~с, —— 1=1,2, ..., У вЂ” 1, аА 1/,+Ьс 1с — ас(дс-с, чс-с) Кс+ч,= ь +ь +хс+ч,+чс= ас с-ч с (с + асчс с + (асьс,с + ьс) (хс+ с + чс )— асКс с асс.с, + а ана так. (1О') 1=1,2, ...,У вЂ” 1, ил = ф+тссэ и =Ес+,сис, +Кс+ч, 1=У вЂ” 1, У вЂ” 2, ..., 1, и рассматриваться как схема вычислительного процесса для ре« шения разностной краевой задачи а„йа с+Ь„й„+сайас.с=~„, 0<и<У, й„=ф, йи=ф со следующими возмущенными правыми частями и коэффи- циентами: ф = ф + х,с, ~с = ~с+ асчс с+(асР,с „, + Ь )(н,, -)-ч,), (11) ф=ф+ча, а, =ас, Ьс — — Ьс, с =с -(а 1ч, +6 )й хогошо овтсловленные келевые злдлчи 69 Докажем, что 1 с! — с!1< М (2М+ 1) б < — „ ! (12) Доказательство будем вести индукцией по 1.

При 1 = 1 1с, — с,1=1(а 1.!, + Ь!) !!,р,1=1(а! О+ Ь ) Лг,1< Мб~ < М (2М + 1) б <— а значит, справедливы оценки (6) и (8): 1С! р,1< 2М, ! (13) ( аД,! + Ь, ! = ~ а!Е! у + Ь, ) ~ ем . ) Мы видим, что в процессе вычислений по формулам (!О) не придется делить иа нуль. Теперь из формул (11) для !р, 1!, ч! и оценок (13) следуют неравенства 1ф — 91< б, 1Ф вЂ” ф1< б, 1~! — 1!1(Мб+(М 2М+ И)26= М(4М+ 3)б Таким образом, допуская на каждом шаге вычислительногопро! цесса ошибки, не превосходящие б, б < ., +, мы тем самым решаем систему с возмущенными коэффициентами и правыми частями. Эти возмущения не превосходят М*б, где М' = шах (2, (4М+ 3) Щ зависит только от М, причем возмущения коэффициентов не пре- восходят также 1/(6М).

Пусть для Ь = 1, 2, ..., 1 — 1 неравенство (12) уже дока- зано. Для вычисления коэффициентов л.л, Е !„..., Ц !, исполь- зуются только а! = аь Ь! = Ь; и с; при ! = 1, 2, ..., 1 — 1. По- этому можно утверждать в силу (6), что 1Е! !,1 < 2М и что. следовательно, 1с, — с, ! =~ — (а!Е! „+Ь!)Х!,у 1:ь;(М ° 2М+ М)б <— Этим индукция завершается.

! т бР.. °, ° ьч —,„-,—,-+г!, полнены неравенства ! ! 1 1а„— а„1=0 < ал!, 1܄— Ь„1=0 < ал! . 1с„— с„1< —,„ овоснованиа метода пгогопки 1гл. з то Такие возмушения коэффициентов и правых частей приводят, как показывает оценка (1О) из $6, к погрешностям в и„„ не превосходяшим М"Ь.

Здесь М** опять-таки зависит только от М. (Если М У', то М жУ ', М ж У", так что погрешность решения будет ЛРЯ.) Если М, а тогда и М'*, не зависит от У, то, совершая при вычислениях по методу прогонки ошибки порядка 6 на каждом шаге процесса (число таких шагов пропорционально М), мы получим в ответе ошибки не больше чем сопз1 б. Таким образом, влияние на результат ошибки, допушенной на каком-либо шаге вычислений, не возрастает с ростом У. Более того, даже суммарное влияние ошибок, допушенных на всех шагах вычислений, тоже не возрастает. Это замечательное свойство прогонки и послужило причи. ной ее широкого применения.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Часть вторая книги посвяшена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые носят обший характер. Знакомство с этими понятиями, полученное в связи с обыкновенными дифферснциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на многочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

и /х + /а) — и Оа — /а) ГЛАВА 4 2Ь ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЪ| РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знакомства с основными понятиями теории. й 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации 1. Порядок точности разностной схемы. Этот параграф посвящен вопросу сходимосги решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здссь исследованием двух разностных схем численного решения задачи — +Аи=О, О~хм;,1, ~ и(О) =Ь. ! Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на использовании разностного уравнения " 1» + а) — " (") + Аи (х) = О.

(2) 72 элемеитлРные пРимеРы Рлзностных схем !ГЛ. Ф Разобьем отрезок [О, 1] на шаги длины /ь Удобно выбрать Ь = 1/й1, где Лà — целое число. Точки деления занумеруем слева направо, так что хи = пЬ, и = О, 1, ..., Ьг. Значение и, полученное по разностной схеме в точке хии будем обозначать и„. Зададим начальное значение. Положим ил = Ь. Из разностного уравнения (2) вытекает соотношение ил = (1 — АЬ) ил откуда находим решение уравнения (2) при начальном условии иа = Ь: и„= (! -,4Ь)" Ь = (1 - АЬ)*л/л Ь.

(3) Точное же решение задачи (1) имеет вид и(х) = Ье-"*. Оно принимает в точке х„ значение и (х ) = Ье хл (4) Найдем теперь оценку величины погрешности приближенного решения (3). Эта погрешность в точке хи будет Ь(хи) =Ь(1 — АЬ)хл/ — е "' )Ь. (5) Нас интересует, как убывает Ь(хи) при увеличении числа точек разбиения, или, что то же самое, при уменьшении шага Ь=!/й/ разпостной сетки. Для того чтобы выяснить это, представим (1 — .4Ь)~л/ в виде «л хл хл Г А'Л" — — !и И-АЛ! — ] -АЛ+ — +О (ЛЧ (1 А/) л ел е Л 2 1 А,Л вЂ” Алие 2 леа М 1 — е Ахл ~! ! «и + 0 (Ьх)] [! ] 0 (Ь2)]— 2 -Ахл ! / " «и -Ах, ! 0 (Ь2) Таким образом, равенство (3) примет вид ил = Ье Ахи+ ЬЬ л е Ахи+ 0(Ь ), (3') так что Ь(х,) = ЬЬ 2" е "*" + 0 (Ь ) =- 0 (Ь), (6) т.

е. погрешность (5) стремится к нулю при й- О и величина погрешности имеет порядок первой степени шага. На этом основании говорят, что разностная схеяаа н,иеет перел2й порядок тонности (не путать с порядком разностного уравнения, опрсделенным в $ 1). поганок точности н хппгокснмлция зн Решим теперь задачу (1) с помощью разностного уравнения " !" + л) " !" Ь) + А (х) = 0 (7) 2Л Это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что рассматриваемая схема является разностным уравнением второго порядка, т. е. требует задания двух начальных условий и(хз) = и(0) и и(х~) = и(Ь), тогда как интегрируемое уравнение (1) есть уравнение первого порядка и для него мы задаем только и(0) = Ь.

Естественно и в разностной схеме положить из = Ь. Не ясно, как задавать иь Чтобы разобраться в этом, воспользуемся явной формой решения уравнения (7) (см. $ 3 формулы (6) ): где д, = З/1+ Азй' — АЬ =! — АЬ + — + О (Ь'), ~ д,=( — 1) (1+ АЬ+ —,)+О(Ь). лгзз (9) Разложения (9) по формуле Тейлора корней характеристического уравнения позволяют дать приближенные представления для д', и д,". Проведем подробно вывод такого представления для дч: лзаг 2 зг з Так как !п(! +г) =г — — + — + О(г4), то 1п ~1 — АЬ+ — + О (Л')~ = — АЬ + — + О (й').

Поэтому е ь 1. ь 1 е хч[! + й~ й~+ О(ЬЗ) (10) Не будем проводить совершенно аналогичной выкладкидля и,", а выпишем сразу результат: л ( 1)~ лх„+ О (й~) (11) 74 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗИОСТНЫХ СХЕМ )гл о Подставив приближенные выражения для дг и г)гл в формулу (8), получим г)ги«и~ л г)~ио иг ггг Ш г г)" Ч~ Чгио — и~ ( -Ахл ! Ьг г4 хл -Ахл ) р [ЬЗ)~ д, — и, ~ ь Ш о оь ( 1)л[е хи+О(Ь)). (!2) Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследова- ния этой формулы. Заметим, что если коэффициент Ег ' стремится при чг — Ч~ й -> О к конечному пределу Ь, то первое слагаемое ~' ' ' г)л г)г г) ~ правой части равенства (12) стремится к искомому решению задачи (1).

Так как Г '4хл ( — 1)л [елхл + О [Ь 71— и оо ( — е " при п нечетном, т. е. не сходится к определенному пределу, то для сходимостн к пределу при Ь -> 0 второго слагаемого правой части равенства (!2): ( !)«[е л+О[ЬЯ (13) Чги« вЂ” и~ необходимо потребовать, чтобы выражение ' ' стремилось АЬ Чг к нулю при Ь вЂ” О. Подведем итог всему сказанному.

Д.тя того чтобы решение разностного уравнения и1х+ ) — и(х — А) + 2А сходилось к решению и = Ье .о" краевой задачи (1), необходимо выполнение условий 4~ого — го 9«гго — и~ г (14) — >О, — > Ь. чг — Ш ' чг — ш Напомним еще, что иг мы условились задавать равным Ь. Усло- вия (14) подсказывают нам, как можно задавать иь Оказы- вается, достаточно, чтобы и, — и, = Ь при Ь- О. В самом деле, г)г — + 1, г)г- — 1 при й О, и поэтому при й — >0 ч,и« вЂ” л, - — > О, ->Ь. 4 гого и ~ Чг Чг чг — Ч! повялок точности н оппвокснмкцня 6 в! 75 2.

Скорость сходимости решения разностного уравнения. Теперь перейдем к изучению скорости сходимости при различных конкретных способах выбора и, = и(Ь). Для определения и(Ь) естественно воспользоваться разложением решения дифференциального уравнения и' + Аи = 0 по формуле Тейлора. Пользуясь тем, что в силу этого уравнения и' = — Аи, перепишем формулу Тейлора так: и (х,) = и (О) — ЬАи (О) + О (Ьв) = и (О) (1 — АЬ) + О (Ь'). Такое равенство имеет место для точного решения дифференциального уравнения. При приближенном решения, ограничиваясь двумя членами этого разложения, можно положить и, =ио(1 — АЬ). Если мы решили ограничиться только одним членом, то пола- гаем и, =ио. В первом из этих двух случаев мы допускаем в начальном значении и! ошибку порядка Ь', во втором — ошибку порядка Ь.